Hệ Thức Vi-ét Và ứng Dụng: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Thường Gặp

Nếu đang tìm kiếm một tài liệu học tập về phần Hệ thức Vi-ét, các em hãy tham khảo ngay tài liệu dưới đây với hệ thống lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng cùng các dạng bài tập thường gặp, giúp các em nắm được trọn vẹn phần kiến thức này. Các thầy cô cũng có thể sử dụng bài tổng hợp này như một tài liệu hữu ích phục vụ quá trình dạy học của mình.

Cùng tham khảo nhé!

Chuyên đề Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

I. Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Công thức Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\). Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Ví dụ: Phương trình \(2x^2-5x+2=0\) có  \(\Delta=9>0\) nên phương trình có hai nghiệm \( x_1;x_2.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ 5}}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{2}{2}=1\end{array} \right..\)

2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

+) Tính nhẩm

Xét phương trình bậc hai: \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\).

 Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1}\) = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\).

Nếu phương trình có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là \({x_1}\) =  - 1, nghiệm kia là \({x_2} = - \dfrac{c}{a}\).

+) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ĐK \( {S^2} \ge 4P\))

Ví dụ: 

+ Phương trình \(2x^2-9x+7=0\) có \(a+b+c=2+(-9)+7=0\) nên có hai nghiệm \(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{2}\)

+ Phương trình \(2x^2+9x+7=0 \)có \(a-b+c=2-9+7=0\) nên có hai nghiệm \(x_1=-1;x_2=-\dfrac{c}{a}=-\dfrac{7}{2}\)

II. Các dạng toán thường gặp về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Dạng 1:  Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.

Phương pháp:

Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\). Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : \( S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\) và \(P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}.\)

Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng \({x_1} + {x_2}\) và tích \({x_1}{x_2}\), sau đó áp dụng bước 1.

Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là :

+) \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}= {S^2} - 2P\)

+) \(B = x_1^3 + x_2^3\)

\(= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)= {S^3} - 3SP\)

+) \(C = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\)

\(= {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}= {\left( {{S^2} - 2P} \right)^2} - 2{P^2}\)

+) \(D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \)

\(= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} .\)

+) \(E = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)

\(= {S^2} - 4P .\)

Dạng 2: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm

Phương pháp :

Xét phương trình bậc hai : \(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\)

+) Nếu phương trình có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm \({x_1}\) = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \dfrac{c}{a}\).

+ ) Nếu phương trình có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm \({x_1}\) =  - 1, nghiệm kia là \({x_2} =  - \dfrac{c}{a}.\)

+) Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp :

Nếu tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thì nó được phân tích thành nhân tử: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right).\)

Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp :

Để tìm hai số x,y khi biết tổng S = x + y và tích P = xy, ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện \({S^2} \ge 4P\). Giải phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) để tìm các nghiệm\( {X_1},{X_2}.\)

Bước 2: Khi đó các số cần tìm x,y là \(x = {X_1},y = {X_2}\) hoặc \(x = {X_2},y = {X_1}\) .

Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp :

Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Khi đó:

1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right..\)

3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right..\)

4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right..\)

5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương  \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac < 0\\S < 0\end{array} \right..\)

Dạng 6 : Xác  định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\)

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

III. Bài tập về Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Cho phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0.\)

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng  \(x_1\) \(= 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm \(x_2\).

Lời giải:

a) Phương trình \(2x^2 – 5x + 3 = 0\) có các hệ số \(a = 2; b = -5; c = 3\)

\( \Rightarrow  a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0\)

b) Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được:

\(2.1^2 - 5.1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 0=0\) (luôn đúng)

Vậy \(x_1 = 1\) là một nghiệm của phương trình

c) Theo định lí Vi-et ta có:

\(\displaystyle{x_1}.{x_2} = {c \over a} = {3 \over 2} \Rightarrow 1.{x_2} = {3 \over 2} \Rightarrow {x_2} = {3 \over 2}\)

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong toán 9 chương 4 bài 6 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

IV. Bài tập 

******************

Trên đây là tổng hợp lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!