Hệ Thức Lượng Trong đường Tròn | CMaths

Có thể bạn quan tâm

Bài 1. Cho hai đường tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}';{R}' \right)$ cắt nhau tại điểm $A,B$ phân biệt, $d$ là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn với các tiếp điểm $C\in \left( O \right),D\in \left( {{O}'} \right)$ .

a) Chứng minh rằng $d$ qua trung điểm của đoạn $CD$ .

b) Với điểm $M~$ bất kì thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài hai đường tròn kẻ các tiếp tuyến với hai đường tròn với ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ là các tiếp điểm thuộc $\left( O \right)$ và ${{M}_{3}},{{M}_{4}}$ là các tiếp điểm thuộc $\left( {{O}'} \right)$ . Chứng minh bốn điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}},{{M}_{3}},{{M}_{4}}$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 2. Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}};{{r}_{1}} \right),\left( {{O}_{2}};{{r}_{2}} \right)$ cố định và tiếp xúc ngoài với nhau tại $A.$ Một đường tròn $\left( O;r \right)$ thay đổi tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn thứ tự tại $B,C$ .

a) Chứng minh hai đoạn $O{{O}_{1}},O{{O}_{2}}$ có hiệu không đổi.

b) Qua $A,B,C$ kẻ các tiếp tuyến chung với hai đường tròn mà nó là tiếp điểm. Chứng minh 3 đường thẳng này đồng quy tại một điểm.

Bài 3. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Một điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AB$ không trùng với $O$ . Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB~$ cắt đường tròn tại $C$ . Đường tròn đường kính $CH$ cắt $AC,BC$ và $\left( O \right)$ tại $D,E$ và $F$ .

a) Chứng minh rằng $AB,DE,CF$ đồng quy.

b) Đường tròn tâm $C$ bán kính $CH$ cắt $\left( O \right)$ tại $P,Q$ . Chứng minh rằng $P,D,E,Q$ thẳng hàng.

Bài 4. Trên đường thẳng $d$ lấy 4 điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự đó. Đường tròn đường kính $AC$ và $BD~$ cắt nhau tại $X,Y$ . Đường thẳng $XY$ cắt $BC$ tại $Z$ . Lấy $P$ là một điểm trên $XY$ khác $Z$ . Đường thẳng $CP$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại điểm thứ hai là $M$ , và $BP$ cắt đường tròn đường kính $BD$ tại điểm thứ hai là $N$ . Chứng minh $AM,DN,XY$ đồng quy.

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$ . $M$ là trung điểm của $BC$ , $N$ là giao điểm của $DE$ và $BC$ . Chứng minh rằng $NH\bot AM$ .

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ . Một đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$ . Gọi $P$ là một điểm bên trong tam giác $ADE$ , $F$ và $G$ là giao điểm của $DE$ với $BP$ và $CP$ . Đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $PDG$ , đường tròn tâm $I$ ngoại tiếp tam giác $PEF$ cắt nhau tại điểm thứ hai $Q$ . Chứng minh rằng $AQ\bot OI$ .

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân nội tiếp $\left( O;R \right)$ . Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho vuông góc với $OA$ và luôn cắt tia $AB,AC$ . Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $d$ với $AB,AC$ . Giả sử $BN,CM$ cắt nhau tại $K$ , $AK$ cắt $BC$ tại $P$ .

a) Chứng minh đường tròn $\left( MNP \right)$ luôn qua một điểm cố định.

b) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $AMN$ . Đặt $BC=a$ và $l$ là khoảng cách từ $A$ đến $HK$ . Chứng minh $KH$ qua trực tâm tam giác $ABC$ , từ đó suy ra $l \le \sqrt {4{R^2} - {a^2}}$ .