§3. Tích Của Vectơ Với Một Số - VLOS

Có thể bạn quan tâm

Chủ đề nóng: Phương pháp kỷ luật tích cực - Cổ học tinh hoa - Những thói hư tật xấu của người Việt - Công lý: Việc đúng nên làm - Giáo án Điện tử - Sách giáo khoa - Học tiếng Anh - Bài giảng trực tuyến - Món ăn bài thuốc - Chăm sóc bà bầu - Môi trường - Tiết kiệm điện - Nhi khoa - Ung thư - Tác hại của thuốc lá - Các kỹ thuật dạy học tích cực - Dạy học phát triển năng lực - Chương trình giáo dục phổ thông Hình học 10/Chương I/§3. Tích của vectơ với một số Từ VLOS < Hình học 10 Bước tới: chuyển hướng, tìm kiếm

${\text{Ki hieu}}\ 2{\vec a},\ -{\frac {1}{2}}{\vec a}\ {\text{co nghia gi?}}$

Mục lục

1 Lí thuyết
- 1.1 Định nghĩa
- 1.2 Tính chất
- 1.3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
- 1.4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
- 1.5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
2 BÀI TẬP

Lí thuyết[sửa]

Hoạt động 1

Hình 13p1

Cho hai vectơ ${\vec a},{\vec b}$ (hình 13p1).

1) Vẽ vectơ ${\vec c}$ biết ${\vec c}={\vec a}+{\vec a}\$ .

2) Vẽ vectơ ${\vec d}$ biết ${\vec d}=-{\vec a}-{\vec a}\$ .

Nhận xét gì về hướng và độ dài của vectơ ${\vec c}$ so với vectơ ${\vec a}$ và của vectơ ${\vec d}$ so với vectơ ${\vec b}$ .

Định nghĩa[sửa]

Cho số k ≠ 0 và vectơ ${\vec a}\neq {\vec 0}$ . Tích của vectơ ${\vec a}$ với số k là một vectơ: Có độ dài bằng $\|k\|\|{\vec a}\|$ . Có hướng, cùng hướng với ${\vec a}$ nếu k > 0, ngược hướng với ${\vec a}$ nếu k < 0. Vectơ đó được kí hiệu là $k{\vec a}$ .

Ta quy ước $0{\vec a}={\vec 0},k{\vec 0}={\vec 0}$ .

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.

Hoạt động 2

Hình 13p2 Cho hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và vectơ ${\vec a}$ (hình 13p2).

1) Vẽ vectơ $3{\vec a}$ .

2) Tích của vectơ $\overrightarrow {AB}$ với $-{\frac {1}{2}}$ kí hiệu như thế nào? Vẽ vectơ đó.

VÍ DỤ 1

Hình 1-13

Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC (h.1-13).

Ta có:

$\overrightarrow {GA}=(-2)\overrightarrow {GD}.$

$\overrightarrow {AD}=3\overrightarrow {GD}.$

$\overrightarrow {DE}=\left(-{\frac {1}{2}}\right)\overrightarrow {AB}.$

NHẬN XÉT:

Với một vectơ a và số k cho trước, ta có thể vẽ được vô số vectơ $k{\vec a}$ .
$k{\vec a}={\vec 0}\Leftrightarrow {\Bigg [}_{{{\vec a}={\vec 0}.}}^{{k=0}}$
Vectơ $k{\vec a}$ và vectơ ${\vec a}$ luôn cùng phương với nhau.

Tính chất[sửa]

Với hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có: $k({\vec a}+{\vec b})=k{\vec a}+k{\vec b}$ $(h+k){\vec a}=h{\vec a}+h{\vec a}$ $h(k{\vec a})=(hk){\vec a}$ $1.{\vec a}={\vec a},(-1).{\vec a}=-{\vec a}$

Hoạt động 3	Tìm vectơ đối của các vectơ $k{\vec a}$ và $3{\vec a}-4{\vec b}$ .

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác[sửa]

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}=2\overrightarrow {MI}$ .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=3\overrightarrow {MG}$ .

Hoạt động 4	Hãy sử dụng mục 5 của §2 để chứng minh các khẳng định trên.

Điều kiện để hai vectơ cùng phương[sửa]

Hoạt động 5

Hình 13p3 Cho các vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c},{\vec d}$ và ${\vec e}$ (hình 13p3). Tìm x, y, z biết:

1) ${\vec a}=x{\vec c}$

2) ${\vec b}=y{\vec d}$

3) ${\vec c}=z{\vec d}$ .

Tổng quát, ta có:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}\ ({\vec b}\neq {\vec 0})$ cùng phương là có một số k để ${\vec a}=k{\vec b}$ .

CHỨNG MINH

Thuận: giả sử ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng phương.

Lấy $k={\frac {|{\vec a}|}{|{\vec b}|}}$ nếu ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng hướng Lấy $k=-{\frac {|{\vec a}|}{|{\vec b}|}}$ nếu ${\vec a}$ và ${\vec b}$ ngược hướng.

