Khoa Học Công Nghệ Vượt Trội Của Hy Lạp Cổ đại đánh Bại Hoàn Toàn ...

Trong lịch sử toán học, rất khó tìm ra được nhân vật có thể so sánh với những trí tuệ vĩ đại thời Hy Lạp Cổ Đại. Tại thời điểm trước khi có sổ ghi — thậm chí trước cả khi số không được phát minh ra ấy — nhiều người Hy Lạp có tầm nhìn đã muốn tính toán được nhiều đặc tính của thế giới. Thành tựu của họ vẫn khiến chúng ta ngạc nhiên cho tới ngày nay.

Tôi sẽ tập trung vào hai tính toán liều lĩnh từ hai nhân vật vĩ đại từng khiến cả thế giới phải vui mừng vì suy nghĩ của mình. Cả hai đều sống vào thế kỷ thứ 3 TCN, và dù chẳng ai sống tại địa phận Hy Lạp ngày nay (một người sinh ở Libya và làm việc tại Ai Cập, người kia đến từ Sicily), song họ đều ảnh hưởng bởi tư duy và học thuật của Hy Lạp. Cả hai đều có lòng can đảm giúp họ đạt tới những điều không tưởng và đều có trí tuệ vô song để có thể đạt được thành tựu của mình.

Eratosthenes xứ Cyrene

Chắc Eratosthenes không phải là người quyến rũ nhất trong đám, nhưng trời ơi, ông ta thông minh biết chừng nào. Thực tế thì, từ “thông minh” là không đủ để lột tả hết Eratosthenes đâu. Sinh ra ở Cyrene, tại bờ biển phía bắc của châu Phi, tài năng của Eratosthenes cuối cùng đã giúp ông tới được Athens. Tại đó, đầu tiên ông đã theo Zeno xứ Citium và Aristo xứ Chios học triết học. Trong khoảng thời gian này, ông đã bắt đầu viết những phân tích toán học về các tiên đề của Plato và ngoài ra còn làm thơ nữa.

Eratosthenes xứ Cyrene

Thơ của ông hay tới mức người ta phải chú ý, và theo thời gian danh tiếng truyền qua cả biển lớn đến tai các Pharaoh ở Ai Cập. Ptolemy III Euergetes đã mời ông làm Thủ thư Trưởng của Thư viện Alexandria đấy. Với cương vị đó, ông đã mở rộng được lượng kiến thức vốn đã vô song của thư viện này rồi. Ông cũng phát minh ra được một hệ thống chỉ mục thời đầu, nhờ vậy người ta có thể dễ dàng tìm ra các cuộn giấy trong hệ thống lưu trữ đồ sộ của thư viện.

Rõ ràng, trong thời gian làm thủ thư của mình, ông đã hoàn thành được nhiều thứ hơn là chỉ sao chép và đánh dấu các văn bản. Nhận thấy rằng mình được tiếp cận với nhiều kiến thức hơn bất kỳ ai trên Trái Đất lúc bấy giờ, Eratosthenes hiểu được đặc ân của mình, và lúc ấy, ông đã để trí tò mò được tự do thu thập nhiều tri thức nhất với khả năng tiếp thu của mình.

Những nghiên cứu của ông đã tạo ra được nhiều kết quả đấy. Song cũng như các học giả tài năng khác, ông luôn thấy rằng có quá nhiều câu hỏi mình chẳng thể trả lời nổi với vốn kiến thức ấy. Đặc biệt, có một câu hỏi đã khiến ông phải bỏ ra nỗ lực tính toán rất táo bạo và cũng cực kỳ tinh xảo. Ấy là một câu hỏi mà ngay cả chính bạn cũng chẳng thể nào nghĩ ra nổi nhiều thế kỷ sau khi ông mất đâu, hỡi bạn đọc sở hữu được cả máy tính, sách giáo khoa cùng các khái niệm toán học phức tạp.

Trái Đất này lớn cỡ nào?

Cứ dành ra vài giây để nghĩ xem liệu một người giỏi giang như bạn sẽ trả lời câu hỏi này kiểu gì nếu như bạn bị cách ly khỏi bất cứ phương tiện nào có thể cho bạn câu trả lời ngay tức thì. Nếu bạn phải tính toán kích thước của trái đất mà không được phép tra ở đâu, liệu bạn tự tin rằng mình có thể làm được việc đó tới mức nào, ngay cả khi có được những công nghệ hiện đại. Bạn sẽ chứng minh kết quả kiểu gì đây?

