Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

Maths 4 Physics & more…

Blog Toán Cao Cấp (M4Ps)

Tìm

Search for: Đi

Author
Bài viết
Bài giảng
- Giải tích 1
  - Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
  - Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
  - Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
  - Vô cùng bé (infinitesimal)
  - Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
  - Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
  - Khảo sát đường cong tham số
  - Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
  - Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
  - Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  - Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  - Chuỗi số dương (Infinitive Series)
  - Chuỗi Fourier
  - Chuỗi Fourier Sine và Cosine
- Giải tích 2
  - Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
  - Giới hạn của hàm hai biến số
  - Đạo hàm riêng
  - Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  - Đạo hàm của hàm hợp
  - Đạo hàm hàm số ẩn
  - Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  - Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
  - Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
  - Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  - Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
  - Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
  - Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
  - Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
  - Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
  - Số phức (Complex Number)
- Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
  - Tập hợp
  - Khái niệm về ma trận
  - Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
  - Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  - Thuật toán tìm ma trận bậc thang
  - Định thức (Determinants)
  - Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
  - Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
  - Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
  - Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
  - Dạng toàn phương
- Xác suất thống kê
  - Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
  - Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
  - Các định nghĩa của xác suất
  - Xác suất có điều kiện
  - Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
  - Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
  - Ước lượng tham số của tổng thể
  - Kiểm định giả thiết
- Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐ Laplace)
  - Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu
Bài tập
Trắc nghiệm
Thảo luận
- Thảo luận (tiếp theo)
- Thảo luận chung (tt)
- Thảo luận về giải tích
  - Thảo luận Giải tích – Trang 2
- Thảo luận ĐSTT
  - Trang 2
  - Trang 3
- Thảo luận XSTK
  - Trang 2
- Thảo luận về tích phân bội
Đề thi
Ebooks
- Maths Ebooks
  - Giải tích – Đại số
  - XSTK – Phương pháp tính
  - Hàm phức – PDEs
  - Tài liệu khác
- Giáo dục – Khoa học
- Thư giãn
Một thời để nhớ
Softwares
Links
Sitemap

Hàm số khả vi và vi phân toàn phần

Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến $z = f(x,y)$ khi cho cả hai biến số thay đổi.

Xét hàm số $z = f(x,y)$ và $(x_0 ; y_0)$ là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng ${\Delta}x , {\Delta}y$ sao cho $(x_{0} + {\Delta}x ; y_{0} + {\Delta}y) \in D$ . Khi đó, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một lượng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)$

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm $(x_0;y_0)$ nếu số gia toàn phần ${\Delta}f(x_0;y_0)$ có thể biểu diễn được dưới dạng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y$ (1)

trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại $(x_0;y_0)$ ứng với các số gia Δx, Δy và được ký hiệu $df(x_0;y_0)$

Ví dụ:

Xét hàm số $z = x^3 + y^3$ . Ta có:

${\Delta}f(x_0;y_0) = (x_0 + {\Delta}x)^3 + (y_0 + {\Delta}y)^3 - x_0^3 - y_0^3$

Hay:

${\Delta}f(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y + 3x_0.{\Delta}x^2 + 3y_0.{\Delta}y^2 + {\Delta}x^3 + {\Delta}y^3$

Do đó:

$A = 3.x_0^2 ; B = 3.y_0^2, {\alpha} = 3x_0.{\Delta}x + {\Delta}x^2 ; {\beta} = 3y_0.{\Delta}y + {\Delta}y^2$

Cho nên hàm số khả vi tại $(x_0;y_0)$ và $df(x_0;y_0) = 3x_0^2.{\Delta}x + 3y_0^2.{\Delta}y$

Nhận xét:

1. Xét ${\alpha}.{\Delta}x + {\beta}.{\Delta}y = \left({\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right).{\rho}$ , ${\rho} = \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2}$

Cho ${\Delta}x \to 0 , {\Delta}y \to 0$ thì $\rho \to 0$ . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

$0 \le \epsilon = \left | {\alpha}.{ \dfrac{{\Delta}x}{\rho}} + {\beta}.{ \dfrac{{\Delta}y}{\rho}} \right| \le \sqrt{{\Delta}x^2 + {\Delta}y^2} \to 0$

Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:

${\Delta}f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +B.{\Delta}y +{\theta}{\rho}$ , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.

