Khai Triển Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

Có thể bạn quan tâm

3. Ứng dụng:

3.1 Viết khai triển Taylor hoặc Maclaurin của một hàm số:

Cách 1: Dủng công thức tổng quát, tính đạo hàm của hàm số f tại điểm $x = x_0$ hoặc $x = 0$ (Maclaurin) đến đạo hàm cấp n, rồi áp dụng công thức.

Cách 2: Dùng tính chất, hoặc đổi biến số thích hợp để đưa về những dạng đã có công thức khai triển.

Ví dụ 1: Viết khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = ln(e^x + 1)$ đến số hạng cấp 5.

Ở đây, dù hàm số f(x) có dạng $ln(1+e^x)$ nhưng ta không thể áp dụng công thức khai triển của $ln(1+u)$ được vì công thức khai triển của $ln(1+u)$ chỉ áp dụng trong lân cận của $u = 0$ trong khi $e^x \to 1$

Vậy ta chỉ có thể tính đạo hàm của hàm số đến cấp 5.

Ta có:

– $f'(x) = \dfrac{e^x}{e^x+1} = 1 - \dfrac{1}{e^x+1}$

– $f''(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} = \dfrac{1}{e^x+1} - \dfrac{1}{(e^x+1)^2}$

– $f'''(x) = -\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} + \dfrac{2e^x}{(e^x+1)^3} = -\dfrac{1}{e^x+1} + \dfrac{3}{(e^x+1)^2} - \dfrac{2}{(e^x+1)^3}$

– $f^{(4)}(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} - \dfrac{6e^x}{(e^x+1)^3} + \dfrac{6e^x}{(e^x+1)^4}$

$= \dfrac{1}{e^x+1} - \dfrac{7}{(e^x+1)^2} + \dfrac{12}{(e^x+1)^3} - \dfrac{6}{(e^x+1)^4}$

– $f^{(5)}(x) = -\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} + \dfrac{14e^x}{(e^x+1)^3} - \dfrac{36e^x}{(e^x+1)^4} + \dfrac{24e^x}{(e^x+1)^5}$

Vậy:

$f(0) = ln2 ; f'(0) = \dfrac{1}{2} ; f''(0) = \dfrac{1}{4} ; f'''(0) = 0 ; f^{(4)}(0) = - \dfrac{1}{8} ; f^{(5)}(0) = 0$

Do đó:

$ln(1+e^x) = ln2 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8} - \dfrac{x^4}{192} + 0(x^5)$

Ví dụ 2: Khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = ln(cosx) ; x\in \left( -\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)$ đến số hạng $x^6$

Cách 1: Ta có:

$ln(cosx) = ln{\sqrt{1-sin^2x}} = \dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x)$

Khi $x =0$ thì $sin^2x = 0$ nên ta có thể áp dụng công thức khai triển của $ln(1+u)$

Khi đó:

$ln(1+u) = u - \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{3} - \dfrac{u^4}{4} + \dfrac{u^5}{5} - \dfrac{u^6}{6}$

Do đó:

$\dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x) = -\dfrac{sin^2x}{2} - \dfrac{sin^4x}{4} - \dfrac{sin^6x}{6} + 0(sin^6x)$ (a)

(d0 bậc thấp nhất của sinx là x nên $u^4 = sin^8x$ có bậc vượt quá 6)

Mà:

$\begin{array}{ll} sin^2x & = \left( x -\dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} \right)^2 +0(x^6) = x^2 + \dfrac{x^6}{36} - \dfrac{2x^4}{6} + \dfrac{2x^6}{120} + 0(x^6) \\ & = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \dfrac{2x^6}{45} + 0(x^6) \\ \end{array}$ (b)

$sin^4x = \left( x -\dfrac{x^3}{6} \right)^4 + 0(x^6) = x^4 - 4x^3.\dfrac{x^3}{6} + 0(x^6) = x^4 - \dfrac{2x^6}{3} + 0(x^6)$ (c)

$sin^6x = x^6 + 0(x^6)$ (d)

Thế (b), (c), (d) vào (a), ta có:

$ln(cosx) = \dfrac{1}{2}ln(1-sin^2x) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} + 0(x^6)$

Cách 2: Ta có:

$cosx = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + 0(x^7)$

do đó:

$ln(cosx) = ln \left( 1 + \left( - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7) \right) \right)$

Ta đặt: $X = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7)$

Khi đó: bậc thấp nhất của X là bậc 2.

