Hệ Thống Khái Niệm Và định Lý Hình Học THCS - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (57 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

hệ thống khái niệm và định lý hình học THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (401.3 KB, 57 trang )

LỜI MỞ ĐẦUĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌCKiến thức về bộ môn toán nói chung, bộ môn hình học nói riêngđược xây dựng theo một hệ thống chặt chẽ: Từ Tiên đề đến Định nghĩacác Khái niệm – Định lý – và Hệ quả. Đối với những bài toán thông thường, học sinh chỉ cần vận dụngmột vài khái niệm, định lý, hệ quả để giải. Đối với những bài toán khó, để xác định hướng giải (cũng như để giảiđược) học sinh cần nắm được không những hệ thống kiến thức (lý thuyết) màcòn cần nắm chắc cả hệ thống bài tập, để vận dụng chúng vào giải bài tập mới.Do đó để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần : a/Nắm chắc hệ thống kiến thức về lý thuyết.b/Nắm chắc hệ thống bài tập.c/Biết cách khai thác giả thiết nhằm đọc hết những thông tin tiềmẩn trong giả thiết, nắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, suy ra cái ta sẽ có (càngnhiều càng tốt). Từ đó giúp ta xây dựng hướng giải, vẽ được đường phụcũng như giúp ta có thể giải được bài toán bằng nhiều cách. Nội dung ở cộtHình vẽ, khai thác ở bảng tổng hợp dưới đây nhằm giúp học sinh tậpdượt suy ra cái ta sẽ có ở nội dung Nếu có … Ta có … d/Biết cách tìm hiểu câu hỏi (kết luận) :+Nắm chắc các phương pháp chứng minh từng dạng toán (trongđó cần hết sức lưu ý định nghĩa các khái niệm)+Biêt đưa bài toán về trường hợp tương tự.+Nắm được ý nghĩa của câu hỏi để có thể chuyển sang dạngtương đương. Ví dụ để chứng minh biểu thức M không phụ thuộc vị trícủa cát tuyến d khi d quay quanh điểm O ta cần chứng minh M =hằng số.Tài liệu này tổng hợp, hệ thống các khái niệm và định lý (trongphần hình học phẳng) trong chương trình hình học trung học cơ sở bằngcách tổng hợp tất cả các khái niệm, định lý (liên quan đến từng khái niệm)về một mối.Trên cơ sở đó giúp học sinh ôn tập một cách tổng hợp các kháiniệm, định lý để vận dụng vào giải toán. Đề nghị các trường triển khai đến học sinh, giáo viên đểnghiên cứu vận dụng. Các khái niệm, định lý trong tài liệu này được chia ra các phần chínhnhư sau: 1/ ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TIA – GÓC - QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU 2/ TAM GIÁC – TAM GIÁC CÂN – TAM GIÁC VUÔNG – TAM GIÁC VUÔNG CÂN – TAM GIÁC ĐỀU 3/ TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT –HÌNH THOI – HÌNH VUÔNG – ĐA GIÁC. 4/ ĐƯỜNG TRÒN Nội dung tài liệu được thiết kế theo dạng bảng gồm 4 cột: Khái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thácCách chứngminhNêu tên kháiniệm. Trong từng kháiniệm có ghi chúkhái niệm đóđược học ở khốilớp nào trongchương trìnhhình học THCSđể học sinh vậndụng phù hợpvới khối lớpđang học.Nêu định nghĩakhái niệm, cácđịnh lý, nhậnxét liên quanđến khái niệmđó-Hình vẽ minhhọa.-Giúp học sinhtìm tòi, khaithác dưới dạngNếu có … thìta có 1), 2), 3)… để tăng thêmdữ liệu phục vụcho giải bài toánliên quan đếnkhái niệm đó. Nếu các cáchchứng minhhình học. VDchứng minhhai đườngthẳng songsong … Đây chỉ là tài liệu tham khảo, rất mong sự đóng góp ý kiến của đội ngũgiáo viên để Phòng Giáo dục có thể điều chỉnh, hoàn thiện tài liệu này.1HỆ THỐNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN – ĐỊNH LÝ HÌNH HỌCTRUNG HỌC CƠ SỞ (Phần hình học phẳng) ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG Khái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhĐiểm (HH6)Đường thẳng (HH6)Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnhcủa điểmSợi chỉ căng thẳng, mép bảng, … cho tahình ảnh đường thẳng. Đường thẳng khôngbị giới hạn về hai phía. g A (điểm A) yxAB Đường thẳng xy hay đường thẳng AB. Ba điểm thẳng hàng(HH6)Đường thẳng đi quahai điểm. (HH6)Hai đường thẳngtrùng nhau (HH6)Hai đường thẳng cắtnhau (HH6)Hai đường thẳngvuông góc (HH7)Hai đường thẳngphân biệt cùngvuông góc với mộtđường thẳng thứ ba(HH7)Khi ba điểm A,C, D cùng thuộc một đườngthẳng, ta nói chúng thẳng hàng.Nhận xét: Có một đường thẳng và chỉ mộtđường thằng đi qua hai điểm A và B.Theo hình (1) ở bên, các đường thẳng AD,CD trùng nhau.Hai đường thẳng chỉ có một điểm chung.Định nghĩa: Hai đường thẳng xx’, yy’ cắtnhau và trong các góc tạo thành có một gócvuông được gọi là hai đường thẳng vuônggóc và được ký hiệu là xx’⊥yy’.Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùngvuông góc với một đường thẳng thứ ba thìchúng song song với nhau. ACD (1)Nếu có: Ba điểm A, C, D thẳng hàng. Ta có ba điểm A, C, D cùng thuộc mộtđường thẳng. Ayy'xx' Hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại A xx’⊥yy’ cba Nếu có: a ⊥ c ; b ⊥ c Ta có: a // b1/ Chứng minh ba điểm A, C, D thẳnghàng.Cách 1: Chứng minh: C là điểm nằm giữavà AC+CD=AD (HH6)Cách 2: Chứng minh ba điểm A, C, Dcùng nằm trên một đường thẳng (đườngthẳng AD đi qua C, tia phân giác của mộtgóc …). (HH6)Cách 3: Chứng minh AC, AD cùng songsong (hoặc cùng vuông góc) với mộtđường thẳng thứ ba. (HH7)Cách 4: Chứng minh ·0180ACD = (HH7)Cách 5: Chứng minh A, C, D cùng thuộcmột tập hợp điểm là một đường thẳng(đường phân giác, đường trung trực, …).