Giới Hạn Của Hàm Hai Biến Số | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Các định nghĩa:

1.1 Định nghĩa 1:

Ta nói dãy điểm $M_n(x_n, y_n)$ dần đến điểm $M_0(x_0,y_0)$ và viết $M_n \to M_0$ , nếu dãy khoảng cách $d(M_n, M_0)$ dần đến 0 khi $n \to \infty$ .

Nhận xét:

Vì $d(M_n;M_0) = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$

nên : $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } d({x_n};{y_n}) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_n} \to {x_0} \\ {y_n} \to {y_0} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 1:

$\left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{1}{n}} \right) \to \left( 0;0 \right)$ ; $\left({ \dfrac{n^3+1}{n^3+n^2}};{ \dfrac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+3n+1}} \right)\xrightarrow{n\to \infty }(1;0)$

1.2 Định nghĩa 2:

Điểm $(a; b) \in {\mathbb{R}}^2$ là điểm tụ của tập E khi và chỉ khi có một dãy $\{x_n ; y_n \} \in E, (x_n ; y_n) \ne (a; b)$ sao cho $(x_n ; y_n) \to (a; b)$

1.3 Định nghĩa 3:

Giả sử hàm số z = f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm $M_0(x_0, y_0),$ (có thể trừ điểm $M_0$ ).

Ta nói L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi M(x;y) dần tiến đến $M_0$ khi và chỉ khi: với mọi dãy $M_n(x_n ; y_n) (\ne M_0)$ dần tiến đến $M_0$ ta đều có: $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim}} \, f(x_n; y_n) = L$

Khi đó, ta viết: $\lim\limits_{(x;y) \to (x_0;y_0)} f(x;y) = L$ hay $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim}} \, f(x;y) = L$

1.4 Định nghĩa 4:

L là giới hạn của hàm số f(x; y) khi $x \to x_0, y \to y_0$ (hay là $M(x;y) \to M_0(x_0 ; y_0)$ nếu:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:d(M,M_0)< \delta \Rightarrow \left| f(M)-L \right| < \varepsilon$

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất. Do đó, f(x; y) phần dần tới cùng số L dù (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ theo kiểu gì. Trong không gian 2 chiều, càng có nhiều kiểu để (x; y) dần đến $(x_0; y_0)$ , nên càng khó tồn tại giới hạn.

2. Khái niệm giới hạn trên đôi lúc chúng ta còn gọi là giới hạn kép của hàm hai biến số.

3. Để chứng minh hàm số không tồn tại giới hạn, Ta xét 2 dãy $\left(x_n^1;y_n^1 \right)$ , $\left( x_n^2;y_n^2 \right)$ cùng dần tiến về $\left( x_0;y_0 \right)$ nhưng : $f\left( x_{n}^{1};y_{n}^{1} \right)\to {{L}_{1}}\ne f\left( x_{n}^{2};y_{n}^{2} \right)\to {{L}_{2}}$ .

4. Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến hoàn toàn tương tự với tính chất của hàm 1 biến

Ghi chú: Ta quy ước tất cả giới hạn được lấy khi $x \to x_0, y \to y_0$ .

2. Định lý:

Cho $\lim f(x;y) = a, \qquad \lim g(x;y) = b$ thì:

1. $\lim \left[ f(x;y)+g(x;y) \right] = a+b$

2. $\lim cf(x;y) = c.a$ (c là hằng số hữu hạn)

3. $\lim \left[ f(x;y).g(x;y) \right] = a.b$

4. $\lim \left[ \dfrac{f(x;y)}{g(x;y)} \right] = \dfrac{a}{b} (b \ne 0)$

3. Định lý giới hạn kẹp:

Giả sử f(x; y), g(x; y) và h(x;y) cùng xác định trên D , và:

$h(x;y)\le f(x;y)\le g(x;y),\forall (x;y)\in D$

Hơn nữa: $\lim h(x;y) = \lim g(x;y) = 0$

Khi đó: $\lim f(x;y) = 0$

4. Các ví dụ:

a. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{x} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{y.\sin xy}{xy} = \underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, y.\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{\sin xy}{xy} = 0.1 = 0$

b. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Cách 1: Ta xét hai dãy $\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{1}{n} \right),\left( \dfrac{1}{n}; \dfrac{2}{n} \right)\to (0;0)$

