Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion) | Toán Cho Vật Lý

Có thể bạn quan tâm

3. Ứng dụng:

3.1 Viết khai triển Taylor hoặc Maclaurin của một hàm số:

Cách 1: Dủng công thức tổng quát, tính đạo hàm của hàm số f tại điểm $x = x_0$ hoặc $x = 0$ (Maclaurin) đến đạo hàm cấp n, rồi áp dụng công thức.

Cách 2: Dùng tính chất, hoặc đổi biến số thích hợp để đưa về những dạng đã có công thức khai triển.

Ví dụ 1: Viết khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = ln(e^x + 1)$ đến số hạng cấp 5.

Ở đây, dù hàm số f(x) có dạng $ln(1+e^x)$ nhưng ta không thể áp dụng công thức khai triển của $ln(1+u)$ được vì công thức khai triển của $ln(1+u)$ chỉ áp dụng trong lân cận của $u = 0$ trong khi $e^x \to 1$

Vậy ta chỉ có thể tính đạo hàm của hàm số đến cấp 5.

Ta có:

– $f'(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1} = 1 - \dfrac{1}{e^x+1}$

– $f''(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} = \dfrac{1}{e^x+1} - \dfrac{1}{(e^x+1)^2}$

– $f'''(x) = -\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} + \dfrac{2e^x}{(e^x+1)^3} = -\dfrac{1}{e^x+1} + \dfrac{3}{(e^x+1)^2} - \dfrac{2}{(e^x+1)^3}$

– $f^{(4)}(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} - \dfrac{6e^x}{(e^x+1)^3} + \dfrac{6e^x}{(e^x+1)^4}$

$= \dfrac{1}{e^x+1} - \dfrac{7}{(e^x+1)^2} + \dfrac{12}{(e^x+1)^3} - \dfrac{6}{(e^x+1)^4}$

– $f^{(5)}(x) = -\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} + \dfrac{14e^x}{(e^x+1)^3} - \dfrac{36e^x}{(e^x+1)^4} + \dfrac{24e^x}{(e^x+1)^5}$

Vậy:

$f(0) = ln2 ; f'(0) = \dfrac{1}{2} ; f''(0) = \dfrac{1}{4} ; f'''(0) = 0 ; f^{(4)}(0) = - \dfrac{1}{8} ; f^{(5)}(0) = 0$

Do đó:

$ln(1+e^x) = ln2 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8} - \dfrac{x^4}{192} + 0(x^5)$

Ví dụ 2: Khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = ln(cosx) ; x\in \left( -\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)$ đến số hạng $x^6$

Cách 1: Ta có:

$ln(cosx) = ln{\sqrt{1-sin^2x}} = \dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x)$

Khi $x =0$ thì $sin^2x = 0$ nên ta có thể áp dụng công thức khai triển của $ln(1+u)$

Khi đó:

$ln(1+u) = u - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{3} - \dfrac{u^4}{4} + \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{u^6}{6}$

Do đó:

$\dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x) = -\dfrac{sin^2x}{2} - \dfrac{sin^4x}{4} - \dfrac{sin^6x}{6} + 0(sin^6x)$ (a)

(d0 bậc thấp nhất của sinx là x nên $u^4 = sin^8x$ có bậc vượt quá 6)

Mà:

$\begin{array}{ll} sin^2x & = \left( x -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} \right)^2 +0(x^6) = x^2 + \dfrac{x^6}{36} - \dfrac{2x^4}{6} + \dfrac{2x^6}{120} + 0(x^6) \\ & = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \dfrac{2x^6}{45} + 0(x^6) \\ \end{array}$ (b)

$sin^4x = \left( x -\dfrac{x^3}{6} \right)^4 + 0(x^6) = x^4 - 4x^3.\dfrac{x^3}{6} + 0(x^6) = x^4 - \dfrac{2x^6}{3} + 0(x^6)$ (c)

$sin^6x = x^6 + 0(x^6)$ (d)

Thế (b), (c), (d) vào (a), ta có:

$ln(cosx) = \dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} + 0(x^6)$

Cách 2: Ta có:

$cosx = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + 0(x^7)$

do đó:

$ln(cosx) = ln \left( 1 + \left( - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7) \right) \right)$

Ta đặt: $X = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7)$

Khi đó: bậc thấp nhất của X là bậc 2.

Và: $ln(1+X) = X - \dfrac{X^2}{2} + \dfrac{X^3}{3} + 0(X^3)$ (1) (vì bậc thấp nhất của $X^4$ là bậc 8 vượt quá bậc 6)

Ta lại có:

$X = - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7)$ (2)

$X^2 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} -\dfrac{x^6}{720} +0(x^7) \right)^2 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^2 = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^6}{24}$ (3)

$X^3 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} +0(x^7) \right)^3 = \left( -\dfrac{x^2}{2} \right)^3 = -\dfrac{x^6}{8}$ (4)

$0(X^3) = 0(x^6)$ (5)

Thế (2), (3), (4), (5) vào (1) ta có:

$ln(cosx) = ln(1+X) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} + 0(x^6)$ (6)

Nhận xét:

Nếu lấy đạo hàm 2 vế của (6) ta có:

$(ln(cosx))' = \left( -\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} \right)^{'}$

$\Rightarrow \dfrac{-sinx}{cosx} = -x - \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2x^5}{15} + 0(x^5)$

Nghĩa là:

$tanx = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + 0(x^5)$

Nghĩa là ta có công thức khai triển Maclaurin của hàm $f(x) = tanx$ đến bậc 5.

Ví dụ 3: Tìm khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = \dfrac{e^x}{cosx}$ đến bậc 4. Suy ra $f^{(4)}(0)$

Giả sử $\dfrac{e^x}{cosx} = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + 0(x^4)$ (*)

Ta cần xác định các hệ số a, b, c, d, e.

Từ (*) ta có: $e^x = (a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + 0(x^4)).cosx$ (**)

Khai triển 2 vế của (**) đến bậc 4 ta có:

$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + 0(x^4) = (a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4) \left( 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + 0(x^4) \right)$

Ngắt bỏ các số hạng có lũy thừa lớn hơn 4, ta có:

$1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} = a - \dfrac{ax^2}{2} + \dfrac{ax^4}{24} + bx - \dfrac{bx^3}{2} + cx^2 - \dfrac{cx^4}{2} + dx^3 + cx^4$

Hay:

$1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} = a + bx + \left( c -\dfrac{a}{2} \right)x^2 + \left( d-\dfrac{b}{2} \right)x^3 + \left( \dfrac{a}{24} - \dfrac{c}{2} + e \right) x^4$