2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số $z = sinx.cosy$ như ở ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.

3. Hàm số $z = f(x,y)$ được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)

Nếu hàm số $z = f(x,y)$ khả vi tại $(x_0;y_0)$ thì nó liên tục tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:

$\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} {\left[f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) - f(x_0 ; y_0)\right]} = 0$

Vậy: $\lim\limits_{{\Delta}x , {\Delta}y \to 0} f(x_0+{\Delta}x ; y_0+{\Delta}y) = f(x_0 ; y_0)$

Do đó, hàm số liên tục tại $(x_0; y_0)$ .♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại $(x_0;y_0)$ thì sẽ không khả vi tại điểm đó.

2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi tại $(x_0;y_0)$ thì nó có các đạo hàm riêng $f '_x , f '_y$ tại $(x_0; y_0)$ và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) ta cho $\Delta y = 0$ , ta được:

$f(x_0 +{\Delta}x; y_0) -f(x_0;y_0) = A.{\Delta}x +{\alpha}.{\Delta}x$

trong đó α →0 khi Δx → 0.

Do đó:

$\lim\limits_{{\Delta}x \to 0} { \dfrac{f(x_0+{\Delta}x ; y_0) - f(x_0 ; y_0)}{{\Delta}x}} = \lim\limits_{{\Delta}x \to 0} (A + \alpha ) = A$

Vậy $f'_x (x_0; y_0) = A$

Hoàn toàn tương tự ta có: $f'_y (x_0; y_0) = B$

Nhận xét:

1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại $(x_0;y_0)$ thì vi phân toàn phần của hàm số tại $(x_0; y_0)$ được xác định bởi:

$df(x_0;y_0) = { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}. {\Delta}x + { \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}. {\Delta}y$

2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

$G(x;y) = \left \{ \begin{array}{cc} { \dfrac{xy}{x^2 + y^2}} & ,(x,y) \ne (0;0) \\ 0 & , (x,y) = (0;0) \end{array} \right.$

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

$G_x(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0) - G(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{G(h,0)}{h}} = 0$

Tương tự ta có: $G_y(0;0) = 0$ nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) (xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm $M(x_0;y_0)$ . Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Các ví dụ:

1. Cho hàm: $f(x;y) = \left\{\begin{array}{cc} { \dfrac{2xy}{x^2+y^2}} & \text{khi} (x;y) \ne (0;0) \\ 0 & \text{khi} (x;y) = (0;0) \\ \end{array} \right.$

Tính ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}x}}(0;0)$ và ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0)$ . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

${ \dfrac{\partial f}{\partial x}}(0;0) = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{f(0+h;0)-f(0;0)}{h}} = \lim\limits_{h \to 0} { \dfrac{0 - 0}{h}} = 0$

tương tự: ${ \dfrac{{\partial}f}{{\partial}y}}(0;0)$ = $\lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{f(0;0+h)-f(0;0)}{h}}$ = $\lim\limits_{h \to 0}{ \dfrac{0 - 0}{h}} = 0$

Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

$\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)}f(x;y) = \lim\limits_{x \to 0} { \dfrac{2x.kx}{x^2+k^2x^2}} = { \dfrac{2k}{k^2+1}}$

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.

