I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA - SureTEST

I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

${a^n} = \underbrace {a.a....a}_n$

Với $a \ne 0$

$\begin{array}{*{20}{l}}{{a^0} = 1}\\{{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}}\end{array}$

Trong biểu thức ${a^m}$, ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

* Chú ý

${0^0}$ và ${0^{ - n}}$ không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa số mũ nguyên dương.

2. Phương trình ${x^n} = b$

Số nghiệm của phương trình ${x^n} = b$ như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

a) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

3. Căn bậc n

a) Khái niệm

Cho số thực b và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu ${a^n} = b$.

b) Tính chất của căn bậc n

$\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}}\\{\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}}\\{{{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)}^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}}\end{array}$.

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ. Giả sử $r = \frac{m}{n}$, trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r và số ${a^r}$ xác định bởi:

${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Ta gọi giới hạn của dãy số $\left( {{a^{{r_n}}}} \right)$ là lũy thừa của a với số mũ $\alpha $ kí hiệu ${a^\alpha }$.

${a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}$ , với $\alpha = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}$.

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Lũy thừa với số mũ thực có tính chất tương tự với số mũ nguyên dương.

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha ,\beta $là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{l}{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + }}^\beta \\\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - }}^\beta \\{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .}}^\beta \\{\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\\{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\end{array}$.

Nếu a > 1 thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta $.

Nếu a < 1 thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta $.