Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Một ẩn Và Cách Giải Hay, Chi Tiết

• Lý thuyêt bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Các dạng bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
• Bài tập tự luyện Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1. Lý thuyết

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

2. Các dạng toán

Dạng 4.1: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Phương pháp giải:

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình: 3x+1≥2x+74x+3>2x+19.

Lời giải:

Ta có: 3x+1≥2x+74x+3>2x+19⇔x≥62x>16⇔x≥6x>8⇔x>8 .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: S=(8;+∞) .

Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau  2x−1≥3x−32−x2<x−3x−3≥2 .

Lời giải:

ĐKXĐ: x≥3. 

Ta có:

2x−1≥3x−32−x2<x−3x−3≥2  ⇔2x−1≥3x−92−x<2x−6x−3≥4

 ⇔−x≥−8−3x<−8x≥7 ⇔x≤8x>83x≥7⇔7≤x≤8  (t/m).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là S=[7;8] .

Dạng 4.2: Xác định tham số m để hệ bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm

a. Phương pháp giải:

Ta giải từng bất phương trình của hệ theo tham số m. Sau đó, biện luận bất phương trình có nghiệm hay vô nghiệm dựa vào giao của các tập nghiệm:

+) Hệ bất phương trình có nghiệm khi giao của các tập nghiệm khác rỗng.

+) Hệ bất phương trình vô nghiệm khi giao của các tập nghiệm bằng rỗng.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm m để hệ bất phương trình 2x−1>0x−m<2 có nghiệm.

Lời giải:

Bất phương trình 2x−1>0 có tập nghiệm S1=12;+∞. 

Bất phương trình x−m<2 có tập nghiệm S2=−∞;m+2. 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1∩S2≠ ∅ ⇔m+2>12 ⇔m>−32. 

Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phương trình  3x+4>x+91−2x≤m−3x+1 vô nghiệm.

Lời giải:

+ Bất phương trình 3x+4>x+9⇔2x>5⇔x>52 

Tập nghiệm bất phương trình là S1=52;+∞. 

+ Bất phương trình 1−2x≤m−3x+1⇔x≤m 

Tập nghiệm bất phương trình là S2=−∞;m .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2=∅⇔m≤52. 

3. Bài tập tự luyện:

3.1 Tự luận

Câu 1: Giải hệ bất phương trình x+3<4+2x5x−3<4x−1 .

Lời giải:

Ta có: x+3<4+2x5x−3<4x−1⇔x>−1x<2⇔−1<x<2.

Câu 2: Giải hệ bất phương trình 2x−13<−x+14−3x2<3−x .

Hướng dẫn:

Ta có:   2x−13<−x+14−3x2<3−x⇔2x−1<−3x+34−3x<6−2x

⇔5x<4−x<2⇔x<45x>−2⇔x∈−2;45

Câu 3: Giải hệ bất phương trình 4x+32x−5<6x−1x+3>2 .

Lời giải:

Ta có: 4x+32x−5<6x−1x+3>2⇔4x+32x−5−6<0x−1x+3−2>0  

⇔4x+3−12x+302x−5<0x−1−2x−6x+3>0⇔−8x+332x−5<0−x−7x+3>0  

⇔x∈−∞;52∪338;+∞x∈−7;−3⇔x∈−7;−3  .

Câu 4: Giải hệ bất phương trình 3x+2>2x+31−x>0 .

Lời giải:

Ta có: 3x+2>2x+31−x>0⇔x>1x<1 (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm bất phương trình trên là S=∅. 

Câu 5: Tìm m để hệ bất phương trình 3x−6<−35x+m2>7 có nghiệm.

Lời giải:

Bất phương trình 3x−6<−3 có tập nghiệm S1=−∞;5. 

Bất phương trình 5x+m2>7 có tập nghiệm S2=14−m5;+∞. 

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi S1∩S2≠ ∅ ⇔14−m5<5 ⇔m>−11. 

Câu 6: Tìm m để hệ bất phương trình mmx−1<2mmx−2≥2m+1 có nghiệm.

Lời giải:

Hệ bất phương trình tương đương với m2x<m+2m2x≥4m+1 .

· Với m = 0, hệ bất phương trình trở thành 0x<20x≥1  (vô nghiệm).

· Với m≠0 , hệ bất phương trình tương đương với x<m+2m2x≥4m+1m2 .

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m+2m2>4m+1m2⇔m<13 .

Vậy 0≠m<13 là giá trị cần tìm.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 2x−1≥3x−m≤0 có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Bất phương trình 2x−1≥3⇔x≥2 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=2;+∞. 

Bất phương trình x−m≤0⇔x≤m 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;m .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì S1∩S2 là tập hợp có đúng một phần tử. Suy ra m = 2

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình m2x≥6−x3x−1≤x+5 có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

Bất phương trình m2x≥6−x⇔m2+1x≥6⇔x≥6m2+1 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=6m2+1;+∞. 

Bất phương trình 3x−1≤x+5⇔x≤3 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;3 .

Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì S1∩S2 là tập hợp có đúng một phần tử, suy ra 6m2+1=3⇔m2=1⇔m=±1. 

Câu 9: Tìm m để hệ bất phương trình 2x+7≥8x+1m+5<2x vô nghiệm.

Lời giải:

Bất phương trình 2x+7≥8x+1⇔−6x≥−6⇔x≤1 

 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−∞;1. 

Bất phương trình m+5<2x⇔x>m+52

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S2=m+52;+∞ 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2=∅⇔1≤m+52⇔m≥−3. 

Câu 10: Tìm m để hệ bất phương trình x−32≥x2+7x+12m≤8+5x vô nghiệm.

