Một Vài Cách Chứng Minh Tính Không Khả Vi Của Hàm Weierstrass

Có thể bạn quan tâm

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/05/29/khai-ni%E1%BB%87m-h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-d%E1%BB%81u-va-ham-weierstrass-ham-cantor/

tôi có đề cập đến hàm Weierstrass

$W(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n \cos(b^n\pi x)$ .

Khi $0<a<1$ , bằng dấu hiệu Weierstrass, không khó để chứng minh chuỗi hàm trên hội tụ đều và do đó hàm giới hạn $W(x)$ là hàm liên tục. Tuy nhiên khi $0<a<1$ và $ab\ge 1$ , G. H. Hardy chứng minh được rằng hàm $W(x)$ là hàm không khả vi tại bất kỳ điểm nào. Kết quả này nhắc cho ta về việc chuyển phép lấy đạo hàm qua dấu tổng “vô hạn” cần có điều kiện chuỗi đạo hàm hội tụ đều! Một điều nữa kết quả này cũng nhắc ta rằng không phải hàm liên tục thì nó chỉ không khả vi tại vài điểm. Đến đây các bạn có thể đặt câu hỏi: nhỡ Hardy chứng minh chưa đúng? Dưới đây tôi trình bày một số cách tiếp cận khác khẳng định kết quả Hardy đưa ra là đúng.

Bằng cách đổi biến ta có thể viết lại hàm $W(x)$ đơn giản hơn

$W(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a^n \cos(b^n x)$ .

Cách thứ 1 được tham khảo từ cuốn “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson. Với cách này ta sẽ chứng minh được cho trường hợp $b$ là số tự nhiên không bé hơn $2.$ Ta bắt đầu bằng bổ đề sau.

BĐ 1. Cho $f\in L^1(\mathbb T)$ , nghĩa là hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ và khả tích Lebesgue trên một chu kỳ. Giả sử có số nguyên $n_0$ và số tự nhiên $N$ sao cho hệ số Fourier của hàm đã cho $f$

$\hat{f}(j)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)e^{-ijx}dx=0$ với mọi $1\le |j-n_0|\le 2N$ .

Giả sử thêm $f(t)=O(t)$ khi $t\to0$ . Khi đó ta có ước lượng

$|\hat{f}(n_0)|\le 2\pi^4(N^{-1}\sup\limits_{|t|<N^{-1/4}}|t^{-1}f(t)|+N^{-2}||f||_{L^1})$ .

Áp dụng BĐ 1 cho hàm $W(x)$ như sau:

Tại điểm $x_0$ bất kỳ. Giả sử $W(x)$ khả vi tại $x_0$ . Xét

$f(x)=W(x+x_0)-W(x_0)\cos x - W'(x_0)\sin x$ .

Khi đó:

+) $f(0)=f'(0)=0$ nên $\lim\limits_{t\to0}|t^{-1}f(t)|=0$ ,

+) $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , liên tục,

+) với $n=b^k, k\in\mathbb N, k\ge 2,$ có

$\hat{f}(j)=0$ khi $b^{k-1}+1\le j< b^k$ hay $b^k<j<b^{k+1}-1$ ,

nên nếu chọn $N=b^{k-2}$ ta có

$\hat{f}(j)=0$ khi $1\le |j-b^k|\le 2N<b^{k-1}$ (chú ý $b\ge 2$ ).

Như vậy hàm $f$ thỏa mãn các điều kiện của BĐ 1 với

$n=b^k, N=b^{k-2}, k\in\mathbb N, k\ge 2$

nên $|\hat{f}(b^k)|\le 2\pi^4(b^{-k}b^2\sup\limits_{|t|\le b^{(2-k)/4}}|t^{-1}f(t)|+b^{-2k}b^4||f||_{L^1})$ .

Do đó $\lim\limits_{k\to\infty}b^k|\hat{f}(b^k)|=0$ . Mặt khác $|\hat{f}(b^k)|=a^k$ và $ab\ge 1$ nên ta có điều mâu thuẫn. Vậy điều giả sử rằng $W(x)$ khả vi tại $x_0$ là sai hay ta có điều phải chứng minh.

Quay trở lại chứng minh BĐ 1, ta dùng nhân Jackson

$J_n(x)=||K_n||^{-2}_{L^2}K^2_n(x)$ , với $K_n(x)=\sum\limits_{|j|\le n}(1-\frac{j}{n})e^{ijx}$ .

Một vài tính chất của nhân Jackson

+) $J_n(x)$ là đa thức lượng giác có bậc $2n$ và hệ số Fourier $\hat{J}_n(0)=||J_n||_{L^1}=1$ ,

+) $0\le J_n(x)\le 2\pi^4 n^{-3}|x|^{-4}$ .

