Hệ Phương Trình Tuyến Tính (System Of Linear Equations)

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-10X

I. Khái niệm chung:

1. Định nghĩa:

1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ có dạng:

$\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{array} \right. (1.1)$

trong đó: $a_{ij} , b_i (i =\overline{1,m} ; j =\overline{1,n}) \in R (C)$ ; $a_{ij}$ – hệ số (của ẩn) ; $b_i$ – hệ số tự do.

2. Nhận xét:

Ta đặt:

$A = (a_{ij})_{mxn}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{array} \right]$ ; $X = \left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \ x_n \\ \end{array} \right]$ ; $B = \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \\ \end{array} \right]$

Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có: $A_{mxn}.X_{nx1} = B_{mx1}$

Hay hệ phương trình (1.1) có thể viết thành phương trình ma trận: $AX = B$ (1.2) và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.

Trong đó: A – ma trận hệ số của (1.1) ; X – ma trận ẩn số (cột ẩn số) ; B – ma trận tự do (cột tự do)

Ma trận $\overline{A} = [A|B]$ được gọi là ma trận mở rộng (ma trận bổ sung)

3. Phương trình tuyến tính thuần nhất (Homogeneous systems):

Từ hệ (1.1) nếu $b_i = 0, \forall i = \overline{1;m}$ . Ta có: $AX = 0_{mx1}$

Hay: $\left\{\begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+{\ldots}+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+{\ldots}+a_{2n}x_n=0 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+{\ldots}+a_{mn}x_n=0 \\ \end{array} \right. (1.3)$

Khi đó: hệ (1.3) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (do luôn có 1 nghiệm tầm thường – trivial solution – $x_1=x_2={\ldots}=x_n=0$ ) tương ứng với hệ (1.1). Hệ (1.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính (pttt) tổng quát (hay pttt không thuần nhất)

4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.

Ví dụ: Hai hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \\ \end{array} \right.$ và $\left\{\begin{array}{c} 2x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - 2x_2 = 1 \\ 3x_1 + 4x_2 = 3 \\ \end{array} \right.$ là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là: $x_1 = 1 ; x_2 = 0$

II. Hệ Cramer:

1. Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính (tổng quát) gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.

( Cho $A \in M_n(K) , B_{nx1} \in M_{nx1}(K)$ thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu $detA \ne 0$ )

2. Nghiệm của hệ Cramer:

Do hệ phương trình Cramer có $detA \ne 0$ nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ . Khi đó: nhân hai vế của (1.2) cho $A^{-1}$ ta có:

$A^{-1}.(AX) = A^{-1}.B \Leftrightarrow (A^{-1}.A).X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B$ (1.4)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi (1.4)

3. Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer)

Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:

$x_j = \dfrac{D_j}{D} ; j =\overline{1;n}$ (1.5)

trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ (1.1); Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do $j = \overline{1;n}$

Chứng minh:

Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: $A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}P_A$ (trong đó $P_A$ là ma trận phụ hợp của ma trận A)

Do đó, từ hpt:

$AX = B \Leftrightarrow A^{-1}.A.X = A^{-1}.B \Leftrightarrow X = A^{-1}.B = \dfrac{1}{det(A)}.P_A.B = \dfrac{1}{D}.P_A.B$ (*)

Bây giờ, ta xét: $P_A.B$ . Ta có:

$P_A.B = \left[\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & {\ldots} & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & {\ldots} & A_{n2} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ A_{1n} & A_{2n} & \ldots & A_{nn} \\ \end{array} \right] . \left[\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \\ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+ b_2.A_{21}+ \ldots +b_n.A_{n1} \\ b_1A_{12}+b_{2}A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{n1}+b_2A_{n2}+ \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]$ (**)

Từ (*) , (**) ta có:

$\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{array} \right] = \dfrac{1}{D} \left[\begin{array}{c} b_1A_{11}+b_2A_{21}+ \ldots +b_nA_{n1} \\ b_1A_{12}+b_2A_{22}+ \ldots +b_nA_{n2} \\ \ldots \\ b_1A_{1n}+ b_2A_{2n} + \ldots +b_nA_{nn} \\ \end{array} \right]$

Hay: $x_j = \dfrac{1}{D} \left(b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj} \right) ; \forall j = \overline{1;n}$

Ta đặt: $D_j = b_1A_{1j}+b_2A_{2j}+ \ldots +b_nA_{nj}$ (***)

Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:

$D = a_{1j}.A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \ldots +a_{nj}.A_{nj} ; \forall j = \overline{1;n}$ (****)

So sánh vế phải của (***) với (****) ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. (dpcm)

Nhận xét:

Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:

– Nếu $D \ne 0$ thì hệ có nghiệm duy nhất.

– Nếu $D = 0$ và tồn tại $D_j \ne 0$ thì hệ chắc chắn vô nghiệm.

– Nếu $D = D_j = 0 ; \forall j =\overline{1;n}$ thì $x_j$ có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp (sẽ đề cập chi tiết ở phần sau)

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

25 bình luận về “Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)”

giup e voi ạ, bien luan so nghiem.cua he pt x1+x2-ax3=2 2×1-x2+4ax3=1 3×1+x2+2×3=b

ThíchThích
Posted by huong | 31/10/2014, 10:37 Reply to this comment
em có hai bài này, mà không biết làm như thế nào, mong thầy và các bạn giúp đỡ hướng giải ạ: 1. y’ = ( y+2)^1/3 2. y” – 2y’ + 2y = x+1+sinx

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by viet_vu | 23/06/2014, 00:57 Reply to this comment
Toi chưa hai long ve câu tra loi tren cho lam.t chi muon biet ma trân phụ hợp là gi chư không phai la nhưng khai niem ơ trên

ThíchThích
Posted by Luu minh | 27/12/2011, 21:11 Reply to this comment
em chào thầy . Em hỏi là sao lại nhân cả 2 vế với A mũ -1 được ạ ? em học không có dạy thế .

ThíchThích
Posted by hamchoi | 18/12/2011, 14:10 Reply to this comment
thầy àh.thầy có thể nói thật rõ cho em hiểu về ứng hệ phương trình tuyến tính để giải ma trận nghịch đảo được không ah! và cho em một số ví dụ để em hiểu nhé thầy.mong thầy trả lời em sớm.vì em đang nghiên cứu mà mãi chưa hiểu

ThíchThích
Posted by lancute nguyên | 18/12/2011, 09:10 Reply to this comment
Thầy hướng dẫn dùm em về phần phương pháp Gauss – Jordan với ạ ?

ThíchThích
Posted by Thắng | 15/12/2011, 21:47 Reply to this comment
+ Da em chao thay a.!! thay giai guim bai nay cho em voi a!! em giai may cung khong ra a!! em cam on thay nhieu!!! —-bien luan theo a so nghiem cua he pt sau: aX+Y+Z=a X+(a+1)Y +Z=a+1 X+y+(a+2)Z=a+2.. thay thong cam nhe!! phong chu bi loi nen em viet khong co dau… mong thay tra loi som cho em voi a?? chuc thay luon khoe!!!!

ThíchThích
Posted by nho | 04/10/2011, 22:00 Reply to this comment