Lời giải:

Bất phương trình x−32≥x2+7x+1⇔x2−6x+9≥x2+7x+1 

⇔−6x+9≥7x+1⇔8≥13x⇔x≤813

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−∞;813. 

Bất phương trình 2m≤8+5x⇔x≥2m−85 

⇒  Tập nghiệm của bất phương trình là S2=2m−85;+∞ 

Để hệ bất phương trình vô nghiệm ⇔S1∩S2=∅⇔813<2m−85⇔m>7213. 

3.2 Trắc nghiệm:

Câu 1: Cho hệ bất phương trình mx+2m>02x+35>1−3x5 . Xét các mệnh đề sau:

(I) Khi m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(II) Khi m = 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R .

(III) Khi   thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 25;+∞ .

(IV) Khi m > 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 25;+∞ .

Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?

A. 1.  

B. 0.   

C. 2.  

D. 3.

Lời giải:

Chọn C.

Ta có : mx+2m>02x+35>1−3x5⇔mx>−2mx>25  .

Với m < 0 thì mx>−2mx>25⇔x<−2x>25⇔x∈∅  . 

Với m = 0 thì mx>−2mx>25⇔0x>0x>25⇔x∈∅   . 

Với m > 0 thì mx>−2mx>25⇔x>−2x>25⇔x>25  . 

Vậy (I) và (IV) đúng; (II) và (III) sai.

Câu 2: Hệ bất phương trình x+34−x>0x<m−1 vô nghiệm khi:

A. m≤−2 .  

B. m > -2.    

C. m < -1.    

D. m = 0.

Lời giải:

Chọn A.

x+34−x>0x<m−1⇔−3<x<4x<m−1  .

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi m−1≤−3⇔m≤−2  .

Câu 3: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 4−x≥0x+2≥0 là:

A. S=−∞;−2∪4;+∞ .         

B. S=−2;4 .

C. S=2;4 .          

D. S=−∞;−2∪4;+∞ .

Lời giải:

Chọn B.

Hệ phương trình ⇔x≤4x≥−2⇔−2≤x≤4  .

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S=−2; 4 .

Câu 4: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 4x+56<x−32x+3>7x−43 là:

A. 232; 13 . 

B. −∞; 13 . 

C. 13; −∞ . 

D. −∞; 232.

Lời giải:

Chọn  A.

Ta có: 4x+56<x−32x+3>7x−43⇔2x−23>0x−13<0  

⇔x>232x<13⇔x∈232;13  .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình 3x−6<−35x+m2>5 có nghiệm.

A. m < -15.  

B. m≥−15 . 

C. m > -15.  

D. m≤−15 .

Lời giải:

Chọn C.

3x−6<−35x+m2>5⇔3x<155x+m>10⇔x<5x>10−m5   .

Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔10−m5<5⇔10−m<25⇔m>−15.

Câu 6: Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 5x−2<4x+5x2<x+22 bằng:

A. 21.

B. 28. 

C. 27. 

D. 29.

Lời giải:

Chọn  A.

5x−2<4x+5x2<x+22  ⇔x<7x2<x2+4x+4

⇔x<7−4x<4⇔x<7x>−1  .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là S= (-1; 7).

Suy ra các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ bất phương trình là 21.

Câu 7: Giá trị x = -2 là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. 2x−3<13+4x>−6 .    

B. 2x−5<3x4x−1>0 .    

C. 2x−4>31+2x<5 .      

D. 2x−3<3x−52x−3>1 .

Lời giải:

Chọn  A.

Thay x = -2 và từng hệ bất phương trình của các đáp án, ta được đáp án A thỏa mãn.

Câu 8: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình mx≤m−3m+3x≥m−9 có nghiệm duy nhất.

A. m = -2     

B. m = 1      

C. m = 2      

D. m = -1

Lời giải:

Chọn  B.

+) Với m = 0, hệ bất phương trình đã cho trở thành 0x≤−3x≥−3  (vô nghiệm)

+) Với m = -3, hệ bất phương trình đã cho trở thành x≥20x≥−12⇔x≥2 . 

Do đó hệ không có nghiệm duy nhất.

+) Với m≠0;m≠−3 , hệ bất phương trình đã cho trở thành x≤m−3mx≥m−9m+3 

Để hệ có nghiệm duy nhất thì m−3m=m−9m+3⇔m=1. 

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2−x>02x+1>x−2 là

A. −3; 2 .   

B. −∞; 3 .  

C. 2; +∞ . 

D. −3; +∞ .

Lời giải:

Chọn  A.

Ta có: 2−x>02x+1>x−2⇔x<2x>−3⇔−3<x<2  .

Câu 10: Hệ bất phương trình 3x+5≥x−1x+22≤x−12+9mx+1>m−2x+m vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. m=3  

B. m≥3.

C. m<3      

D. m≤3. 

Lời giải:

Chọn   B.

+ Bất phương trình 3x+5≥x−1⇔2x≥−6⇔x≥−3 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S1=−3;+∞  

+ Bất phương trình x+22≤x−12+9⇔x2+4x+4≤x2−2x+1+9 

⇔4x+4≤−2x+1+9⇔6x≤6⇔x≤1

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S2=−∞;1 

Suy ra S1∩S2=−3;1 .

+ Bất phương trình mx+1>m−2x+m⇔mx+1>mx−2x+m 

⇔1>−2x+m⇔2x>m−1⇔x>m−12

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S3=m−12;+∞

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì S1∩S2∩S3=∅⇔m−12≥1⇔m≥3.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Bảng phân bố tần số, tần suất và cách giải
• Biểu đồ và cách giải bài tập
• Số trung bình cộng, Số trung vị, Mốt và cách giải
• Phương sai, độ lệch chuẩn và cách giải
• Góc và cung lượng giác và cách giải

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều