Hệ Phương Trình Hoán Vị Vòng Quanh - Hoàng Ngọc Thế

skip to main | skip to sidebar

• Trang chủ
• K30C toán
• Video
• Ảnh
• Liên hệ

Facebook RSS Feed Twitter Hoàng Ngọc Thế

Chú lùn thứ tám

Pages

• Dành cho giáo viên
• Thơ
• Kỉ niệm
• Hài hước
• Đố vui
• Khoa học
• Đề thi HSG
• Ứng dụng toán
• Trích dẫn văn học

Labels: Chuyên đề HSG, Phương trình và hệ phương trình

Hệ phương trình hoán vị vòng quanh

hoangngocthe Chủ Nhật, 1 tháng 9, 2013

1) Định nghĩa: Hệ phương trình hoán vị vòng quanh (3 ẩn) là hệ phương trình có dạng: $$(1) \left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right. $$ 2) Cách giải Nếu các hàm số $f(t), g(t)$ cùng đồng biến thì ta có cách giải sau: Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có: $$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$ Từ đó, kết hợp với $(1)$, ta có: $$g(y) \leq g(z) \leq g(x)$$ Mà hàm số $g(t)$ đồng bến nên ta suy ra: $$y \leq z \leq x$$ Do đó: $$x=y=z$$ Thay vào một trong ba phương trình của hệ $(1)$ ta có phương trình một ẩn. Nhìn chung, phương trình thu được khá dễ. Nếu các hàm số $f(t), g(t)$ cùng nghịch biến thì ta có cách giải tương tự. 3) Ví dụ Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $$(2) \left\{\begin{matrix}x^3-6=y \\y^3-6 =z\\z^3-6=x\end{matrix}\right. $$ Giải Xét hàm số: $$f(t) = t^3-6$$ Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(2)$ trở thành: $$(2.1) \left\{\begin{matrix}y=f(x) \\z=f(y)\\x=f(z)\end{matrix}\right. $$ Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có: $$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$ Từ đó, kết hợp với $(2.1)$, ta có: $$y \leq z \leq x$$ Do đó: $$x=y=z$$ Từ đó, ta có: $$x^3-x-6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+3)=0 \Leftrightarrow x=2$$ Vậy hệ $(2)$ có nghiệm duy nhất $(2;2;2)$ Nhưng không phải lúc nào ta cũng dễ dàng tìm ra hàm $f(t)$ Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $$(3) \left\{\begin{matrix}(x-1)^2=2y \\(y-1)^2=2z\\(z-1)^2=2x\end{matrix}\right. $$Giải Từ hệ phương trình ta có:$$x \geq 0; y \geq 0; z \geq 0$$Do đó: $$(3) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\sqrt{2y}+1 \\y=\sqrt{2z}+1\\z=\sqrt{2x}+1\end{matrix}\right.$$ Bằng cách giải tương tự ta thu được $x=y=z$. Thay vào một trong ba phương trình của $(3)$, ta có: $$x^2-4x+1=0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$$Vậy hệ $(3)$ có hai nghiệm: $$(2+\sqrt{3};2+\sqrt{3};2+\sqrt{3}); (2-\sqrt{3};2-\sqrt{3};2-\sqrt{3})$$ Ta hãy xét một trường hợp có cả hai hàm $f,g$ như lý thuyết. Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: $$(4) \left\{\begin{matrix}x^3+x^2+2x-1=2y^3 \\y^3+y^2+2y-1=2z^3\\z^3+z^2+2z-1=2x^3\end{matrix}\right. $$ Giải Xét hai hàm số:$$f(t)=t^3+t^2+2t-1;g(t)=2t^3$$Dễ thấy, hai hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hệ $(4)$ trở thành:$$\left\{\begin{matrix}f(x)=g(y)\\f(y)=g(z)\\f(z) =g(x) \end{matrix}\right. $$Bằng cách giải như mục 2, ta thu được: $x=y=z$Thay vào phương trình đầu của $(4)$ ta được:$$x^3-x^2-2x+1=0 \text{ (4.1)}$$Xét hàm số $h(x) = x^3-x^2-2x+1=0$ liên tục trên $[-2;2]$ và:$$h(-2) < 0; h(-1) > 0; h(0) > 0 ; h(1) < 0; h(2) > 0$$Do đó, phương trình $(4.1)$ có ba nghiệm trong khoảng $(-2;2)$. Đặt $x =2\cos t, t \in (0;\pi)$, ta có $\sin t \neq 0$ và $(4.1)$ trở thành:$$8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1=0$$$$\Leftrightarrow \sin t(8\cos^3t-4\cos^2t-4\cos t+1)=0$$$$\Leftrightarrow \sin 4t=\sin 3t$$$$\Leftrightarrow t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$Vậy hệ $(4)$ có ba nghiệm:$$(2\cos t;2\cos t;2\cos t), t\in \left \{ \frac{\pi}{7}; \frac{3\pi}{7};\frac{5\pi}{7}\right \}$$ Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: $$(5) \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+8x-2=y\\2y^3-7y^2+8y-2=z\\2z^3-7z^2+8z-2=x\end{matrix}\right. $$Nhận xét:Nếu xét hàm số $f(t)=2t^3-7t^2+8t-2$ thì ta được hàm số không hoàn toàn đồng biến. Giá mà ta có thế thay số $8$ thành số $9$. Ta có cách giải sau:GiảiTa có: $$(5) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x^3-7x^2+9x-2=y+x\\2y^3-7y^2+9y-2=z+y\\2z^3-7z^2+9z-2=x+z\end{matrix}\right. $$Xét hàm số $f(t) = 2t^3-7t^2+9t-2$. Dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.Giả sử $x \leq y \leq z$, vì hàm số $f(t)$ đồng biến nên ta có:$$f(x) \leq f(y) \leq f(z)$$Từ đó, ta có:$$y+x \leq z+y \leq x+z$$Do đó: $x=y$Thay vào 2 phương trình đầu, ta có $x=y=z$Từ đó: $$2x^3-7x^2+7x-2=0\Leftrightarrow x \in \left \{ 2;1;\frac{1}{2}\right \}$$ Vậy hệ phương trình $(5)$ có nghiệm:$$(1;1;1);(2;2;2);\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$$ Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: $$(6) \left\{\begin{matrix}x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\\x^3-9x^2+27x-27=0\end{matrix}\right. $$ Giải Xét hàm số: $f(t) = \sqrt[3]{9x^2-27x+27}$. Dễ thấy hàm số đã cho có tập giá trị $G=\left [ \frac{3}{\sqrt[3]4};+\infty \right )$. Do đó $x;y;z \in G$ Hàm số $f(t)$ đồng biến trong $\left ( \frac{3}{2};+\infty \right )$ nên cũng đồng biến trên $G$. Ta lại có lý luận và lời giải tương tự các ví dụ trên. 4) Bài tập Giải các phương trình và hệ phương trình sau$(4.1)\left\{\begin{matrix}2y^3+2x^2+3x+3=0\\2z^3+2y^2+3y+3=0\\2x^3+2z^2+3z+3=0\end{matrix}\right. $ $(4.2) \left\{\begin{matrix}2x(y^2+1)=y(y^2+9)\\2y(z^2+1)=z(z^2+9)\\2z(x^2+1)=x(x^2+9)\end{matrix}\right. $ $(4.2) \left\{\begin{matrix}x^2+x-y-1=0\\y^2+y-z-1=0\\z^2+z-x-1=0\end{matrix}\right. $ $(4.3)\left\{\begin{matrix}\frac{20y}{x^2}+11y=2013\\ \frac{20z}{y^2}+11z=2013\\ \frac{20x}{z^2}+11x=2013\end{matrix}\right.$ $(4.4)\left\{\begin{matrix}2x=\sqrt{3z-2}+z^3-2z^2+2\\ 2y=\sqrt{3x-2}+x^3-2x^2+2\\ 2z=\sqrt{3y-2}+y^3-2y^2+2\end{matrix}\right.$ $(4.5)\left\{\begin{matrix}2x^3+4x+4=(y+1)(y^2+2y+2)\\2y^3+4y+4=(z+1)(z^2+2z+2)\\ 2z^3+4z+4=(x+1)(x^2+2x+2)\end{matrix}\right.$ $(4.6) \text{ } 4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$ $(4.7) \left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$