(HH7)Cách 6: Chứng minh CA, CD là hai tiaphân giác của hai góc đối đỉnh. (HH7)2/ Chứng minh hai đường thẳng vuônggóc. Cách 1: Một góc tạo thành bởi hai đườngthẳng bằng 900. (HH7)Cách 2: Tính chất: Một đường thẳngvuông góc với một trong hai đường thẳngsong song thì chúng cũng vuông góc vớiđường thẳng kia. (HH7). VD:2x x’yy’Một đường thẳngvuông góc với mộttrong hai đườngthẳng song song(HH7)Tính chất: Một đường thẳng vuông gócvới một trong hai đường thẳng song songthì chúng cũng vuông góc với đường thẳngkia. c a b Nếu có: a // b ; c ⊥ a Ta có: c ⊥ b Bước 1: Cm: a // b; Bước 2: Cm: c ⊥ a ;Kết luận: c ⊥ bCách 3: Chứng minh tam giác vuông(HH7).Vd: Cm ∆ABC vuông tại A x’ suy ra x’x ⊥y’y. B y’ y A C xCách 4: Chứng minh đường thẳng làđường trung trực của đoạn thẳng, suy rahai đường thẳng vuông góc. (HH7) Cách 5: Áp dụng tính chất tam giác cân:đường phân giác (đường trung tuyến) xuấtphát từ đỉnh tam giác cân cũng là đườngcao. (HH7)Cách 6: Áp dụng tính chất: đường phângiác của hai góc kề bù thì vuông góc vớinhau. (HH7)Cách 7: Chứng minh một tứ giác là hình chữnhật, suy ra hai đường thẳng vuông góc. (HH8)Cách 8: Chứng minh một tứ giác hình thoi,suy ra hai đường chéo vuông góc. (HH8)Cách 9: Áp dụng ĐL: Trong một đường tròn,đường kính đi qua trung điểm của một dâykhông đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.(HH9)Cách 10: Áp dụng ĐL: Trong một đường tròn,đường kính đi qua điểm chính giữa của mộtcung thì vuông góc với dây căng cung (HH9)Cách 11: Áp dụng ĐL: Tiếp tuyến của mộtđường tròn thì vuông góc với bán kính đi quatiếp điểm. (HH9)Cách 12: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường tròn cắtnhau thì đường nối tâm là đường trung trực củadây chung, do đó đường nối tâm vuông góc vớidây chung. (HH9)3Hai đường thẳngsong song (HH6)Dấu hiệu nhận biếthai đường thẳngsong song (HH7)Tiên đề Ơ Clit vềđường thẳng songsong (HH7)Tính chất của haiđường thẳng songsong (HH7)Định nghĩa: Hai đường thẳng song song làhai đường thẳng không có điểm chung.Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, bvà trong các góc tạo thành có một cặp gócso le trong bằng nhau (hoặc một cặp gócđồng vị bằng nhau) thì a và b song songvới nhau.Tiên đề Ơ Clit: Qua một điểm ở ngoài mộtđường thẳng chỉ có một đường thẳng songsong với đường thẳng đó. Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt haiđường thẳng song song thì:a) Hai góc so le trong bằng nhau;b) Hai góc đồng vị bằng nhau; c) Hai góc trong cùng phía bù nhau. x y z t xy // zt c a 3 2 A 4 1 b 3 2 4 B 1 abAMBa) Đường thẳng b đi qua M và song song với a là duy nhất.b) Nếu có: MA // a; MB // a Ta có: Hai đường thẳng MA và MBtrùng nhau. c a 3 2 A 4 1 b 3 2 4 B 1Nếu có : a // b; c cắt a tại A, cắt b tại BTa có: 1 3 4 2ˆ ˆˆ ˆ;A B A B= =(Vì là các cặp gócso le trong); 1 1 2 2 3 3 4 4ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ; ; ;A B A B A B A B= = = = (Vì làcác cặp góc đồng vị) 0 01 2 4 3ˆ ˆˆ ˆ180 ; 180A B A B+ = + = (Vì là cáccặp góc trong cùng phía).Cách 13: Áp dụng Hệ quả: Trong một đườngtròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là mộtgóc vuông rồi suy ra hai đường thẳng vuônggóc. (HH9)Chứng minh hai đường thẳng song song.Cách 1: Ta chứng minh cặp góc so letrong bằng nhau. (HH7)Cách 2: Ta chứng minh cặp góc đồng vịbằng nhau. (HH7)Cách 3: Ta chứng minh cặp góc trongcùng phía bù nhau. (HH7)Cách 4: Hai đường thẳng đó cùng songsong với đường thẳng thứ ba. (HH7)Cách 5: Áp dụng đường trung bình củatam giác. (HH8) A Bước1: Cm: DA = DB D E Bước 2: Cm: EA = EC KL : DE //BCB CCách 6: Áp dụng định lý Ta-lét đảo.(HH8) A Chứng minh: ' '' 'AB ACB B C C=B’ C’ KL : B’C’ //BC B C Cách 7: Chứng minh một tứ giác là hìnhbình hành (hình chữ nhật) rồi suy ra cáccặp cạnh đối song song. (HH8)4Hai đường thẳngcùng song song vớiđường thẳng thứ ba(HH7)Hai đường thẳng phân biệt cùng song songvới một đường thẳng thứ ba thì chúng songsong với nhau. a b c Nếu có: a // c ; b // c. Ta có: a // bKhoảng cách giữahai đường thẳngsong song (HH8)Các điểm cách đềumột đường thẳngcho trước (HH8)Đường thẳng songsong cách đều (HH8)-Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đườngthẳng song song là khoảng cách từ mộtđiểm tùy ý trên đường thẳng này đến đườngthẳng kia. -Tính chất của các điểm cách đều mộtđường thẳng cho trước: Các điểm cáchđường thẳng b một khoảng h nằm trên haiđường thẳng song song với b và cách b mộtkhoảng bằng h. Nhận xét: Tập hợp các điểm cách mộtđường thẳng cố định một khoảng bằng hkhông đổi là hai đường thẳng song songvới đường thẳng đó và cách đường thẳngđó một khoảng bằng h. Các đường thẳng a, b, c, d song song vớinhau và khoảng cách giữa các đường thẳnga và b, b và c, c và d bằng nhau. Ta gọichúng là các đường thẳng song song cáchđều. Định lý: -Nếu các đường thẳng song song cách đềucắt một đường thẳng thì chúng chắn trênđường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếpbằng nhau.-Nếu các đường thẳng song song cắt mộtđường thẳng và chúng chắn trên đườngthẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằngnhau thì chúng song song cách đều. a A B h b H K AH = BK = h (h là khoảng cách giữahai đường thẳng song song a và b) a M b K H a’ M Tập hợp những điểm M cách đườngthẳng cố định b một khoảng không đổibằng h là hai đường thẳng a, a’ song songvới b và cách b một khoảng bằng h m a A E b B F c C G d D H (Hình 1)Nếu có: a, b, c, d là các đường thẳng songsong cách đều. Đường thẳng m cắt các đườngthẳng a, b, c, d lần lượt tại E, F, G, H.Ta có: EF = FG = GHNếu có: a, b, c, d là các đường thẳngsong song; EF = FG = GH. Ta có: a, b, c,d là các đường thẳng song song cách đều.Chứng minh các đường thẳng song songcách đều. (VD theo hình 1 ở bên). (HH8)Bước 1: Chứng minh: a, b, c, d là cácđường thẳng song song.Bước 2: Chứng minh: EF = FG = GHKết luận a, b, c, d là các đường thẳngsong song cách đều. 5hh ĐOẠN THẲNG Khái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhĐoạn thẳng (HH6)Độ dài đoạn thẳng(HH6)So sánh hai đoạnthẳng (HH6)Điểm nằm giữa haiđiểm (HH6)Định nghĩa: Đoạn thẳng AB là hình gồmđiểm A, điểm B và tất cả các điểm nằmgiữa A và B. -Nhận xét: Mỗi đoạn thẳng có một độ dài.