Giờ thì, hãy tưởng tượng rằng bạn đang sống trong một thế giới không có internet, không có máy tính, bút chì, giấy, và còn chẳng có số không hay ai đó từng thực hiện phép tính này trước đó, và chắc bạn sẽ hiểu được phần nào tình cảnh của Eratosthenes đấy. Liệu bạn có biết mình phải bắt đầu từ đâu hay bằng cách nào không nhỉ?

Trước khi kể về việc ông đã làm, có lẽ tôi nên dành chút thời gian để nói rõ vài thứ. Học sinh Mỹ hay được dạy rằng vào thời của Columbus, ai cũng tin rằng trái đất phẳng. Đó là một lời nói dối nhé, tôi chưa tìm được từ nào hay hơn để diễn tả. Người ta đã hiểu được rằng trái đất có hình cầu khá lâu trước Eratosthenes rồi, và vào thời của ông, mọi người Hy Lạp được giáo dục đều nhận thức được về trái đất hình cầu ấy. Điều này là rất quan trọng nếu chúng ta định kiểm chứng một cách cẩn thận về tính toán chu vi trái đất ông thực hiện.

Thật khó để nói xem chính xác thì quá trình này bắt đầu thế nào, nhưng Eratosthenes đã quyết rằng sẽ tự mình thực hiện phép tính táo bạo đến không tưởng ấy. Chỉ có một thông tin duy nhất mà ông có được trong lúc nghiên cứu tại thư viện, và ông đã rất sáng suốt khi nhận ra rằng đó là thứ mà mình đang kiếm tìm.

Eratosthanes đã đọc được câu chuyện ai đó từng đi qua thành phố Syene, miền nam Ai Cập (cách một đoạn ngắn về phía nam thành phố Aswan ngày nay. Giờ đây vị trí của Syene chính là Hồ Nasser do Đập Aswan tạo nên để cung cấp thủy điện cho Ai Cập). Chuyện kể rằng có một cái giếng rất sâu tại Syene cứ đúng vào trưa ngày Hạ Chí, mặt trời sẽ chiếu thẳng xuống đáy mà không tạo nên chút bóng nào.

Có lẽ điều này khá bình thường với bạn nhỉ, nhưng Eratosthenes đã nhận ra được thông tin khá tinh vi ẩn chứa trong đó đấy. Điều này có nghĩa là, vào trưa ngày Hạ Chí, mặt trời sẽ ở vị trí thẳng đứng tại thành phố Syene, tức là Syene phải nằm ngay trên Chí tuyến Cự Giải (TN: Chí tuyến bắc là một trong năm vĩ tuyến chính để đánh dấu bản đồ Trái Đất. Đường này song song với đường xích đạo và nằm ở vĩ tuyến 23° 26' 22" bắc). Từ đó, tất cả những gì ta cần để tính được chu vi của trái đất ấy là sự kiên nhẫn cùng một chút kiến thức toán học mà thôi.

Những người không biết tiếng Hy Lạp thường dành cả cuộc đời vui vẻ của mình mà không biết rằng từ “hình học” có nghĩa là “đo đạc trái đất”, và chính Eratosthenes là người đầu tiên có hoàn thành được mục tiêu kia. Ông đặt làm một cây sào bằng gỗ thật dài, cực kỳ thẳng và có thể đo chính xác được chiều dài. Người ta dựng cây sào tại Alexandria theo phương thẳng đứng nhất với những công cụ thời đó có được. Giờ thì ông chỉ cần chờ mà thôi.

Vào ngày hạ chí, ông đã chuẩn bị sẵn những bậc thầy về đo lường để chờ mặt trời lên đến đỉnh. Vào đúng trưa, người ta đo chiều dài của cái bóng do chiếc sào tạo nên. Những độc giả hiểu biết về toán học có lẽ sẽ tự mình tìm ra phần còn lại nhỉ, nhưng tôi rất vui khi được giải thích cho tất cả mọi người.

Chiều dài của cây sào (ông có biết) và chiều dài bóng (mới đo được xong) cho ta hai cạnh của một tam giác vuông. Từ đấy, áp dụng các quy tắc lượng giác do Pythagoras và những người theo sau phổ cập, Eratosthenes đã tính được góc mà mặt trời cùng lúc đang chiếu thẳng đứng xuống Syene tạo với Alexandria, và từ đó tính được góc ở tâm trái đất tạo bởi hai thành phố.