Bài viết liên quan: Gửi email bài đăng này BlogThis! Chia sẻ lên X Chia sẻ lên Facebook

0 comments:

Đăng nhận xét

« Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn » Trang chủ Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)

Xin lỗi vì quảng cáo

Bạn đọc thân mên! Từ ngày 04/7/22, blog của tôi sẽ có thêm một số nội dung quảng cáo của Google Ads. Dù biết rằng bạn đọc không thích quảng cáo chút nào, song đây là xu thế chung của các blog hiện nay. Rất mong bạn đọc thông cảm và tiếp tục ủng hộ tôi. Xin trân trọng cảm ơn

Bài viết được quan tâm

• Các bài thơ trong Tam quốc diễn nghĩa 1) Bài thơ đầu phim Trường Giang cuồn cuộn chảy về đông?  Bạc đầu ngọn sóng cuốn anh hùng,  Thị phi thành bại theo dòng nước,  Sừng ...
• Lập lịch thi đấu 10 đội vòng tròn Bài toán: Hãy lập lịch thi đấu cho giải bóng đá có 10 đội tham gia theo thể thức vòng tròn một lượt Giải Cách 1 - Dùng hình học Đặ...
• Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác nào có diện tích lớn nhất? Bài toán. Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác nào có diện tích lớn nhất? Giải Giả sử tam giác $ABC$ có ba cạ...
• Đề thi HSG môn toán 11 THPT Pác Khuông năm học 2012 - 2013 Câu 1 (5điểm) : Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + \frac{{8xy}}{{x + y}} = 16 \\ \sqrt {x + y} = x^2...
• Truyện ngắn: Trong rừng trúc (Akutagawa Ryunosuke - Phạm Vũ Thịnh) Lời khai của người đốn củi với quan kiểm-sát Đúng đó, thưa quan lớn. Thấy được xác chết đó chính là tui đây chớ ai. Sáng nay tui lên r...
• Hoán vị không bất động Hôm nay có 2 sự kiện xảy ra với mình. Cả hai đều " biến động ". Sự kiện thứ nhất thì mình đã post ở dưới rồi. Sự kiện thứ 2 là ...

Các chủ đề

Thơ (128) Hài hước (62) Dành cho học sinh (54) Kỉ niệm (43) Đố vui (42) Video (37) Dành cho giáo viên (34) Đề thi HSG (34) THPT Pác Khuông (31) Ảnh (29) Trích dẫn văn học (28) Toán học và đời sống (25) Diễn đàn toán học (24) Khoa học (21) My Jokes (20) Bất đẳng thức (18) Tổ hợp - rời rạc (17) Hàm số - đạo hàm (16) Đề thi TN (16) Phương trình và hệ phương trình (14) Chuyên đề HSG (13) Đề thi ĐH (13) Đề thi Olympic (12) Dãy số - giới hạn (11) Chuyên đề LTĐH (10) Lịch sử toán học (10) PPTĐ trong MP (10) K30C toán (9) Truyện (9) Lượng giác (8) Câu đố dân gian (7) Hình học tổng hợp KG (7) Tích phân (7) Hình học tổng hợp MP (6) PPTĐ trong KG (6) Dạy toán (5) Số học (5) Cánh cụt (4) học toán (4) Đúng hay sai (3) Thống kê (2) Trăm phần trăm (2) Phương trình hàm (1) Video toán (1) số phức (1) Đại số tuyến tính (1)

Bình luận gần đây

Đang tải...

