Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

Trang chủ » Khai Triển Maclaurin E^x^2 » Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

Có thể bạn quan tâm

Maths 4 Physics & more…

Blog Toán Cao Cấp (M4Ps)

Tìm

Search for: Đi
  • Author
  • Bài viết
  • Bài giảng
    • Giải tích 1
      • Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
      • Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
      • Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
      • Vô cùng bé (infinitesimal)
      • Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
      • Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
      • Khảo sát đường cong tham số
      • Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
      • Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
      • Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
      • Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
      • Chuỗi số dương (Infinitive Series)
      • Chuỗi Fourier
      • Chuỗi Fourier Sine và Cosine
    • Giải tích 2
      • Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
      • Giới hạn của hàm hai biến số
      • Đạo hàm riêng
      • Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
      • Đạo hàm của hàm hợp
      • Đạo hàm hàm số ẩn
      • Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
      • Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
      • Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
      • Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
      • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
      • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
      • Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
      • Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
      • Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
      • Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
      • Số phức (Complex Number)
    • Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
      • Tập hợp
      • Khái niệm về ma trận
      • Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
      • Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
      • Thuật toán tìm ma trận bậc thang
      • Định thức (Determinants)
      • Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
      • Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
      • Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
      • Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
      • Dạng toàn phương
    • Xác suất thống kê
      • Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
      • Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
      • Các định nghĩa của xác suất
      • Xác suất có điều kiện
      • Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
      • Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
      • Ước lượng tham số của tổng thể
      • Kiểm định giả thiết
    • Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐ Laplace)
      • Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu
  • Bài tập
  • Trắc nghiệm
  • Thảo luận
    • Thảo luận (tiếp theo)
    • Thảo luận chung (tt)
    • Thảo luận về giải tích
      • Thảo luận Giải tích – Trang 2
    • Thảo luận ĐSTT
      • Trang 2
      • Trang 3
    • Thảo luận XSTK
      • Trang 2
    • Thảo luận về tích phân bội
  • Đề thi
  • Ebooks
    • Maths Ebooks
      • Giải tích – Đại số
      • XSTK – Phương pháp tính
      • Hàm phức – PDEs
      • Tài liệu khác
    • Giáo dục – Khoa học
    • Thư giãn
  • Một thời để nhớ
  • Softwares
  • Links
  • Sitemap
Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:

1. e^x = \sum\limits_{k=0}^{n}{ \dfrac{x^k}{k!}}+ \dfrac{e^{{\theta}x}x^{n+1}}{(n+1)!} ; (0 \le \theta \le 1)

Thật vậy: ta có: f(x) = e^x ; f^{(k)}(x) = e^x ; \forall k = 1, 2, ....

Do đó: f(0) = 1 ; f^{(k)}(0) = 1; k = 1,2, ..., n

Nên:

e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + ... + \dfrac{x^n}{n!} + \dfrac{e^{{\theta}x}}{(n+1)!}x^{n+1}

2. {\sin}x = x - { \dfrac{x^3}{3!}} + { \dfrac{x^5}{5!}} + ... + (-1)^{m-1}{ \dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}} + 0(x^{2m})

Ta có: f(x) = sinx \Rightarrow f(0) = 0

f'(x) = {\cos}x = {\sin}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f'(0) = 1

f''(x) = {\cos}\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f''(0) = 0

f^{(3)}(x) = {\cos}\left( x + 2.\dfrac{\pi}{2} \right) = {\sin}\left( x + 3.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(3)}(0) = -1

f^{(4)}(x) = {\sin}\left( x + 4.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(4)}(0) = 0

Theo quy nạp ta có:

f^{(2m)}(x) = {\sin}\left( x +2m.\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m)}(0) = sin(m{\pi}) = 0

f^{(2m+1)}(x) = {\sin}\left( x + (2m+1).\dfrac{\pi}{2} \right) \Rightarrow f^{(2m+1)}(0) = {\sin}\left( \dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = (-1)^m

Vậy:

sinx \approx x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - ... + (-1)^m\dfrac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}

Sai số:

R_{2m+1}(x) = \dfrac{f^{(2m+2)}({\theta}x)}{(2m+2)!}x^{2m+2} = \dfrac{sin({\theta}x+(m+1){\pi})}{(2m+2)!}x^{2m+2} \le \dfrac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}