Khi đã tính được cung tròn giữa Alexandria và Syene nếu đứng ở tâm Trái Đất rồi, Eratosthenes chỉ còn cần khoảng cách giữa hai thành phố để suy được ra chu vi trái đất mà thôi. Tới chỗ này, ông lại quá may mắn đó. Dù khá uốn lượn, khúc khuỷu và nhiều thác, nhưng Sông Nile (đi qua cả hai thành phố) lại chạy theo một con đường gần như theo chiều dọc suốt Ai Cập đấy. Nhìn tổng thể, tuyến đường nam-đến-bắc của nó thật là khó tin. Hơn nữa, là dòng sông có giao thương sầm uất nhất trên thế giới (vào thời điểm đó), luôn luôn có nhiều tài liệu được cập nhật thường xuyên về khoảng cách giữa những thương cảng lớn.

Và Eratosthenes trở thành người tổng hợp tri thức vĩ đại nhất trên trái đất, đặc biệt là ở Ai Cập đấy.

Và chuyện là, Eratosthenes chỉ sử dụng những kiến thức mà ông đọc được cùng những hiểu biết về toán học với một chút tư duy chớp nhoáng đã tính ra được chu vi của cả hành tinh này mười bảy thế kỷ trước khi Columbus đưa ra được kết quả tương tự và tin rằng ông đã đặt chân được tới Ấn Độ trong khi thực ra lại đang ở Cộng Hòa Dominica.

Bằng những phép tính hiện đại, tính toán của Eratosthenes sai lệch khoảng 66 km, gần bằng khoảng cách từ San Jose đến San Francisco.

Vòng tròn trên có đường kính là 66 km

Bây giờ, nếu bạn có hỏi tôi thì, chuyện này khá táo bạo đấy chứ. Việc dám thực hiện phép tính chưa ai thử trước đó và có được kết quả rất hoàn hảo bằng những phương tiện cực kỳ hạn chế quả thực là một minh chứng cho sự khôn khéo trong tư duy của con người.

Nhưng Eratosthenes không hề cô đơn đâu, nhân vật trong phần tiếp theo có lẽ còn vượt trội hơn đấy. Ta hãy tiếp tục nào.

Archimedes xứ Syracuse

Giờ thì, khi nói tới những người làm khoa học / toán học siêu ngầu, có lẽ ít ai sánh được với Archimedes. Tài năng của ông xuất sắc đến độ giờ đây người ta vẫn còn nghi hoặc rằng không biết liệu có ai có thể thăng hoa như ông vẫn làm hằng ngày hay không.

Archimedes xứ Syracuse

Trong vô số các thành tựu không được nhắc đến trong câu trả lời này của ông, bạn sẽ bắt gặp:

+ Một chiếc máy bơm nước xịn sò vẫn mang tên ông (và theo tài liệu, nó được dùng để bởm nước từ trong một chiếc tàu chiến cũng do ông phát minh, vô tình trở thành chiếc lớn nhất trong Thời Kỳ Cổ Đại).

+ Lợi dụng những tấm gương để đốt cháy tàu địch. Hai mươi ba thế kỷ sau vẫn mang cái tên khoa học viễn tưởng khó tin là “Tia Nhiệt Archimedes.”

+ Tìm ra cách để tính toán khối lượng riêng của vật bằng cách cách đo lượng nước bị đẩy ra với khối lượng của nó, giờ đây mang tên gọi lực đẩy Archimedes (ông khám phá ra nguyên lý này trong lúc đang ngâm mình trong bồn tắm, và từ đó dẫn đến tiếng kêu nổi tiếng của mình “Eureka!” (Hoặc chính xác hơn là, “εὕρηκα,” tức là, “Tui tìm ra rùi”) và trần truồng chạy khắp căn nhà chưa chiếc bồn tắm đã không bao giờ còn xuất hiện bóng hình hân hoan của Archimedes nữa).

Dù tất cả những khám phá đó đều rất xứng đáng được đề cập, song chúng sẽ là đề tài cho một ngày khác. Giờ chúng ta đang tìm kiếm một thứ gì đó táo bạo hơn so với việc chạy trần truồng quanh trường, bơm nước ra khỏi tàu chiến khổng lồ hay đốt cháy thuyền địch mà chỉ dùng gương với mặt trời.