Độ dài đoạn thẳng là một số dương. -Ta có thể so sánh hai đoạn thẳng bằngcách so sánh độ dài của chúng.-Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thìAM + MB = AB. Ngược lại, nếu AM + MB = AB thì điểm Mnằm giữa hai điểm A và B. AB ABMNếu có: Điểm M nằm giữa hai điểm A vàB. Ta có: AM + MB = ABNếu có: AM + MB = AB Ta có: Điểm M nằm giữa hai điểm A vàB.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.Ta chứng minh:Cách 1: Chứng minh M là trung điểm củaAB, suy ra MA = MB (HH7)Cách 2: Chứng minh M nằm trên đườngtrung trực của AB, suy ra MA = MB.Cách 3: Chứng minh hai tam giác bằngnhau, suy ra hai cạnh tương ứng bằngnhau. (HH7)Cách 4: Chứng minh một tam giác là tamgiác cân (tam giác đều), suy ra hai cạnhbằng nhau. (HH7).Cách 5: Áp dụng ĐL: Đường thẳng đi quatrung điểm một cạnh của tam giác và songsong với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểmcạnh thứ ba. (HH8)Cách 6: Chứng minh một tứ giác là hình bìnhhành (hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi,hình vuông) rồi suy ra các cạnh đối, hai đườngchéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,(hai đường chéo bằng nhau, hai cạnh kề bằngnhau… ) (HH8) Cách 7: So sánh hai đoạn thẳng đó vớiđoạn thẳng thứ ba.Cách 8: Áp dụng ĐL: Hai tiếp tuyến của mộtđường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đócách đều hai tiếp điểm. (HH9)Cách 9: AD ĐL: Trong một đường tròn:-Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.-Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. (HH9)Cách 10: Áp dụng ĐL: Với hai cung nhỏ trongmột đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau,hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.(HH9)6ABCTrung điểm củađoạn thẳng (HH6)Hai điểm đối xứngqua một điểmTrung điểm M của đoạn thẳng AB là điểmnằm giữa A, B và cách đều A, B (MA =MB).Trung điểm của đoạn thẳng AB còn đượcgọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB.Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng vớinhau qua điểm O nếu O là trung điểm củađoạn thẳng nối hai điểm đó. A B M Nếu có: M là trung điểm của đoạn thẳngAB. Ta có: MA = MB = 12AB M ∈đường trung trực của AB. Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua M OABNếu có: Hai điểm A, B đối xứng vớinhau qua điểm O. Ta có: M là trung điểm của đoạn thẳngAB.Chứng minh M là trung điểm của đoạnthẳng AB. Cách 1: Chứng minh M nằm giữa A và B(thường có sẵn) và MA = MB. (HH7)Cách 2: Áp dụng tính chất đường trungtrực của một đoạn thẳng. (HH7) M Bước 1:Cm: MA=MBA I B Bước 2:Cm: NA=NB Suy ra: MN là đường N trung trực của AB. KL: I là trung điểm của AB.Cách 3: Áp dụng tính chất ba đường trungtuyến của tam giác. (HH7) VD:Cm:AD, BE là hai đườngtrung tuyến cắt nhau tại G.Suy ra CF đi qua G làđường trung tuyến thứba. Suy ra F là trungđiểm của AB.Cách 4: Áp dụng ĐL: Đường thẳng đi quatrung điểm một cạnh của tam giác và songsong với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểmcạnh thứ ba. (HH8) A Bước1:Cm:DA=DB;Bước 2: DE//BC D E KL: EA = EC B C Cách 5: Chứng minh một tứ giác là hình bìnhhành rồi suy ra hai đường chéo cắt nhau tạitrung điểm của mỗi đường. (HH8)Cách 6: Áp dụng ĐL: Trong một đường tròn,đường kính vuông góc với một dây thì đi quatrung điểm của dây ấy. (HH9)Cách 7: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường tròn cắtnhau thì đường nối tâm là đường trung trực củadây chung. (HH9)Chứng minh hai điểm A, B đối xứng vớinhau qua điểm O, ta chứng minh O là trungđiểm của AB. (HH8) 7...DEFGĐường trung trựccủa đoạn thẳng(HH7)Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc vớimột đoạn thẳng tại trung điểm của nó đượcgọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.Khi đó ta cũng nói: Hai điểm A và B đốixứng với nhau qua đường thẳng xy. -Định lý 1 (định lý thuận): Điểm nằm trênđường trung trực của một đoạn thẳng thìcách đều hai mút của đoạn thẳng đó. -Định lý 2 (định lý đảo): Điểm cách đềuhai mút của một đoạn thẳng thì nằm trênđường trung trực của đoạn thẳng thì đó.Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo,ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mútcủa một đoạn thẳng là đường trrung trựccủa đoạn thẳng đó. x A I B gM y Nếu có: xy là đường trung trực của đoạnthẳng AB. Ta có: xy ⊥AB IA = IB Hai điểm A và B đối xứng với nhauqua đường thẳng xy. ∆AMB là tam giác cân ⇒ ··MAB MBA=; MI là đường phângiác của góc AMB.Nếu có: M nằm trên đường trung trựccủa đoạn thẳng AB. Ta có: MA = MB.Nếu có: MA = MB Ta có : M nằm trên đường trung trực củađoạn thẳng AB.