Danh sách Blog

• Mathvn Toán 10 mới: 50 câu trắc nghiệm đúng sai chủ đề Vectơ có lời giải chi tiết
• Học Thế Nào Diện tích hình chóp: Công thức tính và bài tập có lời giải chi tiết
• Đàm Thanh Sơn Aron Pinczuk
• Thích Học Toán Cara Memilih Mesin Slot dengan Beberapa Paylines

Danh sách Blog

• Vũ Hà Văn Bắc Kinh, thủ đô bất đắc dĩ
• Nguyễn Tiến Dũng Working paper on convexity of integrable systems
• VnMath Đề và đáp án thi THPT quốc gia năm 2018
• Hà Huy Khoái ÍCH GÌ, TOÁN HỌC?

Lưu trữ Blog

Lưu trữ Blog thg 5 2011 (15) thg 6 2011 (19) thg 7 2011 (14) thg 8 2011 (7) thg 9 2011 (9) thg 10 2011 (11) thg 11 2011 (15) thg 12 2011 (8) thg 1 2012 (5) thg 2 2012 (11) thg 3 2012 (11) thg 4 2012 (15) thg 5 2012 (11) thg 6 2012 (10) thg 7 2012 (12) thg 8 2012 (7) thg 9 2012 (16) thg 10 2012 (13) thg 11 2012 (3) thg 12 2012 (14) thg 1 2013 (14) thg 2 2013 (12) thg 3 2013 (11) thg 4 2013 (8) thg 5 2013 (17) thg 6 2013 (14) thg 7 2013 (8) thg 8 2013 (9) thg 9 2013 (10) thg 10 2013 (12) thg 11 2013 (6) thg 12 2013 (8) thg 1 2014 (9) thg 2 2014 (16) thg 3 2014 (12) thg 4 2014 (4) thg 5 2014 (4) thg 6 2014 (3) thg 7 2014 (3) thg 8 2014 (4) thg 9 2014 (2) thg 10 2014 (4) thg 11 2014 (3) thg 12 2014 (4) thg 1 2015 (1) thg 2 2015 (12) thg 3 2015 (6) thg 4 2015 (4) thg 5 2015 (4) thg 6 2015 (13) thg 7 2015 (8) thg 8 2015 (2) thg 9 2015 (4) thg 10 2015 (3) thg 11 2015 (3) thg 12 2015 (2) thg 1 2016 (4) thg 2 2016 (1) thg 3 2016 (9) thg 4 2016 (4) thg 5 2016 (4) thg 6 2016 (2) thg 7 2016 (1) thg 8 2016 (2) thg 9 2016 (1) thg 11 2016 (1) thg 12 2016 (1) thg 1 2017 (5) thg 2 2017 (1) thg 3 2017 (1) thg 4 2017 (2) thg 5 2017 (1) thg 12 2017 (1) thg 2 2018 (1) thg 7 2018 (1) thg 8 2018 (1) thg 10 2018 (1) thg 3 2019 (3) thg 10 2019 (3) thg 1 2020 (1) thg 9 2020 (1) thg 12 2020 (2) thg 1 2021 (1) thg 5 2021 (3) thg 5 2022 (2) thg 7 2022 (2) thg 8 2022 (11) thg 9 2022 (5) thg 12 2022 (5) thg 1 2023 (1) thg 2 2023 (1) thg 3 2023 (1) thg 4 2023 (1) thg 5 2023 (9) thg 6 2023 (1) thg 8 2023 (5) thg 9 2023 (1) thg 12 2023 (1) thg 1 2024 (1) thg 2 2024 (1) thg 5 2024 (4) thg 6 2024 (3) thg 8 2024 (3) thg 9 2024 (2)   Hoàng Ngọc Thế

Fanpage

Fanpage

Số lượt khách

Online

Free counters Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.