Hình Học 8 Bài 11: Hình Thoi - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 8 Chương 1: Tứ Giác Hình học 8 Bài 11: Hình thoi ADMICRO Lý thuyết5 Trắc nghiệm21 BT SGK 88 FAQ

Với bài học này chúng ta sẽ làm quen với Hình thoi. Cùng tìm hiểu xem hình thoi có những tính chất gì giống và khác với những hình đã học nhé !

ATNETWORK YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1 Định nghĩa

1.2 Tính chất

1.3 Tâm đối xứng và trục đối xứng của hình thoi

1.4 Chứng minh một tứ giác là hình thoi

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 11 Toán 8 tập 1

3.1 Trắc nghiệm vềHình thoi

3.2. Bài tập SGK vềHình thoi

4. Hỏi đáp Bài 11 Chương 1 Hình học 8 tập 1

Tóm tắt lý thuyết

1.1 Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Từ định nghĩa này, ta suy ra:

Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

1.2 Tính chất

Vì hình thoi cũng là hình bình hành nên hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành (chẳng hạn: Trong hình thoi hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, các góc đối bằng nhau…)

Đặc biệt, ta có định lí:

Trong hình thoi:

- Hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hai đường chéo là đường phân giác các góc của nó.

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AB = BC = CD = DA\)

\(\begin{array}{l}AC \bot BD,OA = OC,OC = OB\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.\end{array}\)

1.3 Tâm đối xứng và trục đối xứng của hình thoi

- Hình thoi có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

- Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo.

1.4 Chứng minh một tứ giác là hình thoi

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, ta chứng minh nó có một trong các tính chất sau:

1. Có bốn cạnh bằng nhau.

2. Là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

3. Là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

4. Là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc ở đỉnh.

Ví dụ 1: Từ các đỉnh của một hình chữ nhật, ta kẻ các đường thẳng vuông góc với các đường chéo của hình chữ nhật. Chứng minh rằng các đường thẳng này cắt nhau tạo thành một hình thoi.

Giải

Dễ thấy FH // GE và GF//HE

\( \Rightarrow \) EHFG là hình bình hành (1)

\(\Delta AEB\) cân, \(\Delta CFD\) cân \( \Rightarrow \) F, E nằm trên trục đối xứng của hình chữ nhật. Tương tự, G, H nằm trên trục đối xứng thứ hai

\( \Rightarrow {\rm{EF}} \bot {\rm{GH}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng MN và PQ bằng nhau và giao nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Tại các đầu mút của mỗi đoạn thẳng, ta vẽ các đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy, các đường thẳng này cắt nhau theo thứ tự tại các điểm A, B, C,D.

1. Chứng minh rằng B và D đối xứng với nhau qua tâm O.

2. Chứng minh rằng B và D đối xứng với nhau qua trục AC.

3. Suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.

Giải

1. \(\Delta BMO = \Delta BQO \Rightarrow BM = BQ\)

Kết quả với \(BM \bot OM,BQ \bot OQ\)

Suy ra OB là tia phân giác của góc MOG

Tương tự, OD là tia phân giác của góc PON.

Hai góc MOQ và PON là hai góc đối đỉnh, vậy OB và OD là hai tia đối nhau, suy ra B, O, D thẳng hàng (1)

\(\Delta BMO = \Delta DNO \Rightarrow OB = OD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra B và D đối xứng với nhau qua tâm O.

2. Tương tự, ta chứng minh được OC là tia phân giác của góc QON và ba điểm A, O, C thẳng hàng OA = OC.

\(\widehat {MOQ}\) và \(\widehat {QON}\) là hai góc kề bù nên \(OB \bot OC\) hay \(BD \bot AC\)

Kết hợp với OB = OD suy ra AC là trung trực của BD hay B và D đối xứng với nhau qua trục AC

3. BD là trung trực của đoạn thẳng AC.

AC là trung trực của đoạn thẳng BD

Vậy ABCD là hình thoi.

Ví dụ 3: Cho hình thang cân ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

1. Chứng minh MNPQ là hình thoi.

2. Chứng minh rằng một trong hai đường chéo của hình thopi MNPQ đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang ABCD.

Giải

1.Ta có:

\(\begin{array}{l}PN = \frac{1}{2}DB;\,\,\,\,\,\,QM = \frac{1}{2}DB\\NM = \frac{1}{2}AC;\,\,\,\,\,PQ = \frac{1}{2}AC\end{array}\)

ABCD là hình thang cân nên AC = BD.

Suy ra PN = MN = MQ = QP \( \Rightarrow \) MNPQ là hình thoi.

2. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình thang.

Dễ dàng chứng minh được OA = OB; OC = OD \( \Rightarrow \) điểm O nằm trên đường trung trực của hai cạnh đáy hình thang ABCD \(O \in PM\) mà PM là một đường chéo của hình thoi MNPQ.

Bài tập minh họa

Bài 1: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình bình hành ABCD ta lấy các điểm E, M, N, F sao cho BM = DN và BE = DF. Gọi O, P, K, Q, R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BD, ED, BF, FE và MN.