-Chứng minh đường thẳng xy là đườngtrung trực của đoạn thẳng AB. Ta chứngminh:Cách 1: Dùng định nghĩa đường trung trựccủa đoạn thẳng. (HH7) Bước 1: IA = IB Bước 2: xy ⊥AB Kết luận.Hoặc: Bước 1: xy ⊥ AB Bước 2: IA = IB Kết luậnCách 2: Áp dụng ĐL: Điểm cách đều haimút của một đoạn thẳng thì nằm trênđường trung trực của đoạn thẳng thì đó.VD: Chọn trên xy hai điểm M và N. Tachứng minh: MA = MN ; NA = NBCách 3: Áp dụng tính chất tam giác cân:Trong một tam giác cân, đường phân giác(đường trung tuyến, đường cao) ứng vớicạnh đáy cũng là đường trung trực củacạnh đáy. (HH7)Cách 4: Áp dụng ĐL: Trong một đườngtròn (HH9):-Đường kinh vuông góc với một dây thì điqua trung điểm của dây ấy.Hoặc: -Đường kinh đi qua trung điểm củamột dây thì vuông góc với dây ấy.Cách 5: Áp dụng ĐL: Nếu hai đường tròncắt nhau thì đường nối tâm là đường trungtrực của dây chung. (HH9)-Chứng minh hai điểm A và B đối xứngvới nhau qua đường thẳng xy Ta chứng minh xy là đường trung trựccủa đoạn thẳng AB. (HH7) 8..TIAKhái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhTia (nửa đườngthẳng) (HH6)Hai tia đối nhau(HH6)Hai tia trùng nhau(HH6)Tia nằm giữa hai tia(HH6)Trên đường thẳng xy ta lấy một điểm O.Hình gồm điểm O và một phần đườngthẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi làmột tia gốc O (còn được gọi là một nửađường thẳng gốc O).Hai tia chung gốc Ox, Oy tạo thành đườngthẳng xy được gọi là hai tia đối nhau. Nhận xét: Mỗi điểm trên đường thẳng làgốc chung của hai tia đối nhau.Trong hình bên: Tia Ay và tia AB là hai tiatrùng nhau.Cho ba tia Ox, Oy, Oz chung gốc. Lấy Mbất kỳ trên tia Ox, N bất kỳ trên tia Oy (M,N đều không trùng với O). Tia Oz cắt đoạnthẳng MN tại một điểm I nằm giữa M và N,ta nói tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy. x O y Trong hình trên ta có hai tia, tia Ox vàtia Oy (tia Ox không bị giới hạn về phíax, tia Oy không bị giới hạn về phía y)Trong hình trên ta có hai tia Ox và tia Oylà hai tia đối nhau. A B y Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy.9...MxONIzyGÓC Khái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhGóc (HH6) Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Gốcchung của hai tia là đỉnh của góc. Hai tia làhai cạnh của góc. OyxO là đỉnh của góc ·xOy; Ox, Oy là haicạnh của góc ·xOy. So sánh hai góc(HH6)-Hai góc bằng nhau nếu số đo của chúngbằng nhau.-Góc nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn x x’O O’ y y’ ··' ' 'xOy x O y= OIpqts ¶¶sOt qIp>Chứng minh hai góc bằng nhauCách 1: Chứng minh hai góc có số đo bằngnhau. (HH6)Cách 2: Chứng minh tia phân giác của mộtgóc rồi suy ra hai góc bằng nhau. (HH6)Cách 3: Dùng góc thứ ba thì làm trung gian.Cách 4: Hai góc cùng phụ (bù) với góc thứba thì bằng nhau. (HH6)Cách 4: Áp dụng ĐL: Hai góc đối đỉnh thìbằng nhau. (HH7) Cách 5: Chứng minh hai tam giác bằngnhau rồi suy ra hai góc tương ứng bằngnhau. (HH7)Cách 6: Chứng minh một tam giác là tamgiác cân rồi suy ra hai góc đáy bằng nhau.(HH7)Cách 7: Áp dụng tính chất tam giác cân:Trong một tam giác cân đường cao (đườngtrung tuyến) ứng với cạnh đáy cũng làđường phân giác của góc ở đỉnh. (HH7)Cách 8: Chứng minh hai đường thẳng songsong rồi ruy ra các cặp góc so le trong(đồng vị) bằng nhau. (HH7)10Cách 9: Chứng minh hai góc cùng nhọn(cùng tù) có cạnh tương ứng song song.Suy ra chúng bằng nhau. (HH7)Cách 10: Chứng minh hai góc cùng nhọn(cùng tù) có cạnh tương ứng vuông góc.Suy ra chúng bằng nhau. (HH7)Cách 11: Chứng minh hai tam giác đồng dạngrồi suy ra hai góc tương ứng bằng nhau. (HH8) Cách 12: Chứng minh một tứ giác là hìnhbình hành (hình thang cân) rồi suy ra haigóc đối (hai góc kề một đáy) bằng nhau. Cách 13: Áp dụng Hệ quả: Trong mộtđường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn mộtcung (hoặc chắn các cung bằng nhau) thìbằng nhau. (HH9)Tia phân giác củagóc (HH6)Góc tạo bởi hai tiaphân giác của haigóc kế bù (HH7)Tính chất tia phângiác của một góc(HH7) Tia phân giác của góc là tia nằm giữa haicạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy haigóc bằng nhau.Định lý: Góc tạo bởi hai tia phân giác củahai góc kề bù là một góc vuông.1/ Định lý 1 (định lý thuận): Điểm nằmtrên tia phân giác của một góc thì cách đềuhai cạnh của góc đó. x O z y (Hình 1)Nếu có: Oz là tia phân giác của ·xOy Ta có: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Và · ·xOz zOy= OzmnyxNếu có: Om, On là hai tia phân giác củahai góc kề bù xOz và zOy. (Hình 1 ở trên)Ta có: Om ⊥OnNếu có: Oz là tia phân giác của ·xOy, M∈Oz ; MH⊥Ox, MK⊥Oy.(Hình 1 ở trên)Ta có: MH = MKChứng minh tia Oz là tia phân giác của·xOy Cách 1: Dùng định nghĩa tia phân giác.(HH6) Bước 1: Cm: Tia Oz nằm giữa hai tia Oxvà Oy (thường có sẵn). Bước 2: Cm: ··xOz zOx= - Kết luậnCách 2: Áp dụng ĐL: Điểm nằm bên trongmột góc và cách đều hai cạnh của góc thìnằm trên tia phân giác của góc đó. (HH7).VD: Bước 1: Trên tia Oz lấy điểm M. KẻMH⊥Ox; MK⊥Oy Bước 2: Chứng minh MH = MK. Suy ra Oz là tia phân giác của ·xOy.Cách 3: Áp dụng tính chất tam giác cân:Trong một tam giác cân, đường trung tuyến(đường cao, đường trung trực) ứng vớicạnh đáy cũng là đường phân giác của gócở đỉnh. (HH7)Cách 4: Áp dụng ĐL: Hai tiếp tuyến của11HMK2/ Định lý 2 (định lý đảo): Điểm nằm bêntrong một góc và cách đều hai cạnh của gócthì nằm trên tia phân giác của góc đó. Nhận xét: Từ định lý 1 và định lý 2, ta có:Tập hợp các điểm nằm bên trong một gócvà cách đều hai cạnh của góc là tia phângiác của góc đó. (HH7)Nếu có: MH⊥Ox, MK⊥Oy, MH = MKTa có: Oz là tia phân giác của ·xOy-Tập hợp các điểm M nằm bên trong một góc·xOy và cách đều hai cạnh của góc là tiaphân giác của góc ·xOy.một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: -Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phângiác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.-Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phângiác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua cáctiếp điểm. (HH9)Góc bẹt (HH6)Góc vuông (HH6)Góc nhọn (HH6)Góc tù (HH6)Hai góc đối đỉnh(HH7)Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đốinhau.Góc vuông là góc có số đo bằng 900. Số đocủa góc vuông còn được kí hiệu là 1v.Góc nhỏ hơn góc vuông gọi là góc nhọn.Góc lớn hơn góc vuông nhưng nhỏ hơn gócbẹt gọi là góc tù.-Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnhcủa góc này là tia đối của một cạnh củagóc kia.