Hình Thang Vuông Có đối Xứng Là - Xây Nhà

Hãy chọn câu đúng. Trục đối xứng của hình thang cân là:

Nội dung chính Show

• Trục đối xứng của một số hình
• Định lý Bliss
• Định lý Paul Yiu
• Video liên quan

Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng.

Hãy chọn câu sai.

Khi đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì điểm A đối xứng với điểm B qua đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai điểm A và B.

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên A đối xứng với B qua đường thẳng d

Trong không gian hai chiều hồng tâm có đối xứng trục.

Một mặt giải phóng có đối xứng trục trong không gian 3 chiều.

Nói cách khác, hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng nếu đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Đối xứng này gọi là đối xứng trục.[1]

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng nếu mỗi điểm của hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia, và ngược lại. Đây cũng gọi là đối xứng trục.

Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trụng trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Trục đối xứng của một số hình

1. Đường tròn, trục đối xứng là đường kính của đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng.
2. Tam giác cân, trục đối xứng là đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của tam giác cân xuất phát từ đỉnh ứng với cạnh đáy. Tam giác cân có duy nhất 1 trục đối xứng.
3. Tam giác đều, trục đối xứng là đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của tam giác đều. Tam giác đều có 3 trục đối xứng.
4. Hình thang cân, trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân. Hình thang cân có 1 trục đối xứng.
5. Hình thoi, trục đối xứng là hai đường chéo của hình thoi. Hình thoi có 2 trục đối xứng.
6. Hình vuông, trục đối xứng là hai đường chéo của hình vuông và hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình vuông. Hình vuông có 4 trục đối xứng.
7. Hình chữ nhật, trục đối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình chữ nhật. Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng.
8. Đa giác đều n cạnh thì có n trục đối xứng

Các đường thẳng là đối xứng của một đường thẳng qua ba cạnh của tam giác đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng này đi qua trực tâm của tam giác. Trong trường hợp này điểm đồng quy nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.[2]

Định lý Bliss

 

Định lý Bliss

Cho ba đường thẳng song song đi qua ba trung điểm của ba cạnh của tam giác khi đó các đường thẳng đối xứng của ba cạnh tam giác đó qua ba đường thẳng này một cách lần lượt sẽ đồng quy tại đường tròn chín điểm của tam giác đó.[3]

Định lý Paul Yiu

Cho đường thẳng qua tâm nội tiếp của tam giác và cắt ba cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt tại X, Y, Z. Lấy các điểm X', Y', Z' là đối xứng của X, Y, Z qua ba đường phân giác tương ứng. Khi đó ba điểm X', Y', y' thẳng hàng.[4]

A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y

1. Hình học
2. Đường thẳng
3. Điểm
4. Tâm đối xứng
5. Định lý Đào (conic)

1. ^ Toán 8 - Tập 1, SGK nhà xuất bản Giáo dục trang 84.
2. ^ S.N. Collings, Reflections on a triangle, part 1, Math. Gazette, 57 (1973) 291 – 293; M.S. Longuet-Higgins, Reflections on a triangle, part 2, 293 – 296.
3. ^ This was first discovered in May, 1999 by a high school student, Adam Bliss, in Atlanta, Georgia. A proof can be found in F.M. van Lamoen, Morley related triangles on the nine-point circle, Amer. Math. Monthly, 107 (2000) 941 – 945. See also, B. Shawyer, Some remarkable concurrence, Forum Geom., 1 (2001) 69 – 74
4. ^ http://www.journal-1.eu/2015/01/Paul-Yiu-Reflections-of-Intercepts-pp.27-31.pdf Paul Yiu, Collinearity of the reflections of the intercepts of a line in the angle bisectors of a triangle pp.27-31. Volume 0, International Journal of Computer Discovered Mathematics, ISSN 2367-7775

Bản mẫu:Thể loại Commons Reflection symmetry

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Đối_xứng_trục&oldid=68140598”

         (٩(◕‿◕)۶ Cá gửi bẹn ạ)

* Hình chữ nhật:

- Hình chữ nhật có 1 tâm đối xứng, đó là giao điểm của hai đường chéo.- Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng (đó là đường trung trực của chiều dài và chiều rộng).

* Hình vuông:

- Hình vuông có 1 tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.- Hình vuông có 4 trục đối xứng là hai đường chéo của hình vuông và hai đường thẳng đi qua trung điểm từng cặp cạnh đối diện của hình vuông

-> Hình vuông có 4 trục đối xứng.

* Hình bình hành:

- Hình bình hành có 1 tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

- Hình bình hành không có trục đối xứng.

* Hình thang cân:

- Hình thang cân có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy của hình thang cân.

* Hình thoi:

- Hình thoi có hai trục đối xứng là hai đường chéo

- Hình thoi có 1 tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo

$*$ Hình không có tâm đối xứng là: hình thang cân  

Hình không có trục đối xứng là: hình bình hành

Đua top nhận quà tháng 4/2022

Hãy luôn nhớ cảm ơn và vote 5* nếu câu trả lời hữu ích nhé!

• nganthai404
• 10/12/2019

• Cám ơn 62

XEM GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 8 - TẠI ĐÂY

HÌNH THANG CÂN. ĐỐI XỨNG TRỤC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa hình thang cân

    Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (h.14).

 

2. Tính chất của hình thang cân

    Trong hình thang cân :

    - Hai cạnh bên bằng nhau ;

    - Hai đường chéo bằng nhau.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

4. Hai điểm đối xứng qua một đưòng thẳng

Hai điểm A và A' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA' (h.15).

 

Quy ước : Nếu B\( \in \)d thì điểm đối xứng với B qua d chính là B. 

5. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

• Hai hình F và F' gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.