Và: $ln(1+X) = X - \dfrac{X^2}{2} + \dfrac{X^3}{3} + 0(X^3)$ (1) (vì bậc thấp nhất của $X^4$ là bậc 8 vượt quá bậc 6)

Ta lại có:

$X = - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} + 0(x^7)$ (2)

$X^2 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} -\dfrac{x^6}{720} +0(x^7) \right)^2 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \right)^2 = \dfrac{x^4}{4} - \dfrac{x^6}{24}$ (3)

$X^3 = \left( -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^6}{720} +0(x^7) \right)^3 = \left( -\dfrac{x^2}{2} \right)^3 = -\dfrac{x^6}{8}$ (4)

$0(X^3) = 0(x^6)$ (5)

Thế (2), (3), (4), (5) vào (1) ta có:

$ln(cosx) = ln(1+X) = -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} + 0(x^6)$ (6)

Nhận xét:

Nếu lấy đạo hàm 2 vế của (6) ta có:

$(ln(cosx))' = \left( -\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^6}{45} \right)^{'}$

$\Rightarrow \dfrac{-sinx}{cosx} = -x - \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2x^5}{15} + 0(x^5)$

Nghĩa là:

$tanx = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + 0(x^5)$

Nghĩa là ta có công thức khai triển Maclaurin của hàm $f(x) = tanx$ đến bậc 5.

Ví dụ 3: Tìm khai triển Maclaurin của hàm số $f(x) = \dfrac{e^x}{cosx}$ đến bậc 4. Suy ra $f^{(4)}(0)$

Giả sử $\dfrac{e^x}{cosx} = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + 0(x^4)$ (*)

Ta cần xác định các hệ số a, b, c, d, e.

Từ (*) ta có: $e^x = (a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + 0(x^4)).cosx$ (**)

Khai triển 2 vế của (**) đến bậc 4 ta có:

$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + 0(x^4) = (a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4) \left( 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + 0(x^4) \right)$

Ngắt bỏ các số hạng có lũy thừa lớn hơn 4, ta có:

$1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} = a - \dfrac{ax^2}{2} + \dfrac{ax^4}{24} + bx - \dfrac{bx^3}{2} + cx^2 - \dfrac{cx^4}{2} + dx^3 + cx^4$

Hay:

$1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} = a + bx + \left( c -\dfrac{a}{2} \right)x^2 + \left( d-\dfrac{b}{2} \right)x^3 + \left( \dfrac{a}{24} - \dfrac{c}{2} + e \right) x^4$

Đồng nhất hệ số 2 vế ta có:

$a = 1; b = 1; c = 1; d = \dfrac{2}{3} ; e = \dfrac{1}{2}$

Vậy:

$\dfrac{e^x}{cosx} = 1 + x + x^2 + \dfrac{2x^3}{3} + \dfrac{x^4}{2} + 0(x^4)$

Theo công thức khai triển thì hệ số của $x^n$ trong khai triển là: $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$

Vậy $f^{(n)}(0)$ liên quan đến hệ số của $x^n$ . Do đó: $\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow f^{(4)}(0) = 12$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3 4

Thảo luận

191 bình luận về “Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)”

thầy giúp em khai triển Maclaurin của căn bậc 3(sin(x^3)) với ạ. Cảm ơn thầy

ThíchThích
Được đăng bởi Hoang Anh | 01/10/2017, 23:01 Reply to this comment
khai triển maclaurin ln(x^2 +1) ?

ThíchĐã thích bởi 1 người
Được đăng bởi khanh | 14/12/2016, 18:06 Reply to this comment
Gửi thầy,

Em có chút ý kiến thế này, mong được thầy xem xét. Nếu có thể, thầy thêm 1 phần nói về ứng dụng của các công thức toán học trong các ngành kỹ thuật như khoa học máy tính, điện tử viễn thông… Em nghĩ như vậy bài blog sẽ hấp dẫn hơn 🙂

ThíchThích
Được đăng bởi Dũng | 06/12/2015, 22:03 Reply to this comment
khai trien hàm sinx trong lân cận của pi/2 làm thế nào ạ giúp em với ạ

ThíchThích
Được đăng bởi phuongnhí | 19/01/2015, 21:51 Reply to this comment
giải giúp mình câu này vs ạ, mình đag cần gấp. khai triển hàm sinx thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của pi/2

ThíchThích
Được đăng bởi kmno4nh4no3 | 19/01/2015, 21:29 Reply to this comment
thầy ơi, em đang học PP tính. thầy giáo yêu cầu tụi em giải bài toán biểu diễn căn bậc n của 1 số thực ko âm bằng pp taylor mà em tìm trên mạng thì lại ko thấy có tài liệu gì? thầy có thể giúp em được ko ạ?

ThíchThích
Được đăng bởi Hảo Lưu | 05/12/2014, 21:03 Reply to this comment
thưa thầy cho em hỏi khai triển hàm theo công thức taylor y=√x , x=1 thì làm thế nào?

ThíchThích
Được đăng bởi Nguyễn Phương Thảo | 05/12/2014, 12:50 Reply to this comment
chào thầy! thầy cho em hỏi là bài tập này giải như thế nào ạ? Khai triển Taylor có điểm x0 =0, đến cấp 2n của biểu thức f(x) = 3x^2 + ln(1 +2x^2) ạ?? em cảm ơn thầy??

ThíchThích
Được đăng bởi Khánh | 01/12/2014, 20:30 Reply to this comment