-Tính chất của hai góc đối đỉnh: Hai gócđối đỉnh thì bằng nhau. x O y ·0180 2xOy v= =Oy'tzyx·090 1xOy v= =; ·yOz là góc nhọn; ·yOt làgóc tù. x y’ O x’ y ˆ ˆ' 'xOy x Oy=Chứng minh ·ABC là góc bẹt, ta chứngminh ·ABC=1800 hay ··0180ABz zBC+ =(HH6) 12.zACBQUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾUKhái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhĐường vuông góc,đường xiên, hìnhchiếu (HH7)Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d,kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H.Trên d lấy điểm B không trùng với H. Khi đó:-Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hayđường vuông góc kẻ từ điểm A đến đườngthẳng d;-Điểm H gọi là hình chiếu của điểm A trênđường thẳng d.-Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻtừ điểm A đến đường thẳng d. A d H B Quan hệ giữa đườngvuông góc và đườngxiên (HH7)Định lý 1: Trong các đường xiên và đườngvuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài mộtđường thẳng đến đường thẳng đó, đườngvuông góc là đường ngắn nhất. Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ mộtđiểm nằm ngoài một đường thẳng đếnđường thẳng đó:a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơnthì lớn hơn;b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hìnhchiếu lớn hơn;c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hìnhchiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hìnhchiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. A d D H B CNếu có: AH ⊥d ; AB là đường xiênTa có: AH < AB; (AH < AC; AH < AD)Cho AH⊥d ; HB, HC, HD lần lượt làhình chiếu của các đường xiên AB, AC,AD. AC > AD. Nếu có: HC > HD Ta có: AC > AD Nếu có: AC > AD Ta có: HC > HD Nếu có: AB = AD Ta có: HB = HDvà ngược lại Nếu có: HB = HD. Ta có:AB = ADChứng minh một đoạn thẳng lớn đoạnthẳng kia (bất đẳng thức)Áp dụng quan hệ giữa đường vuông góc vàđường xiên; đường xiên và hình chiếu củachúng. 13TAM GIÁCKhái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhTổng ba góc của mộttam giác (HH7)Áp dụng vào tamgiác vuông (HH7)Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 Trong một tam giác vuông, hai góc nhọnphụ nhau. A BB C A CCho ∆ABC. Ta có: 0ˆ ˆˆ180A B C+ + =⇒0ˆ ˆˆ180 ( )A B C= − +;µ µ0ˆ180 ( )B A C= − +; µµ µ0180 ( )C A B= − +Chú ý: Trong một tam giác, biết số đohai góc ta tính được số đo của góc còn lạibằng cách lấy 1800 trừ đi tổng số đo haigóc kia.Cho∆ABC vuông tại A. Ta có: 0ˆˆ90B C+ = ⇒ µµ090B C= −; µµ090C B= − Góc ngoài của tamgiác (HH7)Tính chất góc ngoàicủa tam giác (HH7)Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác làgóc kề bù với một góc của tam giác ấy.Định lý: Mỗi góc ngoài của một tam giácbằng tổng của hai góc trong không kề vớinó. A B C xNếu có: ·ACx là góc ngoài tại đỉnh C của∆ABC.Ta có: ···ACx CAB CBA= + ⇒ ···CBA ACx CAB= − ···CAB ACx CBA= −-Nhận xét: Góc ngoài của tam giác lớnhơn mỗi góc trong không kề với nó. Ta có: ·µ·µ;ACx A ACx B> > Chú ý: Áp dụng vào chứng minh hai gócbằng nhau, chứng minh bất đẳng thức.14Quan hệ giữa góc vàcạnh đối diện trongmột tam giác (HH7)Bất đẳng thức tamgiác (HH7)Định lý 1: Trong một tam giác, góc đốidiện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Định lý 2: Trong một tam giác, cạnh đốidiện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dàihai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dàicạnh còn lại. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác:Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnhbất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnhcòn lại. Tổng quát: Trong một tam giác, độ dàimột cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏhơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại. A B C Nếu có: BC > AB, thì ta có: ˆ ˆA C>Nếu có: ˆ ˆA C>, thì ta có: BC > AB A B C Nếu có: ∆ABC và AB < AC < BCTa có: AC – AB < BC < AB + AC BC - AC < AB < AC + BC BC - BA < AC < BC + BAChú ý: Áp dụng vào chứng minh bấtđẳng thức.Chứng minh bất đẳng thức trong tamgiác.1/ Chứng minh góc lớn hơn Ta áp dụng các định lý về góc ngoài củatam giác, quan hệ giữa góc và cạnh đốidiện trong một tam giác.2/ Chứng minh cạnh (đoạn thẳng) lớnhơnTa áp dụng các định lý về quan hệ giữađường vuông góc và đường xiên; Địnhlý và hệ quả của bất đẳng thức trongtam giác. Chú ý: Để chứng minh bất đẳng thức tacần sử dụng phối hợp tính chất liên hệgiữa thứ tự và phép công; liên hệ giữathứ tự và phép nhân để biến đổi. (Đại số8)Hai tam giác bằngnhau (HH7)Ba trường hợp bằngnhau của hai tamgiác (HH7)Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là haitam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau,các góc tương ứng bằng nhau. 1/ Trường hợp bằng nhau thứ nhất củatam giác cạnh – cạnh – cạnh (c-c-c) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng bacạnh của tam giác kia thì hai tam giác đóbằng nhau. A A’ B C B’ C’ ∆ABC = ∆A’B’C’ ⇔ AB=A’B’; AC=A’C’; BC=B’C’ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ'; '; 'A A B B C C= = =Chú ý: Chứng minh hai tam giác bằngnhau để từ đó suy ra các cặp cạnh, cặpgóc tương ứng bằng nhau. A A’ B C B’ C’ Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ Nếu có: AB=A’B’; AC=A’C’; BC=B’C’Ta có: ∆ABC = ∆A’B’C’ (c-c-c)Chứng minh hai tam giác bằng nhauCách 1: Áp dụng trường hợp thứ nhất(c–c–c)Cách 2: Áp dụng trường hợp thứ hai(c–g–c)Cách 3: Áp dụng trường hợp thứ ba (g–c–g)152/ Trường hợp bằng nhau thứ hai củatam giác cạnh – góc – cạnh (c-g-c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tamgiác này bằng hai cạnh và góc xen giữa củatam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.3/ Trường hợp bằng nhau thứ ba củatam giác góc – cạnh – góc (g-c-g) Nếu một cạnh và hai góc kề của tamgiác này bằng một cạnh và hai góc kề củatam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. A A’ B C B’ C’ Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ Nếu có: AB=A’B’;ˆ ˆ'B B=; BC=B’C’Ta có: ∆ABC = ∆A’B’C’ (c-g-c) A A’ B C B’ C’Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ Nếu có: ˆˆ'B B=; BC=B’C’; ˆ ˆ'C C=Ta có: ∆ABC = ∆A’B’C’ (g-c-g)Đoạn thẳng tỉ lệĐường thẳng songsong với một cạnhcủa tam giác và cắthai cạnh còn lại(HH8)Đường thẳng cắt haicạnh của một tamgiác và định ra trênhai cạnh này nhữngđoạn thẳng tươngứng tỉ lệ (HH8)Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọilà tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’nếu có tỉ lệ thức: ' '' 'AB A BCD C D= hay ' ' ' 'AB CDA B C D=Định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng songsong với một cạnh của tam giác và cắt haicạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đónhững đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lý Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳngcắt hai cạnh của một tam giác và định ratrên hai cạnh này những đoạn thẳng tươngứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song vớicạnh còn lại của tam giác. A B’ C’ B CNếu có: ∆ABC, B’C’//BC (B’∈AB, C’∈AC); Ta có: ' ';AB ACAB AC= ' '' 'AB ACB B C C=; ' 'B B C CAB AC=Nếu có: ∆ABC, B’∈AB, C’∈AC,' '' 'AB ACB B C C=.Ta có: B’C’//BCChú ý: Áp dụng Định lý Ta-lét đảo vàochứng minh hai đường thẳng song song.16Đường thẳng cắt haicạnh của một tamgiác và song song vớicạnh còn lại (HH8)Tam giác đồng dạng(HH8)Hệ quả của Định lý Ta-lét: Nếu mộtđường thẳng cắt hai cạnh của một tam giácvà song song với cạnh còn lại thì nó tạothành một tam giác mới có ba cạnh tươngứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trườnghợp đường thẳng a song song với một cạnhcủa tam giác và cắt phần kéo dài của haicạnh còn lại. Định nghĩa tam giác đồng dạng:Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tamgiác ABC nếu: ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ' ; ' ; 'A A B B C C= = = ' ' ' ' ' 'A B B C A CAB BC AC= = A B’ C’ a B CNếu có:∆ABC, B’C’//BC (B’∈AB, C’∈AC). Ta có: ' ' ' 'AB AC B CAB AC BC= = C’ B’ a A B C B’ C’ B C A’ A B C B’ C’∆A’B’C’ ∆ABC⇔ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ' ; ' ; 'A A B B C C= = = ' ' ' ' ' 'A B B C A CAB BC AC= =Chú ý: -Áp dụng định lý Ta-lét (hệ quả)để lập các tỉ lệ thức rồi vận dụng vào tínhđộ lớn của một cạnh (đoạn thẳng). -Áp dụng tam giác đồng dạng vào: a) Chứng minh các cặp góc bằng nhau. b) Lập các tỉ lệ thức rồi vận dụng vàotính độ lớn của một cạnh (đoạn thẳng).Chứng minh hai tam giác đồng dạngCách 1: Áp dụng trường hợp đồngdạng thứ nhất của hai tam giác.Cách 2: Áp dụng trường hợp đồngdạng thứ hai của hai tam.Cách 3: Áp dụng trường hợp đồngdạng thứ ba của hai tam giác.17AĐường thẳng cắt haicạnh của tam giác vàsong song với cạnhcòn lại (HH8)Các trường hợpđồng dạng của haitam giác (HH8)Định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnhcủa tam giác và song song với cạnh còn lạithì nó tạo thành một tam giác mới đồngdạng với tam giác đã cho.1/ Trường hợp đồng dạng thứ nhấtĐịnh lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệvới ba cạnh của tam giác kia thì hai tamgiác đó đồng dạng.2/ Trường hợp đồng dạng thứ haiĐịnh lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉlệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góctạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì haitam giác đó đồng dạng.3/ Trường hợp đồng dạng thứ baĐịnh lý: Nếu hai góc của tam giác này lầnlượt bằng hai góc của tam giác kia thì haitam giác đó đồng dạng với nhau. A M N B CNếu có:∆ABC, MN//BC (M∈AB, N∈AC) Ta có: ∆AMN ∆ABC A’ A B C B’ C’Nếu có: ' ' ' ' ' 'A B B C A CAB BC AC= =Ta có: ∆A’B’C’ ∆ABC A’ A B C B’ C’Nếu có: ' ' ' 'A B A CAB AC=; ˆ ˆ'A A=Ta có: ∆A’B’C’ ∆ABC A’ A B C B’ C’Nếu có: ˆ ˆ'A A= ; ˆ ˆ'B B=Ta có: ∆A’B’C’ ∆ABC18ABCĐường trung tuyếncủa tam giác (HH7)Tính chất ba đườngtrung tuyến của tamgiác (HH7)Định nghĩa: Đoạn thẳng AM nối đỉnh Acủa tam giác ABC với trung điểm M củacạnh BC gọi là đường trung tuyến của tamgiác ABC. Mỗi tam giác có 3 đường trungtuyến.Định lý: Ba đường trung tuyến của mộttam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đócách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dàiđường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Điểmnày gọi là trọng tâm của tam giác. Nếu có: ∆ABC; AD, BE, CF là bađường trung tuyến.Ta có: a) Ba đường trung tuyến cùng đi quamột điểm G (ba đường trung tuyến đồngquy tại G). G là trọng tâm của ∆ABC. b) 23AG BG CGAD BE CF= = = Hay 2 2 2; ;3 3 3AG AD BG BE CG CF= = =Hay AG = 2GD; BG = 2GE; CG = 2GF. c) Nếu có: ∆ABC; AD, BE là haiđường trung tuyến cắt nhau tại G. Ta có: CF đi qua G là đường trungtuyến thứ ba của ∆ABC. Khi đó ta suyra F là trung điểm của AB.Chứng minh đường trung tuyến củatam giácCách 1: Chứng minh đó là đoạn thẳngnối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đốidiện (theo định nghĩa). (HH7)Cách 2: Chứng minh đó là đoạn thẳngnối từ đỉnh đến cạnh đối diện và đi quagiao điểm của hai đường trung tuyếnkia. (HH7)Chứng minh một điểm là trọng tâmcủa một tam giácTa chứng minh điểm đó là giao điểmhai đường trung tuyến của tam giác.