Tôi đã nói rồi đấy, bằng tất cả sự thông minh cùng tầm nhìn của mình, các nhà toán học thời kỳ Hy Lạp Hóa (Hellenistic) đã làm việc với công cụ tầm thường hơn nhiều so với mấy món tôi vẫn đưa cho các học sinh lớp hai của mình mỗi ngày. Thực sự thì, mỗi ngày tôi dạy các giá trị hàng chục, hàng trăm cho một nhóm các nhóc bảy tám tuổi, những đứa có vẻ đã coi ấy là trò trẻ con sẵn rồi. Khái niệm số không cùng cách thức thần kỳ mà nó cho phép một nhóm mười chữ số biểu diễn vô hạn các giá trị số học luôn khiến ta phải trầm trồ tới tận ngày nay khi biết rằng ấy là thứ thật cơ bản, kể cả là đối với trẻ con.

Đó là lý do tôi luôn thích thú khi được kể với các em về Archimedes.

Thấy không, vào thời Archimedes, các con số không thể kéo dài mãi mãi như bây giờ đâu. Tất nhiên là, người ta nhận ra rằng không có “số lớn nhất”, nhưng ngay cả trong văn hóa toán học được những người như Euclid và Pythagoras truyền cảm hứng, họ đều đồng ý rằng có những con số quá lớn để có thể được thảo luận theo bất kỳ cách thức mang tính xây dựng nào. Hệ thống số Hy Lạp khác biệt rất nhiều so với những con số chúng ta đã biết và rất yêu thích ngày nay. Khái niệm số không và giá trị hàng (đơn vị, chục, trăm, vv) mà nó tạo nên sẽ chẳng được phát minh ở Ấn Độ mãi tới tận sáu thế kỷ sau cái chết của Archimedes, và người Ả Rập sẽ chẳng đưa nó đến châu Âu để nổi danh đến hàng thế kỷ sau đấy đâu.

Người Hy Lạp Cổ Xưa đã làm toán bằng những chữ cái kia. Dù dùng bảng chữ cái Hy Lạp song hệ thống số của họ có thể được chuyển đổi sang bảng chữ cái Latin của chúng ta mà không không cần phải giải thích quá nhiều. Để quy đổi về chữ cái của chúng ta thì, hệ thống của Hy Lạp sẽ dùng chín chữ cái đầu tiên (a, b, c, d, e, f, g, h, và i) để biểu diễn các con số từ 1–9. Và rồi các chữ cái tiếp đến có thể được sử dụng để biểu diễn các độ lớn kế tiếp. Từ đó j, k, l, m, n, o, p, q và r tương ứng sẽ biểu diễn từ 10-90. Khi các con số tăng lên, họ quyết định rằng đâu phải số nào trong chín chữ số hệ số khác không kia đều cần được biểu diễn. Nhưng đơn giản là họ vẫn phải đối mặt với chuyện hết chữ cái để dùng cơ mà.

Do vậy, hệ thống số Hy Lạp có cận trên đấy, và vẫn chưa có các ký tự thích hợp để biểu diễn các giá trị tương ứng đâu. Với Hy Lạp cùng một số lượng các nền văn hóa đương đại khác, số lớn nhất biểu diễn được là 10000. Họ gọi nó với cái tên là “μυριάς” (myrias - vạn). Bất kỳ số nào trên 10000 đều được coi là một vô hạn không đếm được, ấy là lý do trong tiếng Anh hiện đại ta vẫn dùng thuật ngữ “myriad” để chỉ khái niệm “không đánh số được”.

Một quan điểm phổ biến dưới thời Archimedes ấy là số hạt cát trên biển là thứ chẳng bao giờ có thể được biểu diễn toán học dưới bất kỳ mức độ chính xác nào. Đơn giản chỉ là “quá nhiều” mà thôi, và mọi người nên đồng ý để mặc kệ nó như vầy.

Và khi chuyện này xảy ra, Archimedes không thích thú lắm với việc ai đó bảo với ông rằng thứ gì nằm ngoài khả năng tính toán của ông. Ông không chỉ coi thường suy nghĩ cho rằng số hạt cát trên bãi biển nằm ngoài khả năng tính toán của mình mà còn quyết định rằng sẽ thực hiện hành động không tưởng và tiến trước rất, rất nhiều bước nữa.

“Các người nói rằng, số hạt cát trên bãi biển là quá lớn để có thể tính toán được à?” Archimedes cãi lại. “Cầm cốc rượu nho hộ tôi. Tôi sẽ tính coi cần bao nhiêu hạt cát để có thể lấp đầy cả vũ trụ này!”