Do đó: $\lim\limits_{(x;y) \to (0;0)} f(x;y) \ne f(0;0) = 0$

Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)

2. Tìm vi phân của hàm số: $z = ln(x+ \sqrt{x^2+y^2})$

Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi $(x;y) \ne (0;0)$ nên khả vi tại mọi điểm $(x;y) \ne (0;0)$ . Khi đó ta có:

$df = { \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}}}+{ \dfrac{ydy}{\left(x+\sqrt{x^2+y^2}\right){\sqrt{x^2+y^2}}}}$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

30 bình luận về “Hàm số khả vi và vi phân toàn phần”

em thua thay thay giup em bai voi ak tim a b de [axcos(x^2+3y^2)+2.3^^(2x-y)]dx+[6ycos(x^2+3y^2)+b.3^^(2x-y)]dy la vi phan toan phan cua 1 ham U(x,y) nao do

ThíchThích
Được đăng bởi nguyen chien thang | 28/05/2012, 01:25 Reply to this comment
thầy giải giúp em bài này với ạ. Xét tính khả vi của hám số: F(x,y) = (xy)/căn của (x^2+y^2) nếu (x,y) # 0 0 nếu (x,y) = 0 Em cảm ơn thầy!

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi tuấn | 30/12/2011, 15:30 Reply to this comment
Thầy ơi, hướng dẫn giúp em bài này với: Tìm tốc độ thay đổi cùa hàm f(x,y,z)= x^2-y+z tại điểm (1,1,1) theo hướng vuông góc với mặt X^2 +y^2 -z =1 tại điểm (1,-1,1) em cảm ơn thầy!!

ThíchThích
Được đăng bởi Minh Thanh | 14/12/2011, 10:54 Reply to this comment
thưa thầy em mong thầy cho em phương pháp cụ thể để chứng minh hàm số khả vi.em cảm ơn thầy rất nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi phạm thu | 24/11/2011, 05:09 Reply to this comment
em thưa thầy vậy muốn kết luận hàm số có khả vi không thì bước một là minh phải chứng minh hàm số đó có đaoh hàm riêng và đạo hàm riêng tại mọi (x,y) # (o, o). sau đó mới đến điểm (o,o) ạ?. ( điểm (o,o) là điểm mà đầu bài cho sẵn)

ThíchThích
Được đăng bởi choxinh | 22/05/2011, 23:00 Reply to this comment
Thầy giúp giùm em bài này : Tìm a để hàm số f(x) =sinx – ax/x^2 (x#0) khả vi tại x=0 f(x) = 0 (x=0)

ThíchThích
Được đăng bởi ox_ngo | 18/01/2011, 08:08 Reply to this comment
với cách giải của thầy ứng dụng vói hàm 2 biến,mở rộng với hàm n biến, xét tính khả vi có làm tương tự không ạ?thầy có thể cho em một vd minh họa không ạ?em cảm ơn thầy nhìu

ThíchThích
Được đăng bởi dao thi loan | 13/01/2011, 11:45 Reply to this comment
- Sự khả vi của hàm 2 biến khác với sự khả vi của hàm 1 biến. Nhưng sự khả vi của hàm nhiều biến thì hoàn toàn tương tự nhau. Do đó, em có thể mở rộng với hàm n biến.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 13/01/2011, 21:24 Reply to this comment
thầy ơi biểu thức này từ đâu có vậy thày em ko hiểu f(x0+h)-f(x0)=f'(x0).h + a.h

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyen thanh canh | 26/10/2010, 08:46 Reply to this comment
thầy ơi em ko biết câu này thầy chỉ hướng cho em với: cho ham số f:[a,b], chứng minh nếu f khả vi tại x0 thì liên tục tại x0 thay oi giúp em voi, em cám ơn thầy nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyen thanh canh | 21/10/2010, 19:56 Reply to this comment
- Em sử dụng định nghĩa về hàm số khả vi tại x0, em sẽ có: $f(x_0+h) - f(x_0) = f'(x_0).h + \alpha . h$ , với $\alpha \to 0$ khi $h \to 0$ Từ điều trên, em dễ dàng có được: $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) - f(x_0) = 0$ Hay: $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0)$ Điều này, chứng tỏ f liên tục tại x0.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 21/10/2010, 21:26 Reply to this comment
thầy giúp em giải bài này tìm vi phân toàn phần: z=(x2+x+xy)ngũ(x-y+1) em cảm ơn thầy

ThíchThích
Được đăng bởi phu | 03/06/2010, 21:56 Reply to this comment
Cảm ơn thầy. Em đã tìm được câu trả lời cho mình (by counter-evidence method).