-        Hai đoạn thẳng AB và A'B' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B' qua d (h.16a).

-        Hai tam giác ABC và A'B'C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu A đối xứng với A'; B đối xứng với B'; C đối xứng với C' qua đường thẳng d (h.16b).

 

Hình 16

•         Định lí : Nếu hai đoạn thẳng (hai góc, hai tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

6. Hình có trục đối xứng

Đường thẳng d là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.

Đặc biệt : Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của một hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân (h.17).

 

7. Bổ sung

- Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng với hai điểm của đường thẳng kia qua đường thẳng d.

- Một hình có thể không có, có một, có nhiều hoặc vô số trục đối xứng.

- Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) và A', B', C' lần lượt là ba điểm đối xứng của chúng qua đường thẳng d thì ba điểm A', B', C' thẳng hàng (B' nằm giữa A' và C) (h.18).

 

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 8. Cho ABC vuông tại A có điểm H chuyển động trên BC. Gọi E, F lần lượt 1à điểm đối xứng của H qua AB ; AC.

a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng.

b) Chứng minh BEFC là hình thang.

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vuông.

Giải (h.19)

 

a) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

                \(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}}{\rm{.}}\)

Mà \(\widehat {{\rm{EAF}}}{\rm{  = }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{4}}^{}} = 2.(\widehat {{\rm{A}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{A}}_{\rm{3}}^{}}) = {180^0}\) => E, A, F thẳng hàng.

b) Theo tính chất đối xứng trục, ta có :

                 \(\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{; }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}\)

Nên \(\widehat {{\rm{EBC}}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{FCB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{1}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  =  2}}{\rm{.(}}\widehat {{\rm{B}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{  +  }}\widehat {{\rm{C}}_{\rm{2}}^{}}{\rm{)  =  18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{.}}\)Mà          hai góc ở vị

trí trong cùng phía nên BE // CF hay BCFE là hình thang.

c) Theo tính chất đối xứng : \(\widehat {{\rm{BEA}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{BHA}}}\)

BEFC là hình thang vuông \({\rm{   }}\widehat {{\rm{BEA}}}{\rm{  =  9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}{\rm{    }}\widehat {{\rm{BHA}}}{\rm{  =  9}}{{\rm{0}}^0}\) hay AH là đường cao.

Ví dụ 9. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Điểm M nằm trong tam giác. Các điểm N, X, Y theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AD, AB, AC. Chứng minh rằng AN là đường trung trực của đoạn XY.

Giải

Trường hợp 1. Xét \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{ }} \le {\rm{ }}\widehat {{\rm{MAC}}}\) (h.20)

 

• Đặt\(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  =  }}\alpha \);\(\widehat {{\rm{MAD}}}{\rm{  =  }}\beta \). Ta có :

                 \(\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {{\rm{XAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{ ; }}\widehat {{\rm{NAD}}}{\rm{  =  }}\beta }\\{\widehat {{\rm{YAC}}}{\rm{  =  }}\alpha {\rm{  +  2}}{\rm{.}}\beta {\rm{, suy ra}}}\\{\widehat {{\rm{NAY}}}{\rm{  =  2}}{\rm{.}}\alpha {\rm{  +  2}}{\rm{.}}\beta {\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAX}}}{\rm{\;\;\;\;\;}}\left( {\rm{1}} \right)}\end{array}\)

                 Mặt khác : AX = AY = AN     (2)

   Từ (1) và (2) suy ra AN là đường trung trực của đoạn XY.

Trường hợp 2. Xét \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  >  }}\widehat {{\rm{MAC}}}\). Tương tự trường hợp 1. 

  Nhận xét: Dựa vào bài trên, có thể chứng minh được bài sau :

Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trong tam giác. Điểm Y đối xứng với M qua AC ; điểm X đối xứng với M qua AB. Điểm N nằm trong tam giác sao cho AN là đường trung trực của đoạn X,Y. Chứng minh rằng: \(\widehat {{\rm{MAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{NAC}}}\).

 C. BÀI TẬP

1. Bạn Việt nói "trong các đỉnh của hai tam giác đối xứng trục luôn có bốn đỉnh tạo thành các đỉnh của một hình thang cân". Bạn Nam nói "chưa chắc !"

Ai đúng, ai sai, tại sao ?

2. Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tia Ax và Ay sao

cho \(\widehat {{\rm{xAB}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{yAC}}}{\rm{  =  }}\frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAC}}}\). Trên tia Ax và Ay lấy hai điểm M và N thoả mãn AM = AN và \(\widehat {{\rm{ABM}}}{\rm{  AC + DC.

8. Cho ABC nhọn có \(\widehat {\rm{A}}{\rm{  =  70^\circ }}{\rm{.}}\)AH là đường cao. Gọi M, N là điểm đối xứng của H qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của MN với AB, AC.

a) Tính \(\widehat {{\rm{IHK}}}.\)

b) Chứng minh CI\( \bot \)AB ; BK\( \bot \)AC.

9. Chứng minh rằng, trong tam giác ABC, đường cao \({\rm{h}}_{\rm{a}}^{}\)không lớn hơn \(\sqrt {{\rm{p}}{\rm{.(p  -  a)}}} \) trong đó BC = a, p là nửa chu vi tam giác. 

10. Cho ABC, các điểm E, F thuộc đường phân giác AD sao cho\(\widehat {{\rm{ABE }}}{\rm{ =  }}\widehat {{\rm{DBF}}}\). Vẽ điểm I đối xứng với E qua AB, điểm H đối xứng với E qua AC, điểm K đối xứng với F qua BC. Chứng minh :

a) FH = FI, FI = KE.

b) \(\widehat {{\rm{ACE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{DCF}}}{\rm{.}}\)

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.