Giới Hạn Hàm Số Dạng Không Trên Không - 0/0

Trong quá trình đi tìm giới hạn của hàm số chúng ta gặp rất nhiều dạng toán, mỗi dạng toán lại có những cách giải khác nhau. Trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn chúng ta đi tìm giới hạn hàm số dạng vô định mà cụ thể là giới hạn hàm số dạng không trên không – dạng $\frac{0}{0}$.

Dạng $\frac{0}{0}$ là dạng như thế nào? Giả sử khi $x\to a$, các bạn thay giá trị $x=a$ vào biểu thức trên tử và dưới mẫu. Khi đó tử thức và mẫu thức đều bằng 0, đó chính là dạng 0/0. Với dạng toán như này chúng ta không thể tính giới hạn một cách trực tiếp được mà phải biến đổi một chút.

Với dạng toán này thầy sẽ hướng dẫn các bạn 2 trường hợp cơ bản nhất, đó là:

Trường hợp hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ là hàm hữu tỷ

Phương pháp giải cho trường hợp này là ta làm thế nào đó để xuất hiện nhân tử chung. Thông thường chúng ta sẽ phân tích các đa thức thành nhân tử sau đó triệt tiêu nhân tử để làm mất dạng vô định và đưa hàm số về dạng xác định.

Trong trường hợp này nếu $x\to a$ thì ta biết chắc chắn nhân tử sẽ là $x-a$, do đó ta chỉ việc chia đa thức ở tử và mẫu cho nhân tử $x-a$ là tìm được lời giải cho bài toán.

Ta có: Giới hạn hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ khi $x \rightarrow a$ có dạng $\frac{0}{0}$ thì ta sẽ phân tích như sau:

$y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}} = \frac{(x-a).p_{(x)}}{(x-a).q_{(x)}} =\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}$

Chia đa thức $f_{(x)}$ và $g_{(x)}$ cho nhân tử $x-a$ thì được đa thức $p_{(x)}$ và $q_{(x)}$

Lúc này giới hạn của hàm số ban đầu chính là giới hạn của hàm số $\frac{p_{(x)}}{q_{(x)}}$. Việc tính giới hạn này khá đơn giản vì nó là giới hạn xác định.

Bạn có muốn xem bài giảng: Phân biệt sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp

Trường hợp hàm số $y=\frac{f_{(x)}}{g_{(x)}}$ là hàm vô tỷ

Với dạng này thông thường ta dùng biểu thức liên hợp để có thể làm xuất  hiện nhân tử chung.

Một số dạng có biểu thức liên hợp là:

$\sqrt{a} – b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt{a} + b$ và ngược lại

$\sqrt{a} – \sqrt{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} – \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} + b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} – \sqrt[3]{a}.b+ b^2$ và ngược lại

$\sqrt[3]{a} – b$ có biểu thức liên hợp là $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}.b+ b^2$ và ngược lại

Bài giảng nên xem: Giới hạn hàm số dạng vô cùng trên vô cùng

Bài tập giới hạn hàm số dạng không trên không – $\frac{0}{0}$

Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1}$

b. $\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}$

Hướng dẫn giải

a. Khi $x \to 1$ thì hàm số thuộc dạng 0/0 (các bạn thay x=1 vào biểu thức trên tử và dưới mẫu). Đây lại là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là $x-1$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1} = \lim \limits_{x\to 1} \frac{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}{x-1}$

$= \lim \limits_{x\to 1} (x^4+x^3+x^2+x+1)$

$= 1^4+1^3+1^2+1+1 = 5$

Vậy $\lim \limits_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x-1}=5$

b. Khi $x \to -3$ thì hàm số thuộc dạng $\frac{0}{0}$. Đây cũng là hàm số hữu tỉ do đó ta nghĩ ngay tới việc biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung là $x+3$. Ta có:

$\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9} =\lim \limits_{x\to -3} \frac{(x+3)(x^2+2x-3)}{(x+3)(x-3)}$

 $=\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^2+2x-3}{x-3}$

 $=\frac{9-6-3}{-6}$

 $=0$

Vậy $\lim \limits_{x\to -3} \frac{x^3+5x^2+3x-9}{x^2-9}=0$

Bài giảng hay về lượng giác: Hướng dẫn sử dụng đường tròn lượng giác – cách nhớ công thức, tính nghiệm

Bài 2: Tìm giới hạn của hàm số sau:

a. $\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}$

b. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{(3x-1)}-2}{\sqrt{x}-1}$

Hướng dẫn giải

a. Các bạn thấy ý a này cũng thuộc giới hạn hàm số dạng 0/0 và hàm số có chứa căn thức. Ta sẽ nhân với biểu thức liên hợp của $\sqrt{x}-\sqrt{a}$ là $\sqrt{x}+\sqrt{a}$.

Ta có:

$\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \lim \limits_{x\to a} \frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}=\lim \limits_{x\to a} \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Tuy nhiên với bài toán này ta không nhất thiết phải nhân biểu thức liên hợp vì ta có thể phân tích biểu thức $x-a=(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})$

Ta có:

$\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} = \lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})(\sqrt{x}-\sqrt{a})} =\lim \limits_{x\to a} \frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})} =\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{a})} =\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Vậy $\lim \limits_{x\to a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$

b. $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x-1}-2}{\sqrt{x}-1}$

Với bài toán này ta cần làm mất đi biểu thức làm cho mẫu bằng 0. Nếu ta chỉ nhân liên hợp với biểu thức dưới mẫu thì bài toán có giải quyết được không? ta thử xem nhé:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}= \lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{x}+1)}{x-1}$

Tới đây bài toán vẫn còn dạng 0/0 do đó ta chưa thể tình giới hạn này được. Vì vậy ta cần phải liên hợp một lần nữa biểu thức trên tử, tức là liên hợp của biểu thức $\sqrt{3x+1}-2$. Bài toán sẽ được trình bày lại như sau:

$\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1}$

$= \lim \limits_{x\to 1} \frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$=\lim \limits_{x\to 1} \frac{(3x+1-4)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$= \lim \limits_{x\to 1} \frac{3(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2)}$

$ =\lim \limits_{x\to 1} \frac{3(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{3x+1}+2}$

$ = \frac{3.2}{2+2} =\frac{3}{2}$

Vậy $\lim \limits_{x\to 1} \frac{\sqrt{3x+1}-2}{\sqrt{x}-1} =\frac{3}{2}$

Bạn có thể áp dụng cách giải dạng 0/0 này bằng một cách giải khác, đó là sử dụng quy tắc L’Hopital. Nếu bạn quan tâm tới quy tắc L’Hopital thì xem bài giảng này tại link sau: Tìm giới hạn dạng vô định bằng quy tắc L’Hopital

Với hai bài tập cơ bản như trên các bạn đã hiểu rõ về giới hạn hàm số dạng không trên không – $\frac{0}{0}$ chưa? Thầy đã cô gắng phân tích và hướng dẫn lời giải sao cho thật chi tiết để bất kì bạn nào xem được bài giảng cũng sẽ hiểu và làm được dạng toán này. Nếu có bài tập hay vấn đề gì mà các bạn chưa rõ thì cứ gõ vào phần bình luận nhé, thầy sẽ cố gắng giải đáp giúp các bạn.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