1. Chứng minh OPQK là hình thoi

2. Chứng minh ba điểm Q, O, R thẳng hàng.

3. Trường hợp nào thì cả 5 điểm A, Q, O, R, C thẳng hàng?

Giải

1. Ta có:

\(\begin{array}{l}PO = \frac{1}{2}BE;\\QK = \frac{1}{2}BE;\\OK = \frac{1}{2}DF;\\PQ = \frac{1}{2}DF;\end{array}\)

Mà \(BE = DF \Rightarrow PO = OK = KQ = QP\)

\( \Rightarrow \) OPQK là hình thoi

2. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của OG và AB; AD

\(\Delta OPQ\) cân, cho ta \(\widehat {POQ} = \widehat {PQO}.\)

Dễ thấy \(\widehat {POQ} = \widehat {{\rm{AIJ}}},\,\,\widehat {{\rm{AJ}}I} = \widehat {PQO} \Rightarrow \widehat {{\rm{AIJ}}} = \widehat {{\rm{AJ}}I} \Rightarrow \Delta {\rm{IAJ}}\)cân

Kẻ tia phân giác Ax của góc A thì ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{\rm{AIJ}}} \Rightarrow OQ//Az\,\,\) (1)

Chứng minh tương tự, ta kẻ tia phân giác Cy của góc C thì OR//Cy (2)

Rõ ràng Ax // Cy (3)

Từ (1), (2), (3) áp dụng tiên đề Ơclit, ta suy ra ba điểm Q, O, R thẳng hàng.

3. Khi ba điểm A, Q, O thẳng hàng Q, O nằm trên phân giác của góc A. Nếu ba điểm O, R, C cũng thẳng hàng nữa thì chúng phải nằm trên phân giác của góc C. Trường hợp này, ta suy ra đường chéo AC là phân giác của góc A và góc C, Vậy hình bình hành ABCD là hình thoi.

Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA ta lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P và trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM = CN = DP = AQ.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

2. Chứng minh hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có cùng một tâm đối xứng.

3. Hình thoi ABCD phải có điều kiện gì để MNPQ là hình vuông?

Giải

1.

\(\begin{array}{l}\Delta QAM = \Delta CNP \Rightarrow QM = PN\\\Delta MBN = \Delta PDQ \Rightarrow QP = MN\end{array}\)

\( \Rightarrow \) MNPQ là hình bình hành.

2.

\(\begin{array}{l}\Delta OBM = \Delta ODN \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\\\widehat {POM} = \widehat {POB} + \widehat {{O_1}} = \widehat {POB} + \widehat {{O_2}}\\ = \widehat {BOD} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) P, O, M thẳng hàng.

Tương tự, ta có Q, O, N thẳng hàng.

3. Để MNPQ là hình thoi thì hình bình hành MNPQ phải có hai cạnh kề bằng nhau, chẳng hạn QM = MN.

Như vậy, ta có: \(\Delta QAM = \Delta MBN \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {QAM} \Rightarrow \widehat {QAM} = \widehat {BAD}\)

Từ \(\widehat {QAM} = \widehat {BAD}\) và \(\widehat {QAM} + \widehat {BAD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {90^0}\)

Hình thoi ABCD có một góc vuông. Vậy nó là hình vuông.

Gọi O là tâm đối xứng của hình bình hành, ta thấy AB và CD đối xứng với nhau qua O; \(M \in AB;\,\,P \in CD\) và DP = BM nên suy ra M và P đối xứng với nhau qua tâm O. Tương tự, N và Q cũng đối xứng nhau qua tâm O.

Tứ giác MNPQ nhận O làm tâm đối xứng nên nó là hình bình hành.

Bài 3: Giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD là điểm O. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các giao điểm của các đường phân giác trong của các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.

1. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

2. Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để MNPQ là hình vuông?

Giải

1. OP và OM là các tia phân giác của các góc đối đỉnh DOC và AOB nên chúng là các tia đối của nhau, suy ra O, P, M thẳng hàng.

\(\begin{array}{l}\Delta PDC = \Delta MBAB \Rightarrow DP = MB\\ \Rightarrow \Delta OPD = \Delta OMB \Rightarrow OP = OM\end{array}\)

Lí luận tương tự, ta được OQ = ON

Tứ giác MNPQ là hình bình hành (1)

Các góc AOB và COD kề bù nên các tia phân giác OM, ON vuông góc với nhau:

\(OM \bot ON\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình thoi.

2. Để MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo PM và QN phải bằng nhau

\(\begin{array}{l}PM = QN \Rightarrow OM = OQ\\ \Rightarrow \Delta OAQ = \Delta OAM \Rightarrow \widehat {OAQ} = \widehat {OAM} \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {BAC}\end{array}\)

Như vậy AC phải là phân giác của góc A. Điều này cũng có nghĩa là hình bình hành ABCD phải là hình thoi

3. Luyện tập Bài 11 Toán 8 tập 1

Qua bài giảng Hình thoinày, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :

• Nhận biết được hình thoi
• Ghi nhớ được tính chất của hình thoi
• Vận dụng kiến thức giải được một số bài toán liên quan

3.1 Trắc nghiệm về Hình thoi

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 11 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.

