Hệ Phương Trình đối Xứng Loại 2, Cách Giải Và Bài Tập Vận Dụng

Có thể bạn quan tâm

Vậy hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng như thế nào? cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 ra sao? chúng ta sẽ làm biết trong bài viết này và qua đó vận dụng giải minh họa một số bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 cực hay

• Hệ phương trình đối xứng loại 2

- Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng: $\small \left\{\begin{matrix} f(x,y)=0\\ f(y,x)=0 \end{matrix}\right.$

* Ví dụ phương trình đối xứng loại 2: $\small \left\{\begin{matrix} x^2-2x +y =0\\ y^2-2y+x=0 \end{matrix}\right.$

• Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Bước 1: Cộng hoặc trừ hai vế của hai phương trình trong hệ, ta thu được phương trình mới. Biến đổi phương trình này về phương trình tích, tìm biểu thức liên hệ giữa x và y đơn giản.

+ Bước 2: Thế x theo y (hoặc y theo x) vào một trong hai phương trình ban đầu của hệ.

+ Bước 3: Giải và tìm ra nghiệm x (hoặc y). Từ đó suy ra nghiệm còn lại.

+ Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

hayhochoi

• Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2 có lời giải

* Bài tập 1: Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau: $\small \left\{\begin{matrix} x^3-3x=8y\\ y^3-3y=8x \end{matrix}\right.$

* Lời giải:

- ta có: $\small \left\{\begin{matrix} x^3-3x=8y\\ y^3-3y=8x \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-3x-8y=0\\ y^3-3y-8x=0 \end{matrix}\right.$

lấy pt(1) trừ đi pt(2) ta được:

$\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3=3x+8y\\ (x-y)(x^2+xy+y^2+5)=0 \end{matrix}\right.$

vì $\small x^2+xy+y^2+5$ $\small =(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2+5\geq 5,\: \forall x,y$ nên hệ trên tương đương

$\small \left\{\begin{matrix} x^3=3x+8y\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3-11x=0\\ x=y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left \[\begin{matrix} x=0\\ x=\pm \sqrt{11} \end{matrix} \right.\\ x=y \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có tập nghiệm: $\small (x;y)= \left \{ (0;0);(\sqrt{11};\sqrt{11});(-\sqrt{11};-\sqrt{11}) \right \}$

* Bài tập 2: Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau: $\small \left\{\begin{matrix} x^2-5x+4y=0\\ y^2-5y+4x=0 \end{matrix}\right.$

* Lời giải:

- Trừ pt(1) (ở trên) cho pt(2) (ở dưới) của hệ ta được:

x2 - y2 -5x + 5y + 4y - 4x = 0

⇔ (x - y)(x + y) - 9(x - y) = 0

⇔ (x - y)(x + y - 9) = 0

⇔ x - y = 0 hoặc x + y - 9 = 0

+ TH1: Với x = y thay vào pt(1) ta được: y2 - y = 0

⇔ y( y - 1) = 0 ⇔ y = 0 hoặc y = 1.

với y = 0 ⇒ x = 0;

với y = 1 ⇒ x = 1;

Hệ có nghiệm (x;y) ={(0;0; (1;1)}

+ TH2: Với x = 9 - y thay vào pt(2) được

y2 - 5y +4(9 - y) = 0 (*)

⇔ y2 - 9y + 36 = 0

Δy = (-9)2 - 4.36 = 81 - 144 = -63<0 nên pt (*) này vô nghiệm.

- Kết luận cả 2 trường hợp: Hệ pt đã cho có nghiệm: (x;y) ={(0;0; (1;1)}

* Bài tập 3: Cho hệ phương trình đối xứng loại 2 theo tham số m sau:

$\small \left\{\begin{matrix} x=y^2-y+m\\ y=x^2-x+m \end{matrix}\right.$

a) Tìm m để hệ phương trình đối xứng trên có nghiệm

b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất

* Lời giải:

- Ta trừ pt(1) ở trên trừ cho pt(2) ở dưới được hệ mới:

$\small \left\{\begin{matrix} x-y=y^2-x^2-y+x\\ x=y^2-y+m \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (y-x)(y+x)=0\\ x=y^2-y+m \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left \[\begin{matrix} x=y\\ x=-y \end{matrix} \right.\\ x=y^2-y+m \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=y\\ x=y^2-y+m \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=-y\\ x=y^2-y+m \end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=y\\ x^2-2x+m=0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=-y\\ y^2+m=0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

a) Hệ có nghiệm $\small \left \[\begin{matrix} \Delta _x\geq 0\\ \Delta _y\geq 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 1-m\geq 0\\ -m\geq 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} m\leq 1\\ m\leq 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\leq 1$

Vậy m ≤ 1 thì hệ pt có nghiệm

b) Hệ có nghiệm duy nhất:

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} \Delta _x=0\\ \Delta _x<0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} \Delta _x<0\\ \Delta _y=0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 1-m=0\\ -m<0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 1-m<0\\ -m=0 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=1$

Vậy m = 1 thì hệ pt có nghiệm duy nhất.

* Bài tập 4: Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau: $\small \left\{\begin{matrix} x-3y=4\frac{y}{x}\\ \\ y-3x=4\frac{x}{y} \end{matrix}\right.$

* Lời giải:

- Điều kiện:x ≠ 0, y ≠ 0

- Lấy pt(1) ở trên trừ pt(2) ở dưới ta được:

$\small x-y-3y+3x=4\left ( \frac{y}{x}-\frac{x}{y} \right )$

$\small \Leftrightarrow 4(x-y)=4\left ( \frac{y^2-x^2}{xy} \right )$

$\small \Leftrightarrow (x-y)+ \frac{(x-y)(x+y)}{xy}=0$

$\small \Leftrightarrow (x-y)\left (1+ \frac{x+y}{xy} \right )=0$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=y\\ 1+\frac{x+y}{xy}=0 \end{matrix} \right.$

+ TH1: x - y = 0 thay vào pt(1) ta có: -2x = 4 ⇒ x = -2 = y (thỏa).

suy ra hệ có nghiệm là: (x;y) = (-2;-2).

+ TH2: $\small 1+\frac{x+y}{xy}=0\Rightarrow xy+x+y=0$ $\small \Rightarrow x=\frac{-y}{y+1}$

Thay vào pt(1) ta được: $\small \frac{-y}{y+1}-3y=-4(y+1)$

$\small \Leftrightarrow -y-3y(y+1)+4(y+1)^2=0$

$\small \Leftrightarrow y^2+4y+4=0$

$\small \Leftrightarrow (y+2)^2=0\Leftrightarrow y=-2$

Với y = -2 ⇒ x = -2 (thỏa). Suy ra hệ có nghiệm (x;y) = (-2;-2)

- Kết luận: Cả 2 TH ta có nghiệm của hệ là (x;y) = (-2;-2).

* Bài tập 5: Giải hệ phương trình đối xứng sau: $\small \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+4} + \sqrt{y-3}= 7 \\ \sqrt{y+4} + \sqrt{x-3}= 7 \end{matrix}\right.$