Ta có: $f(x;y) = \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Và: $f \left( \dfrac{1}{n} ; \dfrac{1}{n} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{1}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{1}{n^2}}}} \to { \dfrac{1}{2}}$

nhưng $f \left( { \dfrac{1}{n}};{ \dfrac{2}{n}} \right) = { \dfrac{{ \dfrac{2}{n^2}}}{{ \dfrac{1}{n^2}}+{ \dfrac{4}{n^2}}}} \to { \dfrac{2}{5}}$

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

Cách 2: Xét dãy điểm (x; y) tiến đến (0; 0) theo đường thẳng y = kx. (k – hằng số). Ta có: $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} = \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{x.kx}{{{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}} = \dfrac{k}{1+{{k}^{2}}}$

Do đó, giới hạn hàm số phụ thuộc theo hệ số góc k. Nên, với những giá trị k khác nhau ta sẽ có giá trị giới hạn khác nhau.

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn.

c. $\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ y\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }} \, \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Ta có: $0\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \left| \dfrac{{{x}^{2}}y}{2xy} \right| = \dfrac{1}{2}\left| x \right|, \forall (x,y) \ne (0;0)$

Mà: $\underset{(x;y)\to (0;0)}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right| = 0$

nên theo định lý giới hạn kẹp ta có: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \left|{ \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} \right| = 0$

Vậy: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} { \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}} = 0$

5. Giới hạn lặp:

Xét hàm số f(x; y). Cố định giá trị $y \ne y_0$ , xem hàm f(x; y) như hàm 1 biến x. Giả sử tồn tại giới hạn:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y)=g(y)$

Nếu tồn tại giới hạn: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(y) = a$ thì a được gọi là giới hạn lặp của f(x; y) khi $x \to x_0 , y \to y_0$ và viết: $\underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }} \, \left( \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right) = a$ .

Hoàn toàn tương tự ta cũng có khái niệm: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \underset{y\to {{y}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x;y) \right)$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

96 bình luận về “Giới hạn của hàm hai biến số”

thưa thầy, em thấy cách giải trên cũng hợp lý lắm nhưng mà sao khi em thay y = -x vào biểu thức đầu để đưa về giới hạn của hàm 1 biến thì lại ra kết quả là : lim 0/(x^2) = 0 x–>o chứ không ra kết quả = 1 như cách tính của bạn ở trên

ThíchThích
Được đăng bởi Chenyi | 09/02/2009, 17:29 Reply to this comment
thưa thầy bài ví dụ đó em giải như thế này: sau khi đơn giản nhân tử chung là x+y thì ta được (x+y) / (x^2 + xy + y^2) đặt y = k*x với k là một hằng số nào đó thì ta có x(1+k) / [x^2(1+k+k^2)] = (1+k) / x(1+k+k^2) (1) vì k là một hằng số bất kỳ, – nếu k khác -1 thì giới hạn có dạng 1 số chia 0 nên tiến ra vô cực – nếu k =-1 thì lại có dạng 0/0, ta đặt k = x + u, vì k–>-1 và x–>0 nên u tiến tới -1, vậy là k = x -1. vậy thay k=x-1 vào biểu thức trên ta có giới hạn sẽ tiến về 1

vậy kết luận: nếu y = -x thì giới hạn = 1 nếu y khác -x thì giới hạn là vô cực

em giải như vậy có được không thưa thầy

ThíchThích
Được đăng bởi Mận-Nghĩa lý1A | 08/02/2009, 23:23 Reply to this comment
thưa thầy nếu bài này em dùng x=ky thì kết wả sẻ phụ thuộc vào hằng số k.vậy thì bài này không có giới hạn.nếu bài này mà có giới hạn thì em pó tay thầy ơi,nếu có thầy có thể giải giup em được không.em cảm ơn thầy nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi huyền trang | 08/02/2009, 22:50 Reply to this comment
Thưa thầy cho em hỏi muốn tính giới hạn của hàm hai biến mà có các dạng vô định thì sao mà làm,vậy nó có giống hàm 1 biếnkhử các dạng vô định rồi làm.nếu dạng vô định thì em có thể dùng công thiức lhotpital được không.thầy có thể cho em 1 ví dụ cụ thể được không