Tất nhiên, ấy không phải những lời ông đã nói, cũng chẳng phải một bản dịch nào đâu, nhưng dẫu sao tôi vẫn cảm thấy rằng nó thể hiện được sự táo bạo cùng cực trong tư duy toán học của Archimedes. Ông không chỉ phủ nhận chuyện cát trên biển không đếm được mà còn chuyển thẳng tới vũ trụ mênh mông kia nữa (tất nhiên, ông hiểu mà).

Nhưng để làm được việc này, ông cần phải phát minh ra hệ đếm của mình trước đã.

Không dành quá nhiều thời gian đi sâu vào chi tiết phát minh của ông thì, Archimedes đã nhận ra rằng các hệ đếm thời của mình có thể được ngoại suy theo cấp lũy thừa tới mức bao quát được các con số theo một mức độ mà chúng ta vẫn còn chưa thể đặt tên được.

(Lưu ý: là một người có xu hướng theo chủ nghĩa thuần túy ở Hy Lạp thì, tôi sẽ dịch tất cả các thuật ngữ trong phần kế tiếp sang tiếng Anh cho bạn, hỡi người đọc thân mến. Đừng khách sáo nha.)

Archimedes nhận thấy rằng nếu vạn là số cao nhất thì mình có thể bắt đầu từ đó. Vạn — cách nói để chỉ 10000 — trở thành “số bậc một” của ông. Bạn có thể có một vạn, hai vạn, vv Tôi chỉ nghịch chút thôi. Bạn có thể đi tận tới một vạn vạn, chính là con số 10^8 đó, và cũng có thể coi là một sự thay thế cho vô hạn. Ông đặt tên con số này là “số bậc hai”. Và sau đấy mọi chuyện cứ thế tiếp diễn.

Hệ đếm này giúp Archimedes biểu diễn được các con số lên tới tận 10^80000000000000000 cơ đấy . Một chữ số một và tám mươi triệu tỷ tỷ số không đằng sau đó nhé.

Đó thực sự là một con số khổng lồ đấy, và việc Archimedes kéo dài được hệ đếm Hy Lạp từ 10000 lên đến gấp10^79 999 999 999 999 996 lần thực sự rất rất ngầu luôn đó, nếu bạn có hỏi ý tôi.

Nhưng đó vẫn chưa phải tất cả.

Giờ đây, sau khi đã phát minh ra được những con số cực kỳ lớn rồi, Archimedes phải tính toán được kích thước của vũ trụ và ngay cả trong việc làm nhỏ bé ấy, ông cũng đi trước thời đại tới mức người ta khó có thể hiểu được rằng ông đã chính xác đến mức không tưởng nào.

Nhưng đầu tiên thì, hãy dành chút thời gian xem xét coi từ “vũ trụ” có ý nghĩa thế nào với người Hy Lạp xưa nhé. Với Archimedes thì, “vũ trụ” bị hạn chế ở vùng không gian mà ngày nay ta vẫn gọi là hệ mặt trời. Nó có một hình cầu ở tâm, và khá nhiều hành tinh quay quanh hình cầu đó. Ngoài không gian đó là một đường biên hình cầu chứa đầy các vì sao. Khái niệm các thiên hà vẫn chưa có.

Thực ra, trong phần lớn thời gian của hai thiên niên kỷ kế tiếp đó, người ta tin rằng trái đất là trung tâm vũ trụ và thậm chí tới tận 1800 năm sau cái chết của Archimedes, giả thiết cho rằng điều ngược lại mới đúng vẫn còn là một thứ gì đấy mang tính cách mạng khiến những người dám nói ra điều đó phải chịu rất nhiều áp lực. Thuyết nhật tâm của Copernicus khi được xuất bản lần đầu vào mười tám thế kỷ sau cái chết của Archimedes đã gây nên sự tranh cãi rất lớn.

Không phải đối với Archimedes.

Thực tế thì, công trình của nhà thiên văn học thuyết nhật tâm đầu tiên, Aristarchus xứ Samos, người mà tôi đã đề cập trong câu trả lời này, đã bị thất lạc hoàn toàn, và chính nhờ công trình của Archimedes chúng ta mới biết tới tài năng của ông ấy. Nếu không có công trình đáng kinh ngạc đó, ngay cả những người có học vẫn khẳng định rằng Copernicus là người đầu tiên đề xuất ý tưởng trái đất quay quanh mặt trời, và sự thâm thúy trong tri thức của Hy Lạp này sẽ bị chôn vùi trong bóng tối lịch sử.

