Hình Học 12 Bài 2: Mặt Cầu

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu Hình học 12 Bài 2: Mặt cầu ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm31 BT SGK 126 FAQ

Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Tính chất

2.3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

2.4. Giao của mặt cầu với đường thẳng

2.5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

2.6. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chóp

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về Bài 2 Chương 2 Toán 12

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r.

- Kí hiệu: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M|OM = r} \right\}.\)

- Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

- Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

- Dây cung CD và đường kính AB.

- Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A trong không gian.

+ Nếu OA = r thì điểm A nằm trên mặt cầu.

+ Nếu OA < r thì điểm A nằm trong mặt cầu.

+ Nếu OA > r thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.

+ Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm bên trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R.

2.2. Tính chất

- Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O;r) thì:

+ Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

+ Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

+ Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

2.3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

- Cho mặt cầu S(O;r) tâm O bán kính r và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P).

- Khi đó h=OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P).

+ Nếu h=r thì (P) tiếp xúc mặt cầu.

- Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

+ Nếu h>r thì (P) không có điểm chung với mặt cầu.

+ Nếu h < r thì (P) cắt mặt cầu S(O;r) theo giao tuyến là một đường tròn tâm H bán kính \(r' = \sqrt {{r^2} - {h^2}} .\)

​

2.4. Giao của mặt cầu với đường thẳng

- Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng ∆. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên ∆, đặt h=OH. Ta có:

+ Nếu h=r thì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại H.

- Ghi nhớ: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là \(\Delta\) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

+ Nếu h < r, \(\Delta\) cắt mặt cầu S(0;r) tại hai điểm M,N, đoạn thẳng MN có độ dài \(MN=2\sqrt{r^2-h^2}.\)

+ Nếu h>r thì đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.

2.5. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

- Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\).

- Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: \(S = 4\pi {R^2}.\)

2.6. Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chóp

a) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Hình chóp có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.

- Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: nếu hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên và trục dường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

b) Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

- Hình lăng trụ có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp.

- Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: nếu lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.

Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).

Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\).

Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2}=169\pi a^2.\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{2197}{6}\pi a^3.\)

Ví dụ 2:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.

Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.

Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.

Đặt OH=x (x>0)

Ta có:

\(BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}a.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\)

\(OA = AH - x = a\sqrt {\frac{2}{3}} - x\)

\(BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}}\)

Mặt khác: \(OA = OB \Leftrightarrow a\sqrt {\frac{2}{3}} - x = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).

Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng \(OH=\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Bán kính của mặt cầu là \(R=OA=a\sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)

Ví dụ 3:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.

Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.

Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Do OHSM là hình chữ nhật nên: \(MS=OH=\frac{1}{2}c\).

\(\begin{array}{l} R = SO = \sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{\frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \\ = \sqrt {{{\frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. \end{array}\)

Ví dụ 4:

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Lời giải:

\(B'B = AB.\tan {45^0} = a\).

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.

Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.

Do A'B'C' là tam giác đều nên \(O'C'=\frac{a \sqrt3}{3}.\)

\(IO'=\frac{1}{2}BB'=\frac{a}{2}.\)

Suy ra: \(R = IC' = \sqrt {IO{'^2} + O'C{'^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).

Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\).

4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Hình học 12

Những vật thể có dạng mặt cầu hay khối cầu hết sức quen thuộc trong cuộc sống hằng ngày từ vật thể nhỏ như quả bóng hay đến Trái đất đều là một khối cầu. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và các công thức tính diện tích Mặt cầu, thể tích Khối cầu cùng với đó là những bài tập minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho hình lập phương có cạnh bằng a và tâm I. Tính diện tích S của mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt của hình lập phương.

  • A. \(S = 4\pi {a^2}\)
  • B. \(S = 2\pi {a^2}\)
  • C. \(S = 8\pi {a^2}\)
  • D. \(S = \pi {a^2}\)

• Câu 2:

  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

  • A. Bất kì một hình tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
  • B. Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
  • C. Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.
  • D. Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp.

• Câu 3:

  Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Tính diện tích S của mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền.

  • A. \(S = 8\pi {m^2}\)
  • B. \(S = 4\pi {m^2}\)
  • C. \(S = 2\pi {m^2}\)
  • D. \(S = \frac{2\pi {m^2}}{3}\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 2 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 3 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 4 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 5 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 6 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 7 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 8 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 9 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 10 trang 49 SGK Hình học 12

Bài tập 2.13 trang 60 SBT Hình học 12

Bài tập 2.14 trang 60 SBT Hình học 12

Bài tập 2.15 trang 60 SBT Hình học 12

Bài tập 2.16 trang 60 SBT Hình học 12

Bài tập 2.17 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.18 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.19 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.20 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.21 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.22 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 2.23 trang 61 SBT Hình học 12

Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 5 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 6 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 7 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 8 trang 45 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 9 trang 46 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 10 trang 46 SGK Hình học 12 NC

5. Hỏi đáp Bài 2 Chương 2 Hình học Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Hình học 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay Hình học 12 Ôn tập chương 2 Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Hình học 12 Chương 3

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 9 Lớp 12 Deserts

Tiếng Anh 12 mới Unit 5

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Ôn tập Vật lý 12 Chương 3

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Hoá Học 12 Chương 5

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Sinh Học 12 Chương 2 Tiến hóa

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 3 Lịch Sử VN

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Đề cương HK1 lớp 12

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

Đàn ghi ta của Lor-ca

Quá trình văn học và phong cách văn học

Ai đã đặt tên cho dòng sông

Tây Tiến

Người lái đò sông Đà

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>