3. {\cos}x = 1 - { \dfrac{x^2}{2!}} + { \dfrac{x^4}{4!}} + ... + (-1)^{m}{ \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}} + 0(x^{2m+1})

Tương tự như hàm sinx, ta có: f^{(k)}(x) = {\cos} \left( x + k.\dfrac{\pi}{2} \right)

Ta có: f^{(2m-1)}(0) = {\cos}\left( -\dfrac{\pi}{2} + m{\pi} \right) = 0

f^{(2m)}(0) = {\cos}(m{\pi}) = (-1)^m

Vậy:

{\cos}x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{4!} - ... + (-1)^m.\dfrac{x^{2m}}{(2m)!} + 0(x^{2m+1})

4. ln(1+x) = x - { \dfrac{x^2}{2}} + { \dfrac{x^3}{3}} - { \dfrac{x^4}{4}} + ... + (-1)^{n-1}{ \dfrac{x^n}{n}} + 0(x^n) (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)

Ta có:

– f(x) = ln(1+x) \Rightarrow f(0) = ln(1) = 0

– f'(x) = \dfrac{1}{1+x} \Rightarrow f'(0) = 1

– f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2} \Rightarrow f''(0) = -1

– f'''(x) = \dfrac{2(1+x)}{(1+x)^4} = \dfrac{2}{(1+x)^3} \Rightarrow f'''(0) = 2

– f^{(4)}(x) = \dfrac{-2.3}{(1+x)^4} \Rightarrow f^{(4)}(0) = - 3!

– f^{(5)}(x) = \dfrac{2.3.4}{(1+x)^5} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 4!

Từ đó ta có: f^{(k)}(x) = (-1)^{k-1}.\dfrac{(k-1)!}{(1+x)^k} \Rightarrow f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1}.(k-1)!

Vậy:

ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + ... + (-1)^{k-1}\dfrac{x^k}{k} +0(x^k)

Sai số:

R_n(x) = \dfrac{f^{(k+1)}({\theta}x)}{(k+1)!}x^{k+1} =\dfrac{(-1)^k.k!}{(1+{\theta}x)^{k+1}.(k+1)!}.x^{k+1} = \dfrac{(-1)^k}{(1+{\theta}x)^{k+1}}.\dfrac{x^{k+1}}{k+1}

Ta nhận thấy, sai số sẽ rất lớn khi |x| \ge 1 . Do đó, ta chỉ xét x \in (-1;1)

5.\begin{array}{r}(1+x)^{\alpha} = 1 + {\alpha}x + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)}{2!}}x^2 + ... + { \dfrac{{\alpha}({\alpha}-1)...({\alpha}-n+1)}{n!}}x^n + \\ 0(x^n) \\ \end{array} (-1 \rm{<} x \rm{<} 1)

Trưởng hợp đặc biệt:

– \dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 +... + (-1)^nx^n + 0(x^n)

– \sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} -\dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \dfrac{5x^4}{128} + \dfrac{7x^5}{256} - \dfrac{21x^6}{1024} + ....

Nhận xét:

-Từ công thức khai triển của sinx, cosx, ln(1+x) , \dfrac{1}{1+x} ta nhận thấy nếu f(x) = P_n(x) + 0(x^n) \Rightarrow f'(x) = P_n^{'}(x) + 0(x^{n-1}) .

– Từ 5 công thức khai triển trên, ta thấy nếu đạo hàm có tính chất truy hồi thì ta mới có thể tính đạo hàm cấp k một cách dễ dàng. Trong trường hợp hàm bất kỳ việc tìm khai triển theo công thức tổng quát sẽ khá khó khăn.

– Trong thực hành, thay vì ta đi tính các đạo hàm để tìm công thức khai triển Taylor – Maclaurin, thì ta có thể đổi biến hoặc biến đổi biểu thức về các dạng trên, hoặc áp dụng các tính chất sau:

Nếu f(x) \approx P_n(x) ; g(x) \approx Q_n(x) thì:

f(x){\pm}g(x) \approx P_n(x){\pm}Q_n(x)

f(x).g(x) \approx P_n(x).Q_n(x)

f'(x) \approx P_n^{'}(x)

\int f(x) dx \approx \int P_n(x) dx

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3 4

Thảo luận

191 bình luận về “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)”

  1. thầy giúp em khai triển Maclaurin của căn bậc 3(sin(x^3)) với ạ. Cảm ơn thầy

    ThíchThích

    Posted by Hoang Anh | 01/10/2017, 23:01 Reply to this comment

  2. khai triển maclaurin ln(x^2 +1) ?

