Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm $M_n(x_n, y_n)$ dần đến điểm $M_0(x_0,y_0)$ và viết $M_n \to M_0$ , nếu dãy khoảng cách $d(M_n, M_0)$ dần đến 0 khi $n \to \infty$ .

Nhận xét:

Vì $d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$

nên : $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 1:

$\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right)$ ; $\left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)$

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm $(a; b) \in {\mathbb{R}}^2$ là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy $\{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b)$ sao cho $(x_n ; y_n) \to (a; b)$

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm $M_0(x_0, y_0),$ (có thể trừ điểm $M_0$ ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến $M_0$ khi và chỉ khi: với mọi dãy $M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0)$ dần tiến đến $M_0$ ta đều có: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L$

Khi đó, ta viết: $\lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L$ hay $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L$

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi $x \to x_0, y \to y_0$ (hay là $M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0)$ nếu:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon$

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy $\left(x_n^1;y_n^1 \right)$ , $\left( x_n^2;y_n^2 \right)$ cùng dần tiến về $\left( x_0;y_0 \right)$ nhưng : $f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}}$ .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi $x \to x_0, y \to y_0$ .

2. Định lý:

Cho $\lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b$ thì:

1. $\lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b$

2. $\lim cf(x;y) = c.a$ (c là hằng số hữu hạn)

3. $\lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b$

4. $\lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)$

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

$h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D$

Hơn nữa: $\lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0$

Khi đó: $\lim f(x;y) = 0$

4. Các ví dụ:

a. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0$

b. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Cách 1: Ta xét hai dãy $\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)$

Ta có: $f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Và: $f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}$

nhưng $f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}$

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}$

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Ta có: $0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)$

Mà: $\underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0$

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0$

Vậy: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0$

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị $y \ne y_0$ , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)$

Nếu tồn tại giới hạn: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a$ thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi $x \to x_0 , y \to y_0$ và viết: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a$ .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

96 bình luận về “Giới hạn của hàm hai biến số”

Em chào thầy ạ. Thầy có thể giúp em giải câu lim (xy). (x^2-y^2)/(x^2-y^2) (X,y) -> (0,0) đc k ạ. Em cám ơn thầy rất nhiều ạ

ThíchThích
Posted by Anhhh | 31/05/2015, 13:07 Reply to this comment
Em chào thầy.Dạ thầy cho em hỏi tại sao khi dùng định lý kẹp để tính giới hạn sao phải sử dụng dấu trị tuyệt đối.Xin Cảm ơn thầy

ThíchThích
Posted by Trúc mai | 10/03/2015, 00:02 Reply to this comment
- Định lý giới hạn kẹp: Nếu $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ với mọi x thuộc D chứa $x_0$ và: $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = \lim\limits_{x \to x_0} h(x) = A$ thì $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ Như vậy em phải tìm 2 hàm g(x) và h(x) sao cho 2 hàm đó tiến đến A khi x tiến đến $x_0$ Nếu dự đoán $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$ thì ta đưa vào trị tuyệt đối để chỉ cần tìm h(x) sao cho: $\lim\limits_{x \to x_0} h(x) = 0$ Vì khi đó: $0 \leq |f(x)| \leq h(x)$ thì $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0$ mà như vậy thì có được $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$ .
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 11/03/2015, 08:43 Reply to this comment
  - em thưa thầy, em có một thắc mắc ạ. Mong thầy giải đáp giúp em ạ. tại sao ta có ì\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = 0 mà như vậy thì có được \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0 vậy a? em cảm ơn thầy.
    
    ThíchThích
    Posted by linh | 16/05/2017, 01:20 Reply to this comment
Chào thầy, thầy cho em hỏi em đánh công thức toán trong wordpress hay bị lỗi formula does not parse, em mầy mò thử mãi cách xử lý mà một số công thức vẫn không được. E xin thầy chỉ giúp. E cảm ơn thầy nhiều!!!

ThíchThích
Posted by hoctoan2014 | 07/03/2015, 22:19 Reply to this comment
- Nếu chưa quen thì em đánh công thức Toán bằng phần mềm Mathtype. Trong phần mềm MathType, mục Preferences, em chọn Cut and Copy Preferences…, đánh dấu chọn vào mục MathML or TeX và chọn LaTeX 2.09 and later. Sau khi đánh công thức trong Mathtype xong, em copy và dán vào wordpress. Như vậy sẽ đỡ bị lỗi formula does not parse
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 09/03/2015, 10:55 Reply to this comment
Thầy có thể ví dụ cụ thể về giới hạn lặp khi tiến đến vô cùng đc ko ạ

ThíchThích
Posted by trang | 30/03/2014, 17:24 Reply to this comment