Hằng đẳng Thức đáng Nhớ đầy đủ Nhất

Hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung rất quan trọng và cần thiết dành cho các bạn học sinh lớp 7, lớp 8. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học chương 1 Đại số 8 cho tất cả học sinh phổ thông.

TOP 7 Hằng đẳng thức tổng hợp toàn bộ công thức về hằng đẳng thức, ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác.

Hằng đẳng thức: Lý thuyết và bài tập

• I. Hằng đẳng thức đáng nhớ
• II. Hệ quả hằng đẳng thức
• III.  Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Diễn giải: Bình phương của một tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Diễn giải: Bình phương của một hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)

Diễn giải: Hiệu hai bình phương hai số bằng tổng hai số đó, nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

Diễn giải: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, rồi cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

Diễn giải: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất, trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Ví dụ minh họa về hằng đẳng thức

Ví dụ 1

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

\(a) (3x+4)^{2}\)

\(b) (5x-y)^{2}\)

\(c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}\)

Gợi ý đáp án

\(a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16\)

\(b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}\)

\(c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}\)

Ví dụ 2

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

\(a) x^{2}+2x+1\)

\(b) 9-24x+16x^{2}\)

\(c) 4x^{2}+\frac{1}{4}+2x\)

Gợi ý đáp án

\(a) x^{2}+2x+1=x^{2}+2x+1^{2}=(x+1)^{2}\)

\(b) 9-24x+16x^{2}=3^{2}-24x+(4x)^{2}=(3-4x)^{2}\)

\(c) 4x^{2}+\frac{1}{4}+2x=(2x)^{2}+2x+(\frac{1}{2})^{2}\)

\(=(2x+\frac{1}{2})^{2}\)

Ví dụ 3

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

\(a) (3x - 5)(3x + 5)\)

\(b) (x - 2y)(x + 2y)\)

\(c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)\)

Gợi ý đáp án

\(a) (3x - 5)(3x + 5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25\)

\(b) (x - 2y)(x + 2y)=x^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}\)

\(c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)=(-x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}\)

\(=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}\)

Ví dụ 4

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Gợi ý đáp án

\(a) (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9\)

\(b) (3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8\)

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

\((a+b)^2=(a-b)^2+4ab\)

\((a-b)^2=(a+b)^2-4ab\)

\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)

\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)

\((a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\)

\((a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc\)

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2\)

\(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\)

\(a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2\)

\(a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

\((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)\)

\((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\)

Hệ quả tổng quát

\(a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+\ldots+a^2b^{n-3}-a\cdot b^{n-2}+b^{n-1})\)

\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})\)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

\((a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\)

\((a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III.  Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

• Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức.
• Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.
• Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
• Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
• Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
• Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
• Dạng 7: Tìm giá trị của x
• Dạng 8: Thực hiện phép tính phân thức
• Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x2 – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : Cmin= 4 khi x = 1

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x2

Giải.

Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2

Mà : -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : Dmax= 4 khi x = 2.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Giải.

VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.

Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dang 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x2 – 4x + 4 – y2

Giải.

Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2

= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]

= (x – 2)2 – y2 [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Bài 1: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Bài 2: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8 : Tìm x. biết :

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

Giải.

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0

( x – 3 ) (x2 – 4) = 0

( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0

( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0

x = 3 hay x = 2 hay x = –2

vậy : x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

Tính giá trị của phân thức M = \(\frac{x^3-1}{x^2 -2x+1}\) tại x = –1

Giải.

ta có : M = \(\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}\)

= \(\frac{x^2+x+1}{x -1}\)

Khi x = -1 : M = \(\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =\frac{-1}{2}\)

Vậy : M = \(=\frac{-1}{2}\) tại x = -1 .

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hiện làm bài tập dưới đây:

• Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa các số, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải thành thạo thì việc áp dụng các hằng đẳng thức mới có thể rõ ràng và chính xác được.
• Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức thì khi áp dụng vào các bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan đến việc chứng minh bài toán.
• Khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất mỗi bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức ở trên, chỉ là sự biến đổi qua lại sao cho phù hợp trong việc tính toán.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

1. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)2;

b) (x - 3y)(x + 3y);

c) (5 - x)2.

d) (x - 1)2;

e) (3 - y)2

f) (x - )2.

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x2+ 6x + 9;

b) x2+ x + ;

c) 2xy2 + x2y4 + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)2+ (x - y)2;

b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2+ (x + y)2;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)2- 4(x + 2)2= 9;

b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)2+ (2x - 1)2- 7(x + 3)(x - 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 192; 282; 812; 912;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 292- 82; 562- 462; 672 - 562;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x2- 6x +2;

b) x2 + x + 1;

c) 2x2 + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x2- 3x + 5;

b) B = (2x -1)2+ (x + 2)2;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 - x2 + 2x;

b) B = 4x - x2;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x3+ 12x2+ 48x + 64 tại x = 6

B = x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

C= x3+ 9x2+ 27x + 27 tại x= - 103

D = x3 – 15x2 + 75x - 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x - 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;

b) (x + 1)3- (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -10

Bài 11: Rút gọn

e. (2x + y)(4x2– 2xy +y2) – (2x - y)(4x2+ 2xy + y2)

Bài 12: Chứng minh

a. a3+ b3 = (a + b)3– 3ab(a + b)

b. a3 - b3 = (a - b)3 – 3ab(a - b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy

Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3- y3- 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x2– 6x + 9) – 2(4x3– 1)

B = (x + y)(x2– xy + y2) + (x - y)(x2+ xy + y2) – 2x3.

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

2. Bài tập nâng cao 

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 127² + 146.127 + 73²

b) 98.28– (184 – 1)(184 + 1)

c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

Lời Giải

a) A = 127² + 146.127 + 73²

= 127² + 2.73.127 + 73²

= (127 + 73)²

= 200²

= 40000 .

b) B = 9 8 .2 8 – (18 4 – 1)(18 4 + 1)

= 188 – (188 – 1)

= 1

c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232

b) A = 1989.1991 và B = 19902

Gợi ý đáp án

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 232 – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.