• Câu 1:

  Chọn ý đúng

  • A. Hình thoi là tứ giác có các cạnh đối song song
  • B. Hình thoi là tứ giác có ba góc vuông
  • C. Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
  • D. Hình thoi là tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau

• Câu 2:

  Chọn ý sai

  • A. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
  • B. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi
  • C. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
  • D. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK về Hình thoi

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 11 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 73 trang 105 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 74 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 75 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 76 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 77 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 78 trang 106 SGK Toán 8 Tập 1

Bài tập 132 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 133 trang 96 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 134 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 135 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 136 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 137 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 138 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 139 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 140 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 141 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 142 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 143 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 11.1 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 11.2 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài tập 11.3 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1

4. Hỏi đáp Bài 11 Chương 1 Hình học 8 tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!

-- Mod Toán Học 8 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Hình học 8 Bài 1: Tứ giác Hình học 8 Bài 2: Hình thang Hình học 8 Bài 3: Hình thang cân Hình học 8 Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang Hình học 8 Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa và Dựng hình thang Hình học 8 Bài 6: Đối xứng trục ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

Toán 8

Toán 8 Kết Nối Tri Thức

Toán 8 Chân Trời Sáng Tạo

Toán 8 Cánh Diều

Giải bài tập Toán 8 KNTT

Giải bài tập Toán 8 CTST

Giải bài tập Toán 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm Toán 8

Đề thi giữa HK1 môn Toán 8

Ngữ văn 8

Ngữ Văn 8 Kết Nối Tri Thức

Ngữ Văn 8 Chân Trời Sáng Tạo

Ngữ Văn 8 Cánh Diều

Soạn Văn 8 Kết Nối Tri Thức

Soạn Văn 8 Chân Trời Sáng Tạo

Soạn Văn 8 Cánh Diều

Văn mẫu 8

Đề thi giữa HK1 môn Ngữ Văn 8

Tiếng Anh 8

Tiếng Anh 8 Kết Nối Tri Thức

Tiếng Anh 8 Chân Trời Sáng Tạo

Tiếng Anh 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm Tiếng Anh 8 KNTT

Trắc nghiệm Tiếng Anh 8 CTST

Trắc nghiệm Tiếng Anh 8 Cánh Diều

Tài liệu Tiếng Anh 8

Đề thi giữa HK1 môn Tiếng Anh 8

Khoa học tự nhiên 8

Khoa học tự nhiên 8 KNTT

Khoa học tự nhiên 8 CTST

Khoa học tự nhiên 8 Cánh Diều

Giải bài tập KHTN 8 KNTT

Giải bài tập KHTN 8 CTST

Giải bài tập KHTN 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm Khoa học tự nhiên 8

Lịch sử và Địa lý 8

Lịch sử & Địa lí 8 KNTT

Lịch sử & Địa lí 8 CTST

Lịch sử & Địa lí 8 Cánh Diều

Giải bài tập LS và ĐL 8 KNTT

Giải bài tập LS và ĐL 8 CTST

Giải bài tập LS và ĐL 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm Lịch sử và Địa lí 8

GDCD 8

GDCD 8 Kết Nối Tri Thức

GDCD 8 Chân Trời Sáng Tạo

GDCD 8 Cánh Diều

Giải bài tập GDCD 8 KNTT

Giải bài tập GDCD 8 CTST

Giải bài tập GDCD 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm GDCD 8

Công nghệ 8

Công Nghệ 8 KNTT

Công Nghệ 8 CTST

Công Nghệ 8 Cánh Diều

Trắc nghiệm Công Nghệ 8

Giải bài tập Công Nghệ 8 KNTT

Giải bài tập Công Nghệ 8 CTST

Giải bài tập Công Nghệ 8 CD

Đề thi giữa HK1 môn Công nghệ 8

Tin học 8

Tin Học 8 Kết Nối Tri Thức

Tin Học 8 Chân Trời Sáng Tạo

Trắc nghiệm Tin học 8

Giải bài tập Tin học 8 CD

Đề thi giữa HK1 môn Tin học 8

Tin Học 8 Cánh Diều

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 8

Tư liệu lớp 8

Xem nhiều nhất tuần

Đề thi giữa HK2 lớp 8

Đề thi HK2 lớp 8

Đề thi HK1 lớp 8

Đề thi giữa HK1 lớp 8

9 bài văn mẫu truyện Cô bé bán diêm

6 bài văn mẫu về đoạn trích Đánh nhau với cối xay gió

9 bài văn mẫu Cô bé bán diêm hay nhất

Tiếng Anh Lớp 8 Unit 6

Vào nhà ngục Quảng Đông cảm tác

Tiếng Anh Lớp 8 Unit 5

Video Toán Nâng cao lớp 8- HK1

Video Toán Nâng cao lớp 8- HK Hè

Video Toán Nâng cao lớp 8- HK2

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>