    ThíchĐã thích bởi 1 người

    Posted by khanh | 14/12/2016, 18:06 Reply to this comment

  3. Gửi thầy,

    Em có chút ý kiến thế này, mong được thầy xem xét. Nếu có thể, thầy thêm 1 phần nói về ứng dụng của các công thức toán học trong các ngành kỹ thuật như khoa học máy tính, điện tử viễn thông… Em nghĩ như vậy bài blog sẽ hấp dẫn hơn 🙂

    ThíchThích

    Posted by Dũng | 06/12/2015, 22:03 Reply to this comment

  4. khai trien hàm sinx trong lân cận của pi/2 làm thế nào ạ giúp em với ạ

    ThíchThích

    Posted by phuongnhí | 19/01/2015, 21:51 Reply to this comment

  5. giải giúp mình câu này vs ạ, mình đag cần gấp. khai triển hàm sinx thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của pi/2

    ThíchThích

    Posted by kmno4nh4no3 | 19/01/2015, 21:29 Reply to this comment

  6. thầy ơi, em đang học PP tính. thầy giáo yêu cầu tụi em giải bài toán biểu diễn căn bậc n của 1 số thực ko âm bằng pp taylor mà em tìm trên mạng thì lại ko thấy có tài liệu gì? thầy có thể giúp em được ko ạ?

    ThíchThích

    Posted by Hảo Lưu | 05/12/2014, 21:03 Reply to this comment

  7. thưa thầy cho em hỏi khai triển hàm theo công thức taylor y=√x , x=1 thì làm thế nào?

    ThíchThích

    Posted by Nguyễn Phương Thảo | 05/12/2014, 12:50 Reply to this comment

  8. chào thầy! thầy cho em hỏi là bài tập này giải như thế nào ạ? Khai triển Taylor có điểm x0 =0, đến cấp 2n của biểu thức f(x) = 3x^2 + ln(1 +2x^2) ạ?? em cảm ơn thầy??

    ThíchThích

    Posted by Khánh | 01/12/2014, 20:30 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Đăng ký nhận tin

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Địa chỉ email:

Sign me up!

Tham gia cùng 2 789 người đăng ký khác

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Bài “hot”

  • Khai triển Taylor - Maclaurin (Taylor expansion)
  • Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  • Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  • Dạng toàn phương
  • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  • Đạo hàm hàm số ẩn
  • Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  • Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  • Vô cùng bé (infinitesimal)

Bài viết chuyên đề

  • Bài giảng (20)
    • Video bài giảng (4)
  • Bài viết (192)
    • Bài viết về ICT (59)
      • Cảnh báo virus (1)
      • giaovien.net (6)
      • Mẹo Wordpress (13)
      • Thủ thuật Gmail (7)
    • Giáo dục (29)
    • Khoa học (51)
    • Thư giãn (45)
  • Bí quyết học tập (20)
  • Cuộc sống sinh viên (26)
  • Hình ảnh và Tin tức (32)
  • Làm theo lời Bác (9)
  • Life's Art (61)
  • nguyên tắc sáng tạo (27)
  • Toán học (104)
    • Lịch sử Toán học (13)
    • Liên kết Toán học (6)
    • Luyện thi Đại học (7)
      • Đề thi thử (4)
    • Vẻ đẹp Toán học (8)
    • Đố vui (36)

Maths 4 Physics & more…

Tạo một blog miễn phí với WordPress.com.

Trang này sử dụng cookie. Tìm hiểu cách kiểm soát ở trong: Chính Sách Cookie
  • Theo dõi Đã theo dõi
    • Maths 4 Physics & more...
      • Đã có 934 người theo dõi Theo dõi ngay
    • Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
    • Maths 4 Physics & more...
    • Tùy biến
    • Theo dõi Đã theo dõi
    • Đăng ký
    • Đăng nhập
    • URL rút gọn
    • Báo cáo nội dung
    • Xem toàn bộ bài viết
    • Quản lý theo dõi
    • Ẩn menu
%d Tạo trang giống vầy với WordPress.comHãy bắt đầu

Từ khóa » Khai Triển Maclaurin E^x^2