Khai Triển Taylor Của Hàm Hợp | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Trong bài tập giải tích có một số bài yêu cầu khai triển Taylor của các hàm

$(\cos x)^{\sin x}$ ,

$e^{2x-x^2}$ hay $\ln(\cos x)$ .

Những hàm này đều có dạng hàm hợp $f(g(x))$ với $f, g$ đều là các hàm cơ bản, có khai triển Taylor tại $x=0$ . Ngoài ra, $g(0)=0$ . Cụ thể:

– với ví dụ $(\cos x)^{\sin x}$ có

$f(x)=e^x, g(x)=\sin(x)\ln(\cos x)$ ;

– với ví dụ $\ln(\cos x)$ có

$f(x)=\ln(1+x), g(x)=\cos x-1$ .

Để khai triển thành chuỗi Taylor ta có thể theo cách tính các đạo hàm

$\dfrac{d^n}{dx^n}(f(g(x))), n=1, 2, \dots$ .

Tuy nhiên có thể nhìn thấy được sự khó khăn do công thức tính sẽ rất cồng kềnh khi $n$ lớn.

Câu hỏi: liệu có cách nào khác? liệu có sử dụng được khai triển của f và g?

Câu trả lời như sau.

Giả sử f, g có khai triển Taylor tại x=0 như sau

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k+o(x^n)$ ,

$g(x)=\sum\limits_{k=0}^m b_kx^k+o(x^m), b_0=0$ .

Để viết được khai triển Taylor tại x=0 của f(g(x)) ta cần chú ý:

+ khi $k>n$ thì $x^k=o(x^n)$ ,

+ nếu $h_1, h_2$ đều là $o(x^n)$ thì

$h_1+h_2=o(x^n), h_1h_2=o(x^{2n})$ .

Khi đó khai triển Taylor tại x=0 của f(g(x))

$\sum\limits_{k=0}^p c_kx^k+o(x^p)$

với

+) $c_0=a_0=f(0)$ ,

+) $c_1=a_1b_1$ ,

+) $c_2=a_1b_2+a_2b_1^2$ .

Câu hỏi: một cách tổng quát $c_k=$ ?

Ta có

$\sum\limits_{k=0}^p c_kx^k+o(x^p)=\sum\limits_{k=0}^na_k(\sum\limits_{j=1}^mb_jx^j+o(x^m))^k +o(x^n)$ .

Nói chung ta cần $m=n=p$ ! (Tại sao?) Tuy nhiên trong một số trường hợp:

+) $a_1=0$ thì $m\le p/2+1, n=p$ ,

+) $b_1=0, p=3$ thì $n=1, m=3$ , .v.v.

Để tiếp tục, ta lấy ví dụ cụ thể như sau:

Tính $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^3}(1-(\cos x)^{\sin x})$ .

Để tính giới hạn trên ta cần khai triển Taylor đến cấp 3 hàm

$(\cos x)^{\sin x}=e^{\sin(x)\ln(\cos x)}$ .

Trước hết ta khai triển Taylor đến cấp 3 các hàm:

+) $\sin x= x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$ ,

+) $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)$ ,

+) $\ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{6}+o(t^3)$

nên

$\ln(\cos x)=\ln(1+(\cos x-1))=\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)$

và

$\sin(x)\ln(\cos x)=\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)$ .

Như vậy ta chỉ cần khai triển Taylor đến cấp 1 hàm

$e^x=1+x+o(x)$

có

$(\cos x)^{\sin x}=1+\dfrac{x^3}{2}+o(x^3)$ .

Khi đó giới hạn cần tìm

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^3}(1-(\cos x)^{\sin x})=\dfrac{1}{2}$ .

Các bạn thử khai triển Taylor đến cấp 5 tại x=0 của

$(\cos x)^{\sin x}$ ?

Chia sẻ:

Facebook
X

Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Khai Triển Maclaurin E^x^2

Copyright © 2022 | Thiết Kế Truyền Hình Cáp Sông Thu