Hệ Thức Vi-et, Ứng Dụng Các Dạng Toán Liên Quan Và Bài Tập

Vậy hệ thức Vi-ét được ứng dụng vào các dạng bài toán nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Đồng thời vận dụng hệ thức Vi-ét để giải một số bài tập toán liên quan để qua đó rèn luyện kỹ năng làm toán của các em.

I. Kiến thức phương trình bậc 2 một ẩn và hệ thức Vi-ét cần nhớ

1. Phương trình bậc 2 một ẩn

i) Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

ii) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

- Đối với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac:

• Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

• Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

• Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thức Vi-ét

• Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm  khi đó:

 

 

Đặt: Tổng nghiệm là: 

 Tích nghiệm là: 

• Định lý VI-ÉT: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

 

• Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0, (Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0).

* Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:

• Nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: 

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

* Nhận xét: Như vậy ta thấy hệ thức Vi-ét liên hệ chặt chẽ nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn với các hệ số a, b, c của nó.

» xem thêm: Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cực hay

II. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài tập toán liên quan.

1. Nhẩm nghiệm của phương trinh bậc hai một ẩn

* Ví dụ: Giải các phương trình sau (bằng cách nhẩm nghiệm).

a) 3x2  - 8x + 5 =0

b) 2x2 + 9x + 7 = 0

c) x2 + x - 6 = 0

° Lời giải:

a) 3x2  - 8x + 5 =0 (1)

- Ta thấy pt(1) có dạng a + b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

 

b) 2x2 + 9x + 7 = 0 (2)

- Ta thấy pt(2) có dạng a - b + c = 0 nên theo Vi-ét pt(1) có nghiệm:

 

c) x2 + x - 6 = 0

- Ta có: x1 + x2 = (-b/a) = -1 và x1.x2 = (c/a) = -6 từ hệ này có thể nhẩm ra nghiệm: x1 = 2 và x2 = -3.

2. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2

* Ví dụ 1: Cho x1 = 3; x2 = -2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét ta có:  vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

 x2 - Sx + P ⇔ x2 - x - 6 = 0

* Ví dụ 2: Cho x1 = 3; x2 = 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Lời giải:

- Theo hệ thức Vi-ét ta có:  vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn có dạng:

 x2 - Sx + P ⇔ x2 - 5x + 6 = 0

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

- Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0).

* Ví dụ 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 1 và a.b = -6

° Lời giải:

- Vì a + b = 1 và a.b = -6 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 - x - 6 = 0.

- Giải phương trình này ta được x1 = 3 và x2 = -2.

* Ví dụ 2: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và a.b = -4

- Vì a + b = -3 và a.b = -4 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x - 4 = 0.

- Giải phương trình này ta được x1 = 1 và x2 = -4.

4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai

- Đối với bài toán này ta cần biến đổi các biểu thức nghiệm mà đề cho về biểu thức có chứa Tổng nghiệm S và Tích nghiệm P để vận dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức này.

* Ví dụ: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, tính các giá trị của biểu thức sau:

               

° Lời giải:

- Ta có: 

 

 

  

 

5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho nghiệm này độc lâp (không phụ thuộc) với tham số

• Để giải bài toán này, ta thực hiện như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2

- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta tính được S = x1 + x2 và P = x1x2 theo tham số

- Dùng các phép biến đổi để tính tham số theo x1 và x2, từ đó dẫn tới hệ thức liên hệ giữa x1 và x2.

* Ví dụ: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0. Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2) + 2x1x2 - 8 không phụ thuộc vào m.

° Lời giải:

- Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

  

- Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

- Thay vào biểu thức A ta được:

 

 

⇒ A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ 4/5.

- Kết luận: A không phụ thuộc vào m.

III. Một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét

* Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm

a) x2 + 9x + 8 = 0

b) 

c) 

* Bài 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn: y1 = 2x1 - x2 và y2 = 2x2 - x1.

* Bài 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

           

         

Như vậy, hy vọng với nội dung về hệ thức Vi-ét Bài tập và ứng dụng vào bài toán liên quan ở trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn và có thể giải bài toán dạng này dễ dàng hơn.

Thực tế nội dung này còn có các bài tập vận dụng nâng cao như biện luận nghiệm, tính tổng nghiệm đối với các phương trình có chứa tham số. Có thể HayHocHoi sẽ chia sẻ với các bạn ở những bài viết tiếp theo, chúc các bạn học tốt.