Hoán Vị, Tổ Hợp, Chỉnh Hợp - Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Tập

5/5 - (1 bình chọn)

Mặc dù chỉ có 1 câu trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, tuy nhiên, Hoán vị, Tổ Hợp và Chỉnh hợp vẫn là phần mà các bạn học sinh ôn tập. Đây là chuyên đề không khó nên các bạn hãy cố gắng tận dụng kiến thức thật tốt để có thể “ăn điểm” và tiết kiệm thời gian cho các câu hỏi khác.

Lý thuyết Hoán vị, Tổ hợp, Chỉnh hợp

1.Hoán vị

a. Hoán vị không lặp:

• Khái niệm:

Cho n phần tử khác nhau (điều kiện n≥1). Với mỗi cách sắp thứ tự các phần tử trong n đã cho với điều kiện các phần tử trong n chỉ xuất hiện đúng 1 lần thì ta gọi đó là hoán vị của n.

Số các hoán vị của các phần tử trong n đã cho (điều kiện: n≥1) được kí hiệu là Pn và Pn được tính theo công thức:

Pn = n(n−1)(n−2)...2.1 = n!

• Ví dụ:

Tính số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang

Phương pháp tính

Với mỗi cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 8

Vậy số cách để sắp xếp 8 bạn học sinh được tính theo công thức: P8 = 40.320 (cách)

• Các công thức mở rộng:

Bên cạnh công thức tính chỉnh hợp, các bạn cần phải nắm được một số công thức dưới đây để áp dụng trong quá trình làm bài tập hoặc bài thi:

b. Hoán vị lặp

• Khái niệm:

Giả sử có một tập hợp có k phần tử được đánh số thứ tự từ 1 đến k. Trong đó, với 1 cách sắp xếp k phần tử đó sao cho thỏa mãi điều kiện phần tử thứ i (1≤i≤k) được xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử.

Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3, 5 ta lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm có 9 chữ số sao cho thỏa mãn các điều kiện sau: chữ số 1 xuất hiện đúng 4 lần, chữ số 2 xuất hiện 2 lần, chữ số 3 xuất hiện đúng 2 lần và chữ số 4 xuất hiện 1 lần?

• Công thức:

Để tính được hoán vị lặp ta tính theo công thức sau:

Vậy quay lại ví dụ trên, ta tính được số hoán vị được tính như sau:

2. Tổ hợp

Ta có thể hiểu đơn giản với mỗi một tập con bao gồm k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử (với điều kiện n>0) được gọi là tổ hợp chập k của n

Ví dụ: Ta có 7 viên bi khác nhau. Vậy tổ hợp chập 3 của 7 viên bi được minh họa như sau:

Số tổ hợp chập k của n: Để đếm được số tổ hợp chập k của n ta hãy giả sử có k vị trí được đánh số từ 1 tới k. Lấy một phần tử xếp vào vị trí thứ nhất ta có có n cách. Lấy tiếp 1 phần tử xếp vào vị trí số 2 tiếp theo ta có n-1 cách… Như vậy tới phần tử thứ k ta sẽ có n-k+1 cách. Vậy với cách tính trên thì k phần tử đó hoàn toàn có thể hoán đổi với nhau mà không sinh ra bất cứ thêm một tổ hợp nào khác. Như vậy, số tổ chợp chập k của n được tính theo công thức:

3. Chỉnh hợp

Ta có thể hiểu với mỗi cách sắp xếp các phần tử của một tập hợp con bao gồm k phần tử của tập hợp n phần tử là một chỉnh hợp chập k của n.

Để có thể hiểu hơn về chỉnh hợp, ta quay trở lại với ví dụ 7 viên bi mà mình đã nói ở trên. Ta lấy 3 viên bi bất kỳ và sắp xếp các viên bi này với các vị trí khác nhau, ta được các chỉnh hợp chập 3 của 7 (như hình minh họa ở dưới)

Từ đó, ta có thể thấy được chỉnh hợp và tổ hợp có nét tương đồng với nhau tuy nhiên, chỉnh hợp sẽ được tính dựa thêm yếu tố vị trí của các thành phần bên trọng chỉnh hợp.

4. Mối quan hệ giữa hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp

Theo các định nghĩa và kiến thức bên trên ta có thể thấy có sự liên hệ giữa tổ hợp chỉnh hợp và hoán vị. Cụ thể với một chỉnh hợp chập k của n được tạo ra từ việc thực hiện 2 bước.

• Bước 1 là lấy 1 tổ hợp chập k của n phần tử.
• Bước 2 là tạo hoán vị của k phần tử đó.

=> Từ đó, ta có thể suy ra công thức liên kết giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị như sau:

Một số dạng bài tập chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị (có đáp án)

Trên đây là một số định nghĩa trong chương chỉnh hợp tổ hợp xác xuất mà luyenthidgnl.com.vn giới thiệu và chia sẻ. Mặc dù chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị không phải là phần có nhiều câu hỏi trong bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán nhưng đây đều là câu hỏi dễ ăn điểm, chắc chắn các bạn học sinh không thể bỏ qua chuyên đề này. Chúc các bạn có thể đạt được kết quả tốt nhất trong bài thi tốt nghiệp sắp tới.

Một số nội dung liên quan các bạn có thể tham khảo thêm:

Bộ đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia mới nhất – môn toán

Kiến thức về cực trị hàm số và các dạng bài thường gặp