Đường phân giáccủa tam giác (HH7)Định nghĩa: Trong tam giác ABC, tia phângiác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M, khiđó đoạn thẳng AM được gọi là đường phângiác. Mỗi tam giác có 3 đường phân giác. (Hình 1) (Hình 1)Chứng minh AD là đường phân giáccủa tam giác ABC. (Hình 2)Cách 1: Cm: AD là tia phân giác củagóc A (HH7)Cách 2: Trên AD lấy một điểm O. KẻOL⊥AB; OK⊥AC. Chứng minhOL = OK, rồi kết luận AD là đườngphân giác của ∆ABC. (HH7)Cách 3: Chứng minh AD đi qua giaođiểm hai đường phân giác của góc B vàC. (Khi đó AD là đường phân giác thứba).19ABCMEFDGEFTính chất ba đườngphân giác của tamgiác (HH7)Tính chất đườngphân giác của tamgiác (HH8)Ba đường phân giác của một tam giác cùngđi qua một điểm. Điểm này cách đều bacạnh của tam giác đó (HH7) và là tâmđường tròn nội tiếp tam giác (HH9)-Tính chất đường phân giác của tam giácĐịnh lý: Trong tam giác, đường phân giáccủa một góc chia cạnh đối diện thành haiđoạn thẳng với hai cạnh kề hai đoạn ấy.(HH8)LEHCBDKFAONếu có: ∆ABC; AD, BE, CF là ba đườngphân giác.Ta có: a) Ba đường phân giác cùng đi quamột điểm O (ba đường phân giác đồng quytại O). b) Nếu hai đường phân giác của các góc Bvà C cắt nhau tại O, thì AD đi qua O làđường phân giác của góc A.c) O cách đều ba cạnh của tam giác. Tức là,nếu từ O kẻ OH⊥BC, OK⊥AC, OL⊥AB,thì ta có: OH=OK=OL (HH7) d) O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC(HH9)CBD'ADNếu có: ∆ABC, AD là tia phân giác của·BAC (D∈BC), AD’ là tia phân giác củagóc ngoài ·BAx của ∆ABC (D’∈BC).Ta có: a) ''DB D B ABDC D C AC= = b) AE⊥AD (góc tạo bởi hai tia phângiác của hai góc kề bù là một góc vuông)Chú ý: Áp dụng tính chất tia phân giác củamột góc để lập tỉ lệ thức vận dụng vào tínhđộ lớn của đoạn thẳng, CM hai tam giácđồng dạng. Chứng minh một điểm cách đều bacạnh của một tam giác (HH7) (là tâmđường tròn nội tiếp tam giác (HH9)) Ta chứng minh điểm đó là giao điểmhai đường phân giác trong của tam giác.20x(Hình 2)Đường trung trựccủa tam giác (HH7)Định nghĩa: Trong một tam giác, đườngtrung trực của mỗi cạnh gọi là đường trungtrực của tam giác đó. Mỗi tam giác có 3đường trung trực.Tính chất ba đường trung trực của tamgiác:Định lý: Ba đường trung trực của một tamgiác cùng đi qua một điểm. Điểm này cáchđều ba đỉnh của tam giác đó và là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác. (HH7) Nếu có: ∆ABC và ba đường trung trựcứng với ba cạnh của tam giác (hình trên).Ta có: a) Ba đường trung trực của tam giácABC cùng đi qua một điểm O (ba đườngtrung trực đồng quy tại O) . (HH7)b) O cách đều ba đỉnh của tam giác. Tứclà ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp∆ABC; OA = OB = OC. (HH7)c) MB = MC, OM⊥BC (vì OM làđường trung trực của BC); NA = NC, ON⊥ AC(vì ON là đườngtrung trực của AC); PA = PB, OP⊥AB (vì OP là đườngtrung trực của AB) (HH7)d) Các tam giác AOC, AOB, AOC là cáctam giác cân (vì có hai cạnh bằng nhau)(HH7)e) Các đoạn thẳng MN, MP, NP là đườngtrung bình của tam giác ABC (HH8). Khiđó ta cũng có: MN//AB; MN = 12ABMP//AC; MP =12AC; NP//BC;NP= 12BCf) PO⊥MN (vì MN//AB⇒ PO⊥AB thìPO⊥MN) PO cắt MN tại K thì PK là đường caocủa ∆PMN.Tương tự: NO⊥PM, MO⊥PN.21OABCMNPĐường cao của tamgiác (HH7)Định nghĩa: Trong một tam giác, đoạnvuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳngchứa cạnh đối diện gọi là đường cao củatam giác đó.Tính chất ba đường cao của tam giácĐịnh lý: Ba đường cao của một tam giáccùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trựctâm của tam giác (HH7)ABCDEF 1/ Nếu có: ∆ABC và ba đường cao AD,BE, CF (hình trên). Ta có: a) Ba đường cao của tam giác ABCcùng đi qua một điểm H (ba đường caođồng quy tại H). H là trực tâm của tamgiác. (HH7)b) Các cặp góc đối đỉnh bằng nhau. VD:ˆ ˆAHE BHD=; … (HH7).c) Các tam giác vuông.∆ADC;··090DAC DCA+ = …d)·· ····; ;BCF BAD CAD CBE ACF ABE= = =(hai góc cùng nhọn có cạnh tương ứngvuông góc).e) Các cặp tam giác đồng dạng. VD: ∆BDA ∆BFC, …f) Các tứ giác nội tiếp. VD: BFEC;BFHD, … (HH9)2/ Nếu có: ∆ABC và hai đường cao BE,CF. Ta có: AD là đường cao thứ ba của ∆ABC, khi đó ta có: AD⊥BC. (HH7)Chú ý: Áp dụng tính chất này để chứngminh đường cao của tam giác, chứngminh hai đường thẳng vuông góc.Chứng minh đường cao của tam giácCách 1: Chứng minh đoạn thẳng nốiđỉnh với cạnh đối diện vuông góc vớicạnh đối diện này.Cách 2: Chứng minh đoạn thẳng nốiđỉnh với cạnh đối diện đi qua giao điểmcủa hai đường cao kia (đó là đường caothứ ba). Chứng minh một điểm là trực tâmcủa tam giác.Chứng minh điểm đó là giao điểm củahai đường cao của tam giác.22HTỉ số hai đường caotương ứng của haitam giác đồng dạng(HH8)Định lý: Tỉ số hai đường cao tương ứngcủa hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồngdạng. ' ' ' ' 'A H h A BkAH h AB= = =Chú ý: Áp dụng vào việc tính độ lớn củađường cao hoặc cạnh của tam giác. A’ A h h’ B H C B’ H’ C. Đường thẳng đi quatrung điểm một cạnhcủa tam giác và songsong với cạnh thứhai (HH8)Đường trung bìnhcủa tam giác (HH8)Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểmmột cạnh của tam giác và song song vớicạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứba.