Gọi (F( X ) ) Là Một Nguyên Hàm Của Hàm Số F( X ) = (((x^2)sin X

Một sản phẩm của Tuyensinh247.comGọi (F( x ) ) là một nguyên hàm của hàm số f( x ) = (((x^2)sin x + 2xcos x))((xsin x + cos x)). Biết F( 0 ) = 1, Tính giá trị biểu thức F( ((pi )(2)) ).Câu 1441 Vận dụng cao

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,$ Tính giá trị biểu thức $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).$

Đáp án đúng: dÔn thi đánh giá năng lực 2024 - lộ trình 5v bài bảnkhám phá

Phương pháp giải

- Biến đổi hàm số đã cho thành \(f\left( x \right) = x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}\).

- Tính các nguyên hàm \(\int {xdx} \) và \(\int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \).

- Thay \(x = 0\) tìm \(C\) và suy ra \(F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Xem lời giải

Lời giải của GV Vungoi.vn

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}$

Khi đó $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {x{\rm{d}}x} + \int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} $

Đặt $t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.$

Suy ra $\int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.$

Do đó

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.\\ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.\end{array}$

Đáp án cần chọn là: d

DÀNH CHO 2K6 – LỘ TRÌNH ÔN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2024!

Bạn đăng băn khoăn tìm hiểu tham gia thi chưa biết hỏi ai?

Bạn cần lộ trình ôn thi bài bản từ những người am hiểu về kì thi và đề thi?

Bạn cần thầy cô đồng hành suốt quá trình ôn luyện?

Vậy thì hãy xem ngay lộ trình ôn thi bài bản tại ON.TUYENSINH247:

• Hệ thống kiến thức trọng tâm & làm quen các dạng bài chỉ có trong kỳ thi ĐGNL
• Phủ kín lượng kiến thức với hệ thống ngân hàng hơn 15.000 câu hỏi độc quyền
• Học live tương tác với thầy cô kết hợp tài khoản tự luyện chủ động trên trang

Xem thêm thông tin khoá học & Nhận tư vấn miễn phí - TẠI ĐÂY

Khi tính nguyên hàm \(\int {xdx} \), một số em thường tính nhầm \(\int {xdx} = 2{x^2} + C\) dẫn đến chọn nhầm đáp án A là sai.

DÀNH CHO 2K6 – LỘ TRÌNH ÔN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC 2024!

Bạn đăng băn khoăn tìm hiểu tham gia thi chưa biết hỏi ai?

Bạn cần lộ trình ôn thi bài bản từ những người am hiểu về kì thi và đề thi?

Bạn cần thầy cô đồng hành suốt quá trình ôn luyện?

Vậy thì hãy xem ngay lộ trình ôn thi bài bản tại ON.TUYENSINH247:

• Hệ thống kiến thức trọng tâm & làm quen các dạng bài chỉ có trong kỳ thi ĐGNL
• Phủ kín lượng kiến thức với hệ thống ngân hàng hơn 15.000 câu hỏi độc quyền
• Học live tương tác với thầy cô kết hợp tài khoản tự luyện chủ động trên trang

Xem thêm thông tin khoá học & Nhận tư vấn miễn phí - TẠI ĐÂY

...

Bài tập có liên quan

Nguyên hàm (phương pháp đổi biến) Luyện Ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi liên quan

Nếu \(t = u\left( x \right)\) thì:

Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Nếu \(t = {x^2}\) thì:

Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:

Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)

Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)

Tính \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx} \) với $t = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} $. Tính $I$ theo $t$?

Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?

Cho\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) và \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản , $a > 0$. Tổng \(a + b\) bằng ?

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\) với \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) , giá trị $a$ bằng?

Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:

Nguyên hàm của hàm số \(y = \cot x\) là:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x\cos 2x\).

Nếu có \(x = \cot t\) thì:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\). Khi đó, nếu đặt \(x = \tan t\) thì:

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thoả mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm là

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:

Biết \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\). Tìm khẳng định đúng

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).

Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,$ Tính giá trị biểu thức $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).$

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \). Số giá trị của tham số \(m\) để \(F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\) và \(F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\) là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn\(\int {f\left( {\dfrac{1}{2}x} \right)dx} = {x^2} + 4x + C\) và \(\int {f\left( {x - 2} \right)dx} = a{x^2} + bx + C,a,b \in \mathbb{R}\). Tổng \(2a + b\) bằng

Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\). Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)\) là