Hàm Số – Hàm Lượng Giác Ngược – Hàm Hyperbol | Toán Cho Vật Lý

II. hàm lượng giác ngược:

1. Hàm số y = arcsinx.

Hàm số y = sinx không là đơn ánh trên toàn bộ miền xác định.

Tuy nhiên, nếu xét trên đoạn -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} thì hàm số y = sinx là hàm đồng biến nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arcsiny (đọc là ác-sin y, nghĩa là x là cung mà sin bằng y). Và x \in \left[- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right] ; y \in [-1;1]

arcsinxDo đó hàm ngược của y = sinx là y = arcsinx (y là cung mà sin bằng x)

Vậy: y = arcsinx \Leftrightarrow x = siny

– Miền xác định: D: x \in [-1; 1]

– Miền giá trị: T = \left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]

– Hàm đồng biến trên [-1;1]

Tính chất:

arcsin(sinx) = x, - \dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}

sin(arcsinx) = x, -1 \le x \le 1

arcsin(-x) = -arcsinx

Ví dụ:

Vd1. A = sin \left( \dfrac{\pi}{12} + arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)

Ta có: arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\pi}{4} (vì: sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\pi}{2} < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} )

Do đó: A = sin\left( \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Vd2. arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right)

Ta không thể kết luận arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = \dfrac{2{\pi}}{3}

Do \dfrac{2{\pi}}{3} \notin \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]

Tuy vậy: sin{\dfrac{2{\pi}}{3}} = sin\left(\pi - \dfrac{2{\pi}}{3} \right) = sin\dfrac{\pi}{3}

Nên: arcsin\left(sin\dfrac{2{\pi}}{3}\right) = arcsin\left(sin\dfrac{\pi}{3} \right) = \dfrac{{\pi}}{3}

2. Hàm số y = arccosx.

Xét hàm số y = cosx trên đoạn 0 \le x \le \pi thì hàm số y = cosx là hàm  giảm nên tồn tại duy nhất ảnh ngược, và ảnh ngược đó được ký hiệu x = arccosy (đọc là ác-cos y, nghĩa là x là cung mà cosin bằng y).

Vậy y = cosx, (0 \le x \le \pi ; -1 \le y \le 1) \Leftrightarrow x = arccosy

arccosxDo đó hàm ngược của y = cosx là y = arccosx (y là cung mà cosin bằng x)

Vậy: y = arccosx \Leftrightarrow x = cosy

– Miền xác định: D: x \in [-1; 1]

– Miền giá trị: T = [0; \pi]

– Hàm nghịch biến trên [-1;1]

Tính chất:

arccos(cosx) = x, 0 \le x \le \pi

cos(arccosx) = x, -1 \le x \le 1

arccos(-x) = \pi - arccosx

Ví dụ:

Vd1. B = arccos\left(cos\dfrac{4{\pi}}{3}\right)

Ta có: cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3} \right) = -cos\dfrac{\pi}{3}

Nên: B = arccos\left(-cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \pi - arccos\left(cos\dfrac{\pi}{3} \right) = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}

Vd2. sin(arccos0.4)

Ta cần xác định arccos0.4. Đặt y = arccos0.4 , 0 \le y \le \pi .

Suy ra cosy = cos(arccos0.4) = 0.4

Khi đó: sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} (do 0 \le y \le \pi nên siny \ge 0 )

Vậy: sin(arccos0.4) = siny = \sqrt{1-cos^2y} = \sqrt{1-0.4^2} = \dfrac{\sqrt{21}}{5}

3. Hàm số y = arctanx

Hàm y = arctanx là hàm ngược của hàm y = tanx. Hàm ngược y = arctanx có miền xác định -\infty < x < \infty và miền giá trị -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

y = arctanx \Leftrightarrow x = tany, -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2}

arctan(tanx) = x, -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}

tan(arctanx) = x, -\infty < x < \infty

4. Hàm số y = arccotgx

Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm y = cotgx. Hàm ngược y = arccotgx có miền xác định -\infty < x < \infty và miền giá trị 0 < y < \pi

y = arccotgx \Leftrightarrow x = cotgy, 0 < y < \pi

arccotg(cotgx) = x, 0 < x < \pi

cotg(arccotgx) = x, -\infty < x < \infty

5. Một số tính chất của hàm lượng giác ngược:

arccosx + arcsinx = \dfrac{\pi}{2}

arctanx + arccotgx = \dfrac{\pi}{2}

arctanx = arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right), -\infty < x <\infty

arcsinx = arctan\left(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right), -1 \le x \le 1

arctanx + arctany = arctan\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right), (xy < 1)

6. Bài tập áp dụng:

1. \sin\left(\dfrac{\pi}{12} + arccos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)

2. tan\left(arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)

3. arcsin\left(\dfrac{1}{2arccos0.5}\right)

4.tan\left(\dfrac{1}{2}arcsin\left(\dfrac{5}{13}\right)\right)

5. tan\left(arcsin\dfrac{1}{3}+arcsin\dfrac{1}{4}\right)

6. cos\left(2arctan\dfrac{1}{4} + arccos\dfrac{3}{5}\right)

7. sin\left(arctan\dfrac{x}{2}\right)

8. cos\left(2arccotg\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • Email
  • In
  • Facebook
Thích Đang tải... Trang: 1 2

Từ khóa » Công Thức Lượng Giác Ngược