ThíchThích
Được đăng bởi huyền trang | 08/02/2009, 10:37 Reply to this comment
- Đối với giới hạn hàm 2 biến, ta không thể có quy tắc L’Hospital được vì khi lấy đạo hàm tử (mẫu), do có nhiều biến nên ta ko thể biết lấy theo biến nào. Cách tổng quát nhất là dùng công thức khai triển Taylor cho hàm nhiều biến, nhưng cái này rất phức tạp. Còn khử dạng vô định, thì đối với hàm nhiều biến thì việc nhận ra lượng vô định là lượng nào là rất quan trọng, và đôi khi cũng rất phức tạp, không đơn giản như chia tử và mẫu cho x – x0 như giới hạn hàm 1 biến. Tuy nhiên, như nhận xét ở phần trên, giới hàn hàm nhiều biến rất khó tồn tại nên thông thường, với bài giới hạn nhiều biến, ta thường xét xem hàm số có giới hạn hay không bằng cách xây dựng các dãy số. 1 ví dụ để em thấy rõ điều này: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \dfrac{x^2-y^2}{x^3-y^3}$ Đầu tiên, dễ thấy cả tử và mẫu có nhân tử chung là x – y. Tuy nhiên, sau khi khử dạng vô định, thì vẫn gặp dạng vô định khác: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} \dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}$ Đến đây thì không thể tìm lượng vô định để khử tiếp, cũng như không thể dùng L’Hospital vì có tới 2 biến x, y. Còn kết quả bài này như thế nào thì em suy nghĩ tiếp nhé.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 08/02/2009, 21:40 Reply to this comment
hay wa troi sao minh hok hiu gi het vay ta

ThíchThích
Được đăng bởi lechanhvinh | 07/02/2009, 09:01 Reply to this comment
tiếng Việt có dấu đi bạn!

ThíchThích
Được đăng bởi PADũng | 05/01/2009, 12:58 Reply to this comment
xin loi thay em thay chu LA bang DIEU KIEN CAN VA DU sau cum tu kha vi tai (x,y).

ThíchThích
Được đăng bởi vu van tien | 05/01/2009, 10:36 Reply to this comment
thua thay doi voi ham hai bien so z=z(x,y) kha vi tai (x,y) la no lien tuc va cac dao ham rieng cua no lien tuc tai do phai khong a . thay co the lay mot vi du ve cach xet tinh kh a vi cua ham hai bien so bang cach nay duoc khong .

ThíchThích
Được đăng bởi vu van tien | 05/01/2009, 10:34 Reply to this comment
xin loi ban PHUONG vi to khong the noi ro duoc TO khong biet cach go

ThíchThích
Được đăng bởi vu van tien | 05/01/2009, 10:24 Reply to this comment
ban PHUONG than men bai gioi han thu nhat ban co the dung khi trien maclaurin ket qua bai mot la 2/3 (ban phai tu phan tich thoi). con bai hai nhan thay rang khi x khac Kpi thi gioi han cua no bang 1 con khi x=K PI thi gioi han lai bang vo cu ng do do bai 2 khong co gioi han.

ThíchThích
Được đăng bởi vu van tien | 05/01/2009, 10:20 Reply to this comment
thua thay de tim gioi cua ham so hai bien so ta co the ap dung cach tim gioi han lap duoc khong.

ThíchThích
Được đăng bởi vu van tien | 05/01/2009, 09:22 Reply to this comment
cách đặt biến có thể áp dụng trong mọi trường hợp. Vấn đề là ta cần khẳng định giới hạn là duy nhất dù điểm (x,y) tiến về điểm $(x_0;y_0)$ theo bất kỳ dãy nào hoặc đường cong nào. Do đó, dù bậc tử và bậc mẫu khác nhau, ta vẫn có những cách xây dựng dãy số, hoặc xây dựng đường cong để biểu thức mới có bậc tử bằng bậc mẫu.

ThíchThích
Được đăng bởi 2Bo02B | 27/12/2008, 16:46 Reply to this comment