Hình Học 8 Bài 9: Hình Chữ Nhật - Hoc247

Bài 1: Cho tam giác ABC. Từ đỉnh A, ta kẻ các đường AP, AQ theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác ngoài của góc B; các đường thẳng AR, AS theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và phân giác ngoài của góc C. Chứng minh:

1. Các tứ giác APBQ, ARCS là các hình chữ nhật.

2. Bốn điểm Q, R, P, S thẳng hàng.

3. \(QS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA).\)

4. Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để APBQ là hình vuông? Từ đó suy ra rằng không thể có trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.

Giải

1. BP là phân giác trong, BP là phân giác ngoài của góc tại đỉnh B, nên

\(BP \bot BQ \Rightarrow \widehat {QBP} = {90^0}\)

Tứ giác APBQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Với tứ giác ARCS cũng lí luận tương tự.

2. Gọi M là giao điểm của AB và QP. Tứ giá APBQ là hình chữ nhật, suy ra M là trung điểm của AB.

Ta cũng có: \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{B_2}}\) mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow MP//BC.\)

QP đi qua trung điểm M của AB và QP // BC, suy ra hai điểm P, Q nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.

Lí luận tương tự, ta cũng có hai điểm R, S cũng nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.

3. Trong tam giác vuông AQB thì

\(QM = \frac{1}{2}AB.\)

Tương tự, \(NS = \frac{1}{2}AC\)

Mặt khác \(MN = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow QS = QM + MN + NS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\)

4. Để APBQ là hình vuông thì \(AB \bot QP\) mà QP // BC nên \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh B.

Để ARCS là hình vuông thì \(AC \bot RS\) mà RS // BC nên \(AC \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh C.

Vì \(\Delta ABC\) không thể vừa vuông tại C nên không thể xảy ra trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC ta kẻ đường vuông góc với BC, đường này cắt AB ở E và cắt AC ở điểm F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.

1. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên cạnh BC.

2. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy.

3. Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào?

Giải

1. Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

\( \Rightarrow ID//AC\) (1)

Ta cũng có \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{C_1}}\) mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\)

\( \Rightarrow JD//AB\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AIDJ là hình bình hành, cho ta:

AJ // ID và AJ = ID

Suy ra AJ // HI và AJ = HI

\( \Rightarrow \) AHIJ là hình bình hành, cho ta:

IJ // AH và IJ = AK (1)

Tương tự, ta có:

IJ // AK và IJ = AK (2)

Từ (1) và (2), dựa vào tiên đề Ơclit, suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK hay A là trung điểm của HK.

2. Tứ giác AIDJ là hình bình hành nên trung điểm M của AD phải nằm trên IJ.

Trong tam giác DHK thì DA, KI và HJ là các trung tuyến nên chúng đồng quy.

3. Khi D thay đổi trên BC thì HK luôn đi qua điểm cố định A và M di chuyển trên đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CD và gọi H là trực tâm của tam giác. M, N, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AH và DE.

1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng

2. Dựa vào kết quả trên suy ra rằng nếu ta gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB, HC, AC, HB thì ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy.

Giải

1. Trong tam giác vuông ADH ta có:

\(DN = \frac{1}{2}AH\)

Tương tự ta có: \(EN = \frac{1}{2}AH\)

Vậy ND = NE.

\( \Rightarrow \) Điểm N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Ta cũng có: \(DM = \frac{1}{2}BC\) và \(EM = \frac{1}{2}BC\)

\( \Rightarrow MD = ME\)

Từ (1) và (2) suy ra M, N và trung điểm K của DE là ba điểm thẳng hàng.

2. Từ kết quả trên ta suy ra PQ là trung trực của EF và RS là trung trực của DF. Trong tam giác DEF, ba đường trung trực MN, PQ, RS đồng quy.