Định nghĩa: Đường trung bình của tamgiác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnhcủa tam giác. Định lý 2: Đường trung bình của tam giácthì song song với cạnh thứ ba và bằng nửacạnh ấy. ABCNếu có: DA=DB và DE//BC. Ta có:EA=EC ABC Nếu có: DA = DB và EA = EC. Ta có:DE là đường trung bình của tam giácABC ⇒ DE //BC; DE = 12BCChứng minh một đoạn thẳng làđường trung bình của tam giácTa chứng minh đoạn thẳng đi qua trungđiểm của hai cạnh của tam giác.Diện tích tam giác(HH8)Tỉ số diện tích củahai tam giác đồngdạng (HH8)Diện tích tam giác bằng nửa tích của mộtcạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó: S = 12BC.AH = 12ah Định lý: Tỉ số diện tích của hai tam giácđồng dạng bằng bình phương tỉ số đồngdạng. A’ A h B H a C B’ H’ CNếu có: ∆A’B’C’ ∆ABC. Gọi S’làdiện tích của ∆A’B’C’, S là diện tíchcủa ∆ABC. Gọi p’ là nửa chu vi của ∆A’B’C’, p là nửa chu vi của ∆ABC.Ta có:2 2' ' '( )S A BkS AB= =;' ' 'p A Bkp AB= =23DEDE TAM GIÁC CÂNKhái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhTam giác cân (HH7)Tính chất tam giáccân (HH7)Đường phân giáccủa tam giác cân(HH7)Đường trung tuyếncủa tam giác cân(HH7)Đường trung trựccủa tam giác cân(HH7)Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác cóhai cạnh bằng nhau.Tính chất của tam giác cân:Định lý 1: Trong một tam giác cân, hai gócở đáy bằng nhau.Định lý 2: Nếu một tam giác có hai gócbằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Tính chất: Trong một tam giác cân, đườngphân giác xuất phát từ đỉnh đối diện vớiđáy đồng thời là đường trung tuyến ứng vớicạnh đáy.Định lý (BT 26, trang 67 HH7): Trong mộttam giác cân, hai đường trung tuyến ứngvới hai cạnh bên thì bằng nhau. Định lý đảo: Nếu tam giác có hai đườngtrung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.Định lý (BT 52, HH7, 79): Nếu tam giác cómột đường trung tuyến đồng thời là đườngtrung trực ứng với cùng một cạnh thì tamgiác đó là tam giác cân.Tính chất: Trong một tam giác cân, đườngtrung trực ứng với cạnh đáy đồng thời làđường phân giác, đường trung tuyến, và A B C∆ABC cân tại A; AB, AC là các cạnhbên, BC là cạnh đáy; ˆB và ˆC là góc đáy;ˆA là góc ở đỉnh. A E D B M C 1/ Nếu có: ∆ABC là tam giác cân tại A.Đường phân giác AM. BD là đường trungtuyến ứng với cạnh AC, BD là đườngtrung tuyến ứng với cạnh AC.Ta có: a) AB = AC (theo ĐN tam giác cân haytheo gt khi giải toán)b) ˆB = ˆC (theo tính chất tam giác cân)c) Đường phân giác AM cũng là đườngtrung tuyến (Trong một tam giác cân,đường phân giác xuất phát từ đỉnh đốidiện với đáy đồng thời là đường trungtuyến ứng với cạnh đáy).d) A nằm trên đường trung trực x’x của BC.(theo ĐL: Điểm cách đều hai mút của mộtđoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực củađoạn thẳng thì đó) (HH7).e) AM là đường trung trực đồng thời làđường phân giác, đường trung tuyến, vàđường cao cùng xuất phát từ đỉnh A.Chứng minh một tam giác là tamgiác cânCách 1: Ta chứng minh tam giác đó cóhai cạnh bằng nhau.Cách 2: Ta chứng minh tam giác đó cóhai góc đáy bằng nhau.Cách 3: Ta chứng minh hai trong bốnloại đường (đường trung tuyến, đườngphân giác, đường cao cùng xuất phát từmột đỉnh và đường trung trực ứng vớicạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhauthì tam giác đó là một tam giác cân.Cách 4: Ta chứng minh hai đườngtrung tuyến bằng nhau ứng với hai cạnhbên.Cách 5: Ta chứng minh hai đường cao(xuất phát từ các đỉnh của hai gócnhọn) bằng nhau. 24Gđường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diệnvới cạnh đó. Nhận xét: Trong một tam giác, nếu haitrong bốn loại đường (đường trung tuyến,đường phân giác, đường cao cùng xuất pháttừ một đỉnh và đường trung trực ứng vớicạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thìtam giác đó là một tam giác cân.g) BD = CE (Trong một tam giác cân, haiđường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thìbằng nhau.2/ A E D B M Ca) Nếu ∆ABC có ˆB = ˆCTa có: ∆ABC cân tại A b) Nếu ∆ABC có các đường trungtuyến BD và CE bằng nhau.Ta có: ∆ABC cân tại Ac) Nếu ∆ABC có đường phân giác AMcũng là đường trung tuyến.Ta có: ∆ABC cân tại Ad) Nếu ∆ABC có đường trung tuyếnAM cũng là đường cao.Ta có: ∆ABC cân tại A.TAM GIÁC VUÔNGKhái niệm Nội dung Hình vẽ - Khai thác Cách chứng minhTam giác vuông(HH7)Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giáccó một góc vuông.Định lý: Trong một tam giác vuông, haigóc nhọn phụ nhau.Định lý Py-ta-go: Trong một tam giácvuông, bình phương của cạnh huyền bằngtổng các bình phương của hai cạnh gócvuông. B M A C∆ABC vuông tại A. BC là cạnh huyền;AB, AC là các cạnh góc vuông. Nếu có: ∆ABC vuông tại A. AM làđường trung tuyến (theo hình trên).Ta có: a) 0ˆˆ90B C+ = (Trong một tam giácvuông, hai góc nhọn phụ nhau) (HH7)b)2 2 2BC AB AC= +(ĐL Py-ta-go) (HH7)Chứng minh một tam giác là tamgiác vuôngCách 1: Ta chứng minh tam giác đó có1 góc bằng 1v.Cách 2: Ta chứng minh tam giác đó cótổng 2 góc bằng 1v.Cách 3: Ta chứng minh bình phươngcủa một cạnh bằng tổng các bìnhphương của hai cạnh kia (Định lý Py-ta-go đảo)Cách 4: Ta chứng minh đường trungtuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnhấy.25

Tài liệu liên quan

• Vận dụng quan điểm trực quan vào việc hình thành khái niệm và định lí hình học không gian (chương quan hệ vuông góc hìmh học lớp 11
  • 47
  • 924
  • 3
• Dạy học khái niệm và định lý theo phương thức tiếp cận phát hiện thể hiện qua dạy học hình học lớp 10 THPT
  • 104
  • 817
  • 5
• Tổng hợp khái niệm và định nghĩa môn hệ thống thông tin quản lý
  • 37
  • 1
  • 12
• bài giảng hóa học môi trường chương 1 một số khái niệm và định nghĩa
  • 10
  • 873
  • 1
• CD1: Cac khai niem va dinh luat co ban
  • 13
  • 849
  • 1
• sang kien kinh nghiem Khai thác định lý hình học 9
  • 3
  • 569
  • 6
• Hóa phân tích chương 2 các khái niệm và định luật cơ bản
  • 9
  • 845
  • 3
• Giáo trình hướng dẫn phân tích hệ thống tài sản cố định hữu hình trong báo cáo lưu chuyển tiền tệ p1 pptx
  • 5
  • 478
  • 0
• một số khái niệm và định nghĩa về lý thuyết vành và trường
  • 35
  • 16
  • 33
• Một số định lý hình học nổi tiếng và áp dụng
  • 55
  • 447
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.62 MB - 57 trang) - hệ thống khái niệm và định lý hình học THCS Tải bản đầy đủ ngay ×