Khi đó

$\hat{f}(n_0)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi e^{-in_0x}J_N(x)f(x)dx$ .

Tiếp đó phân tích tích phân trên thành ba phần

$\int\limits_{|x|\le N^{-1}}, \int\limits_{N^{-1}\le |x|\le N^{-1/4}}, \int\limits_{|x|>N^{-1/4}}$

rồi đánh giá từng phần ta sẽ có đánh giá như BĐ 1.

Cách thứ 2 tham khảo từ cuốn “Fourier analysis: An introduction” của Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Khác với Y. Katznelson dùng nhân Jackson, Elias M. Stein và Rami Shakarchi sử dụng nhân de la Valee Poussin

$V_n(x)=2K_{2n}(x)-K_n(x)$ .

Với cách tiếp cận này ta sẽ chứng minh được cho trường hợp $b=2$ và $1/2<a<1$ . Khi đó để ý rằng, với $n=2^{k-1}, k\in\mathbb N,$ có

$(V_{2n}-V_n)*W(x)=a^k\cos(2^kx)$ .

Ngoài ra ta có bổ đề sau.

BĐ 2. Cho $f$ là hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ . Giả sử $f$ khả vi tại $x_0$ . Khi đó ta có

$(K_n*f)'(x_0+h)=O(\log n)$ khi $n\to\infty$ , với $|h|<1/n$ .

Phần còn lại của cách tiếp cận này các bạn thử tự hoàn chỉnh xem sao. Để chứng minh được cho cả trường hợp $a=1/2$ Elias M. Stein và Rami Shakarchi điều chỉnh lại một chút cách tiếp cận trên như sau.

Giữ tính chất tốt của nhân $V_n(x)$ là đa thức lượng giác bậc $2n$ và hệ số Fourier

$\hat{V}_n(j)=1$ khi $|j|\le n$ .

Cụ thể ta quan tâm đến nhân

$\Delta_n(x)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\Phi(j/n)e^{ijx}$

trong đó $\Phi\in C^\infty_0(\mathbb R)$ thỏa mãn

$\Phi(x)=1$ khi $|x|\le 1$ ,

$\Phi(x)=0$ khi $|x|\ge 2$ .

Lấy biến đổi ngược Fourier hàm $\Phi$ ta được $\varphi\in S(\mathbb R)$ . Nếu đặt $\varphi_n(x)=n\varphi(x/n)$ có $\hat{\varphi}_n(x)=\Phi(x/n)$ . Theo công thức tổng Poisson ta có

$\Delta_n(x)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\varphi_n(x+j2\pi)$ .

Khi đó ngoài tính chất

$(\Delta_{2n}-\Delta_n)*W(x)=a^k\cos(2^kx)$ khi $n=2^{k-1}$

nhân $\Delta_n$ còn có các tính chất

+) $|\Delta'_n(x)|\le cn^2$ ,

+) $|\Delta'_n(x)|\le c/(nx^3)$ khi $|x|\le \pi$ ,

+) $\int\limits_{|x|\le \pi}\Delta'_n(x)dx=0$ và $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{|x|\le\pi}x\Delta'_n(x)dx=-1$ .

Từ đó dẫn đến

$\lim\limits_{n\to\infty}(\Delta'_n*W)(x_0+h_n)=W'(x_0)$

nếu $W$ khả vi tại $x_0$ và $|h_n|<1/n$ .

Đến đây ta lại xét hiệu đạo hàm

$(\Delta_{2n}-\Delta_n)'*W(x_0+h_n)=(2a)^k \sin(x_0+h_n)$

và chọn $h_n=\min\{|x_0-\pi/2+m\pi||\; m\in\mathbb Z\}$ ta sẽ thấy điều mâu thuẫn khi cho $n\to\infty$ .

Cách thứ 3 tham khảo từ bài báo của J. Johnsen

“SIMPLE PROOFS OF NOWHERE-DIFFERENTIABILITY FOR WEIERSTRASS’S FUNCTION AND CASES OF SLOW GROWTH”, Journal of Fourier Analysis and Applications, February 2010, Volume 16, Issue 1, pp 17-33.

Khác với cách lấy $\Phi\in C^\infty_0(\mathbb R)$ thỏa mãn

$\Phi(x)=1$ khi $|x|\le 1$ ,

$\Phi(x)=0$ khi $|x|\ge 2$ ,

J. Johnsen lấy hàm $\chi\in S(\mathbb R)$ có biến đổi Fourier $\hat{\chi}\in C^\infty_0(\mathbb R)$ thỏa mãn