Khi đó, theo định nghĩa ta có ${\vec a}=k{\vec b}$ .

Đảo: nếu ${\vec a}=k{\vec b}$ thì hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ cùng phương.

NHẬN XÉT:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow {AB}=k\overrightarrow {AC}$ .

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương[sửa]

Hoạt động 6

Cho các vectơ $\overrightarrow {AC},{\vec a},{\vec b},{\vec c}$ (hình 13p4).

1) Hãy vẽ vectơ $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {BC}$ sao cho $\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}$ .

2) Hãy vẽ vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ sao cho ${\vec d}+{\vec e}={\vec c}$ . Có bao nhiêu cặp vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ thỏa mãn điều kiện trên.

3) Hãy vẽ vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ lần lượt cùng phương với ${\vec a}$ và ${\vec b}$ sao cho ${\vec d}+{\vec e}={\vec c}$ . Có bao nhiêu cặp vectơ ${\vec d}$ và ${\vec e}$ thỏa mãn điều kiện trên.

Hình 13p4

Hình 1-14

Tổng quát, ta có:

Cho hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ ${\vec x}$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ ${\vec a}$ và ${\vec b}$ , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho ${\vec x}=h{\vec a}+k{\vec b}$ .

CHỨNG MINH

Vẽ ${\vec a}=\overrightarrow {OA},{\vec b}=\overrightarrow {OB},{\vec x}=\overrightarrow {OC}$ (hình 1-14).
Kẻ CA' // OB và CB' // OA.
Từ (2) suy ra, tứ giác OA'CB' là hình bình hành.
Từ (3) và (1) suy ra, $\overrightarrow {OA'}+\overrightarrow {OB'}=\overrightarrow {OC}={\vec x}$ .
Vì $\overrightarrow {OA'}$ và ${\vec a}$ cùng phương nên có một số h để $\overrightarrow {OA'}=h{\vec a}$ .
Vì $\overrightarrow {OB'}$ và ${\vec b}$ cùng phương nên có một số k để $\overrightarrow {OB'}=k{\vec b}$ .
Từ (4), (5) và (6) suy ra: ${\vec x}=h{\vec a}+k{\vec b}$ (đpcm).

VÍ DỤ 2

Hình 1-15

Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho $AK={\frac {1}{5}}AB$ .

a) Hãy phân tích $\overrightarrow {AI},\overrightarrow {AK},\overrightarrow {CI},\overrightarrow {CK}$ theo

${\vec a}=\overrightarrow {CA},{\vec b}=\overrightarrow {CB}$ .

b) Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng.

Lời giải

a) Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC (hình 1-15). Ta có: $\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CD}-\overrightarrow {CA}={\frac {1}{2}}{\vec b}-{\vec a}.$

Do đó:

$\overrightarrow {AI}={\frac {1}{2}}\overrightarrow {AG}={\frac {1}{3}}\overrightarrow {AD}={\frac {1}{6}}{\vec b}-{\frac {1}{3}}{\vec a};$ $\overrightarrow {AK}={\frac {1}{5}}\overrightarrow {AB}={\frac {1}{5}}(\overrightarrow {CB}-\overrightarrow {CA})={\frac {1}{5}}({\vec b}-{\vec a});$ $\overrightarrow {CI}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AI}={\vec a}+{\frac {1}{6}}{\vec b}-{\frac {1}{3}}{\vec a}={\frac {1}{6}}{\vec b}+{\frac {2}{3}}{\vec a};$ _____________(1*) $\overrightarrow {CK}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AK}={\vec a}+{\frac {1}{5}}{\vec b}-{\frac {1}{5}}{\vec a}={\frac {1}{5}}{\vec b}+{\frac {4}{5}}{\vec a}.$ ___________(2*)

b) Từ (1*) và (2*), ta có $\overrightarrow {CK}={\frac {6}{5}}\overrightarrow {CI}$ . Vậy ba điểm C, I, K thẳng hàng.

BÀI TẬP[sửa]

1) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow {AC}$ .

Hình 1-15p

Cho các vectơ ${\vec a},{\vec b},{\vec c},{\vec d},{\vec e},{\vec g},{\vec m},{\vec n}$ (hình 1-15p). Tìm k, h sao cho:

a) ${\vec c}=k{\vec a}+h{\vec b}$ b) ${\vec d}=k{\vec a}+h{\vec b}$ c) ${\vec e}=k{\vec a}+h{\vec b}$ d) ${\vec g}=k{\vec a}+h{\vec b}$ e) ${\vec m}=k{\vec a}+h{\vec b}$ f) ${\vec n}=k{\vec a}+h{\vec b}$

3) Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {BC},\overrightarrow {CA}$ theo hai vectơ ${\vec u}=\overrightarrow {AK}$ và ${\vec v}=\overrightarrow {BM}$ .

4) Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho $\overrightarrow {MB}=3\overrightarrow {MC}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ ${\vec u}=\overrightarrow {AB}$ và ${\vec v}=\overrightarrow {AC}$ .

5) Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}={\vec 0}$ . b) $2\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}=4\overrightarrow {OD}$ , với O là điểm tùy ý.

6) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: $2\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {AD}$ .

7) Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow {KA}+2\overrightarrow {KB}={\vec 0}$

8) Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+2\overrightarrow {MC}={\vec 0}$ .

9) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

10) Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {ME}+\overrightarrow {MF}={\frac {3}{2}}\overrightarrow {MO}$ .

<<< Hình học 10

Liên kết đến đây

Hình học 10
Hình học 10/Chương I/§4. Hệ trục tọa độ
Thành viên:Nguyenthephuc/Note: Đang viết
Phân phối chương trình môn Toán lớp 10, Trung học phổ thông, Năm học 2006 - 2007

Lấy từ “https://tusach.thuvienkhoahoc.com/index.php?title=Hình_học_10/Chương_I/§3._Tích_của_vectơ_với_một_số&oldid=147551”

Thể loại:

Sách giáo khoa
Hình học 10

Làm núi lửasửa đổi 2 tuần trước
Bài 10: Liên Xô xây dựng CNXH (…sửa đổi 3 tuần trước
Giáo trình Điện tử cơ bản/C…sửa đổi 2 tháng trước
Mẫu câu hỏi theo các mức đ…sửa đổi 3 tháng trước
Mẫu câu hỏi theo chức năngsửa đổi 3 tháng trước

xem toàn bộ

Nhập email của bạn:

Cung cấp bởi Google

Trình đơn chuyển hướng

Công cụ cá nhân

Mở tài khoản
Đăng nhập

Không gian tên

Nội dung
Thảo luận

Biến thể

Tìm kiếm

Trang Chính
Tin tức Khoa học
Tủ sách VLOS
Giới thiệu Sách
Quy trình Công nghệ
Giáo án Điện tử
Bài giảng Trực tuyến
Ngân hàng Ý tưởng
Ghi chú Khoa học

Cộng đồng

Hỏi - Đáp
Thảo luận mới
Bài viết mới nhất
Bài nhiều người đọc
Hoạt động thành viên
Thay đổi gần đây

Các đề án

Sách giáo khoa mở
Điện từ Sinh học
Từ điển Thuốc
Công nghệ Ưu tiên
Văn hóa Khoa học
Ngôn ngữ học
Từ điển Hàn lâm
Thần kinh & tư duy
Các câu lạc bộ
Sinh học đại cương
Rùa Hồ Gươm
Khái niệm Sinh học

Hướng dẫn để

sơ cứu cấp cứu
chăm sóc sức khỏe
cân bằng tâm lý
phát triển kỹ năng
thay đổi lối sống
giao tiếp xã hội
phát triển tình yêu
thủ thuật internet
làm đẹp
vệ sinh cá nhân
ăn kiêng
nấu ăn ngon
làm mẹ chăm con
làm vườn trồng cây
hạnh phúc gia đình

Công cụ

Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Các trang đặc biệt
Bản để in
Liên kết thường trực
Thông tin trang

Từ khóa » định Lý Trung điểm Vecto

Hình Học 10/Chương I/§3. Tích Của Vectơ Với Một Số - VLOS

Mục lục

Lí thuyết[sửa]

Định nghĩa[sửa]

Tính chất[sửa]

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác[sửa]

Điều kiện để hai vectơ cùng phương[sửa]

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương[sửa]

BÀI TẬP[sửa]

Liên kết đến đây

Trình đơn chuyển hướng

Công cụ cá nhân

Không gian tên

Biến thể

Tìm kiếm

Xem nhanh

Cộng đồng

Các đề án

Hướng dẫn để

Công cụ

Tính Chất Vectơ Của Trung điểm - Thầy Phú

Bài Tập Về Quy Tắc Trung điểm Của Vecto Cực Hay, Chi ...

Quy Tắc Trung điểm Vecto, Trọng Tâm, Quy Tắc Hình Bình Hành Lớp 10 ...

Bài Tập Về Quy Tắc Trung điểm Của Vecto Cực Hay, Chi Tiết ... - Haylamdo

Bài Tập Về Quy Tắc Trung điểm Của Vecto Cực Hay, Chi Tiết

Lý Thuyết Tổng Của Hai Véc Tơ Toán 10

Công Thức Tính Toạ độ Trung điểm Của đoạn Thẳng Chuẩn Xác

(PDF) Vectơ Và Các Phép Toán | Ngốc Sam

Tính Tọa độ Trung điểm đoạn Thẳng, Trọng Tâm Tam Giác

Xác định Tính Chất Của Hình Khi Biết Một đẳng Thức Vectơ

Đường Trung Tuyến: Lý Thuyết, Tính Chất, Công Thức Tính Trong Tam Giác

Vectơ – Wikipedia Tiếng Việt

Liên Hệ