Hình Học 8 Bài 2: Hình Thang - HOC247

Bài 1: Cho hình thang ABCD đáy lớn AB; M, N, P, Q theo thứ tự là các trung diểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD.

a. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng.

b. Cho AB = a, CD = b với a > b. Tính độ dài các đoạn thẳng MN, PQ.

c. Chứng minh rằng nếu MP = PQ= QN thì a – 2b = 0.

Giải

a. Dễ thấy

MP // DC và MQ // AB

Kết hợp với AB // DC, suy ra \(MP \equiv MQ\)

\( \Rightarrow \) Ba điểm M, P, Q thẳng hàng

Tương tự, ba điểm N, P, Q thẳng hàng

\( \Rightarrow \) Bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng.

b. MN là đường trung bình của hình thang:

\(MN = \frac{1}{2}(a + b)\)

Ta cũng có:

\(\begin{array}{l}MQ = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,MP = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}b;\,\\PQ = MQ - MP = \frac{1}{2}(a - b).\,\end{array}\)

c. Khi

\(\begin{array}{l}MP = PQ = QN \Rightarrow \frac{1}{3}MN = PQ\\ \Rightarrow \frac{1}{6}(a + b) = \frac{1}{2}(a - b)\\ \Rightarrow (a + b) = 3(a - b) \Rightarrow a = 2b\end{array}\)

Bài 2: Cho tứ giác ABCD. Các đường phân giác của các góc trong tại đỉnh A và đỉnh D vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm N. Gọi M, P, N, Q theo thứ tự là:

- Giao điểm các tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh D.

- Giao điểm các tia phân giác trong của các góc tại đỉnh B và đỉnh C.

- Giao điểm của các tia phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C.

1. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang.

2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

3. Tính độ dài của các đoạn thẳng MQ, NP theo các cạnh AB, DC, AD, BC của hình thang.

Giải

1. Trong tam giác AND thì \(\widehat N = {90^0}\) nên

\(\begin{array}{l}\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}} = {90^0}\\ \Rightarrow 2(\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}) = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {A\,} + \widehat D = {180^0}\end{array}\)

Hai đường thẳng AB và DC tạo với đường thẳng AD hai góc trong cùng phía bù nhau

\( \Rightarrow AB//DC \Rightarrow \) Tứ giác ABCD là hình thang.

2. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi A’ là giao điểm cảu AN với DC. Tam giác ADA’ có DN vừa là đường cao, vừa là phân giác nên nó là tam giác cân, suy ra DN cũng là trung tuyến hay N là trung điểm của AA’. Như vậy, EN là đường trung bình và EN // DA’; E là trung điểm cạnh bên AD mà EN // DC suy ra N nằm trên đường trung bình EF của hình thang ABCD.

Chứng minh tương tự, ta có có các điểm M, P, Q cũng nằm trên đường thẳng EF hay bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

3. Ta có \(EN = \frac{1}{2}DN'\) mà \(DN' = DA \Rightarrow EN = \frac{1}{2}AD\)

\(\Delta MED = \Delta NEA \Rightarrow ME = EN \Rightarrow ME = \frac{1}{2}AD\)

Tương tự

\(\begin{array}{l}FQ = \frac{1}{2}BC\\EF = \frac{1}{2}(AB + DC)\end{array}\)

Vậy \(MQ = \frac{1}{2}(AB + BC + CD + DA)\) hay MQ bằng một nửa chu vi của hình thang.

Bài 3: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, cạnh BC = 50cm và AD = 30cm. Chứng minh ABCD là hình thang vuông.

Giải

Từ đỉnh A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DC tại E. Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{AE{\rm{ }} = {\rm{ }}BC{\rm{ }} = {\rm{ }}50{\rm{ }}\left( {cm} \right)}\\{EC{\rm{ }} = {\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}40{\rm{ }}\left( {cm} \right)}\end{array} \Rightarrow DE = 80 - 40 = 40(cm)\)

Tam giác ADE có AD = 30cm; DE = 40cm; AE = 50cm

Nên

\(\begin{array}{l}A{D^2} = {30^2} = 900\\D{E^2} = {40^2} = 1600\\A{E^2} = {50^2} = 2500\end{array}\)

Cho ta \(A{E^2} = A{D^2} + D{E^2}\)

Theo định lí đảo của định lý Py-ta-go thì \(\Delta ADE\) vuông tại đỉnh D.

Từ đây suy ra \(\widehat {A\,} = \widehat D = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác ABCD là hình thang vuông.