Dù không thể chắc chắn về lý do khiến cho Archimedes tin rằng trái đất quay quanh mặt trời, song rõ ràng ông đã chấp nhận mô hình thuyết nhật tâm của Aristarchus làm thứ để từ đó thực hiện tính toán của mình.

Sở hữu công cụ toán học mới để đếm được những con số rất lớn cùng mô hình thuyết nhật tâm của Aristarchus, Archimedes đã xác định được số hạt cát cần để lấp đầy vũ trụ (tức, hệ mặt trời) là khoảng10^64.

Tôi sẽ bình luận đôi chút về độ chính xác của kết quả nếu tôi có được phần nào tài năng để làm việc đấy. Tôi chỉ có thể nói được rằng, “đù, gã Archimedes kia thông minh vãi!”

Kết luận

Tôi luôn nghĩ rằng có thứ gì đó cực kỳ táo bạo liên quan đến những tiên đề của toán học. Những thuật ngữ như vô cùng, từng có lúc vượt lên trên tầm nhận thức của con người, giờ lại được ném vào lớp học giảng cho trẻ em như thể kẹo Halloween vậy. Thi thoảng, sẽ có học sinh hỏi tôi một câu rất hay, “thầy đếm được số lớn tới mức nào”? Câu trả lời ấy là, tôi không chỉ đếm được trong suốt phần đời còn lại của mình, mà còn là trong thời gian vũ trụ từng tồn tại mà còn không làm suy suyển danh sách những con số mình đã biết tên. Điều này đã khiến tôi gần như phát khóc.

Các con số là một chiều không gian khác đấy. Ta có thể viết chúng ta, nhưng sau một mức độ nào đấy, ta mất đi khả năng nhận thức về quy mô của chúng. Tôi có thể nói về 7,5 tỷ người trên trái đất này, nhưng con số đó với tôi thực sự chẳng có ý nghĩa gì hơn ý nghĩa của μυριάς đối với người Hy Lạp. Đến mức ấy rồi, đơn giản nó là “rất nhiều” mà thôi.

Từ đó tôi sẽ nói rằng một phần lớn các phép tính được học sinh trung học thực hiện trong quá trình học đều có mức độ táo bạo nhất định mà các em sẽ chẳng bao giờ nhận ra được đâu.

Đó là lý do tôi dạy các em về lịch sử toán học đấy. Đại số (Algebra) sẽ đẹp đẽ hơn nhiều khi bạn nhìn nó qua đôi mắt của Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, và khi bạn biết rằng cái tên của nó có ý nghĩa là: “Quá trình tính toán thông qua việc hoàn thiện và cân bằng những thứ hỏng hóc”. Tôi chắc rằng bản dịch của mình còn xa mới chuẩn, nhưng nó mang theo một phần vẻ đẹp mà nhiều học sinh học đại số không biết.

Nếu nói thật thì, tôi không nghĩ rằng những phép tính táo bạo nhất của toán học lại được thực hiện từ thế giới Cổ Đại đâu. Tôi thực sự tin rằng những tính toán thâm thúy nhất của nhân loại vẫn còn nằm ở phía trước kia. Tôi đủ tích cực để có thể tin rằng những gì ta chưa biết sẽ khiến những điều ta học được cho đến thời điểm này trở nên thật nhỏ bé biết bao.

Vì thế, cứ thận trọng là hơn bạn à. Tôi nghĩ rằng ta nên mở lòng với những Aristarchus của thời đại mình và dám tin vào những giả thuyết táo bạo của họ. Tôi cho rằng chúng ta nên đưa từ “không tính được” ra khỏi từ điển và tiếp tục nối dài con đường vinh quang đã đưa chúng ta đến với ngày hôm nay.

Sau cùng thì, chúng ta là con người mà. Có thể ta thật nhỏ bé, nhưng cứ nhìn vào những điều ta đã làm được mà xem!

Tham khảo

[1] Biography of Eratosthenes, Greek Mathematician and Geographer

[2] Zeno of Citium - Wikipedia

[3] Aristo of Chios - Wikipedia

[4] Tropic of Cancer - Wikipedia

[5] Eratosthenes | Biography, Discoveries, & Facts

[6] Eratosthenes - Wikipedia

[7] Draw a circle with a radius on a map

[8] Archimedes | Facts & Biography

[9] Archimedes' screw - Wikipedia

[10] myriad - Wiktionary

[11] Archimedes, Sand-Reckoner, ch. 4

Nguồn: Tom Robinson - Dịch: Vũ Cường.