ThíchThích
Được đăng bởi Duc Lam | 29/05/2010, 10:39 Reply to this comment

« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Maths 4 Physics (M4Ps)

Đăng ký nhận tin

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Tham gia cùng 2 792 người đăng ký khác

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

	Dương Khánh Uyên trong Trang 2
	Trần Thái An trong Trang 2
	Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
	Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
	Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
	Nhung Duong trong Trang 2
	khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
	Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
	Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
	Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Bài “hot”

Khai triển Taylor - Maclaurin (Taylor expansion)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến

Bài viết chuyên đề

Bài giảng (20)
- Video bài giảng (4)
Bài viết (192)
- Bài viết về ICT (59)
  - Cảnh báo virus (1)
  - giaovien.net (6)
  - Mẹo Wordpress (13)
  - Thủ thuật Gmail (7)
- Giáo dục (29)
- Khoa học (51)
- Thư giãn (45)
Bí quyết học tập (20)
Cuộc sống sinh viên (26)
Hình ảnh và Tin tức (32)
Làm theo lời Bác (9)
Life's Art (61)
nguyên tắc sáng tạo (27)
Toán học (104)
- Lịch sử Toán học (13)
- Liên kết Toán học (6)
- Luyện thi Đại học (7)
  - Đề thi thử (4)
- Vẻ đẹp Toán học (8)
- Đố vui (36)

Maths 4 Physics & more…

Blog tại WordPress.com.

Trang này sử dụng cookie. Tìm hiểu cách kiểm soát ở trong: Chính Sách Cookie

Theo dõi Đã theo dõi
- Maths 4 Physics & more...
- Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
- Maths 4 Physics & more...
- Theo dõi Đã theo dõi
- Đăng ký
- Đăng nhập
- URL rút gọn
- Báo cáo nội dung
- Xem toàn bộ bài viết
- Quản lý theo dõi
- Ẩn menu

%d Tạo trang giống vầy với WordPress.comHãy bắt đầu

Từ khóa » Hàm Số Liên Tục Tại 1 điểm Nhưng Không Khả Vi Tại điểm đó

Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần | Maths 4 Physics & More...

Maths 4 Physics & more…

Tìm

Đánh giá:

Chia sẻ:

Thảo luận

30 bình luận về “Hàm số khả vi và vi phân toàn phần”

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Translators & RSS

Đăng ký nhận tin

Đôi lời

Lời nhắn mới nhất

Bài “hot”

Bài viết chuyên đề

Xét Tính Khả Vi Của Hàm Số - Theza2

Tính Khả Vi Và Tính Liên Tục - Giải Tích - Diễn đàn Toán Học

Giải Tích 1: C2-B : Bài Tập Xét Sự Khả Vi Của Hàm Số - YouTube

Hàm Số Khả Vi – Wikipedia Tiếng Việt

Math Educare] Toan A1-giai Tich Ham Mot Bien_giai Tich ... - SlideShare

Một Vài Cách Chứng Minh Tính Không Khả Vi Của Hàm Weierstrass

Làm Thế Nào để Hiểu Hàm Số Khả Vi? - Banhoituidap

Xét Tính Khả Vi Của Hàm Số, Hàm Số Khả Vi Và Vi Phân Toàn Phần

3 Mối Liên Hệ Liên Tục - Khả Vi - Tài Liệu Text - 123doc

Ứng Dụng Tính Liên Tục Và Tính Khả Vi Của Hàm Số Trong Phương Trình ...

Xét Tính Khả Vi Của Hàm Số

[PDF] BÀI 4: HÀM NHIỀU BIẾN - Topica

Tính Khả Vi Của Hàm Số

[PDF] Chương 3. Hàm Liên Tục Một Biến Số Lê Văn Trực

Liên Hệ