Kĩ Thuật Chọn điểm Rơi Trong Bất đẳng Thức Am-gm

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM pdf 9 446 KB 0 61 4.4 ( 17 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan Giáo dục đào tọa ôn thi cao đẳng ôn thi đại học Bất đẳng thức

Nội dung

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY)  Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm.  Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn  Baát ñaúng thöùc Cauchy n Cho soá a1 a2  an n thöïc khoâng a1 , a2 ,..., an (n 2) aâm a1a2 ...an . Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi a1 n ta luoân a2  an . coù  Moät vaøi heä quaû quan troïng: (a1 a2  an ) 1 a1 1 1  a2 an n2 vôùi ai 0, i 1, n n2 vôùi ai 0, i 1, n a1 a2  an Cho 2n soá döông ( n Z , n 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta coù: 1 a1 n 1 1  a2 an (a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn ) n a1a2 ...an n b1b2 ...bn Bài toán mở đầu: VD1. Cho . Khi đó ta có hệ quả với . Ta có thì Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy. Nếu thay điều kiện bởi Bài 1: Cho a 3 . Tìm Min của S Chuyên đề BĐT cauchy hay a hay … thì lời giải bài toán như nào?? 1 a 1 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bình luận và lời giải : +Sai lầm : S 1 a a 2 a. 1 a 2 1 a 1 min S 2 +Nguyên nhân : min S 2 a điều này mâu thuẫn với giả thiết a 3 +Xác định điểm rơi : Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 10 min S a 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 3 a 1 nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số và phải bằng nhau. Với a=3 cho cặp số a 3 3 1 a 1 3 1 3 9 +Lời giải đúng : S a 1 a a 9 1 a Đẳng thức xãy ra Bài 2: Cho a 8a 9 a 2 a 1 . 9 a 8.3 9 10 3 MinS 10 3 3 2 .Tìm Min của S a 1 a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số Chuyên đề BĐT cauchy 2 Trường THPT chuyên Quang Trung a GV: Nguyễn Việt Hải 2 2 1 a2 1 4 1 4 8 +Sai lầm : S a 1 a2 a 8 1 a2 7a 8 2 a 1 . 8 a2 7a 8 2 8a 7a 8 2 8.2 7.2 8 9 4 9 4 Với a=2 thì min S +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 2 thì 2 8a 2 là đánh giá 4 sai “ Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số +Lời giải đúng : S a 1 a2 a 8 Đẳng thức xãy ra Bài 3: Cho a 8 1 a2 a 6a 8 33 a a 1 . . 8 8 a2 6.2 8 9 4 min S 9 4 2 a, b 0 .Tìm min của S a b 1 ab 1 ab +Sai lầm : Chuyên đề BĐT cauchy 3 Trường THPT chuyên Quang Trung S 1 ab ab 2 min S GV: Nguyễn Việt Hải 2 +Nguyên nhân : min S 2 ab 1 ab 1 ab a b 2 1 2 1 1 2 (vô lí ) +Lời giải đúng : Đặt 1 ab t t 1 ab 1 a b 2 4 2 điều này dẫn đến một bài toán mới Cho t 4 .Tìm min của S 1 t t Với t t 4 4 4 1 t 1 4 1 4 16 Ta có : S t Với t 1 t t 1 16 t 4 hay a b 15t 16 2 t 1 15.4 . 16 t 16 1 thì min S 2 17 4 17 4 Lời giải bài 3: Do Chuyên đề BĐT cauchy 4 Trường THPT chuyên Quang Trung t 4 a b GV: Nguyễn Việt Hải 1 2 nên S ab 1 ab ab 1 16ab 15 16ab a 1 2 Đẳng thức xãy ra b 2 ab. Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c 1 b2 a2 S 1 c2 b2 1 16ab 15 16 2 a b 2 17 4 min S 17 4 3 .Tìm min 2 1 a2 c2 +Sai lầm : S 33 a2 1 . b2 2 b 1 . c2 2 c 1 a2 36 2 a 2 . 1 b2 2 b2. 1 c2 2 c2. 1 a2 3.6 8 3 2 min S 3 2 +Nguyên nhân : min S 3 2 a b c 1 a 1 b 1 c 1 a b c 3 3 2 trái với giả thiết . +Xác định điểm rơi : Chuyên đề BĐT cauchy 5 Trường THPT chuyên Quang Trung a b a2 1 2 c b2 1 a2 1 4 1 c2 c2 1 b2 GV: Nguyễn Việt Hải 1 4 4 4 16 +Lời giải đúng : 1 1 ... 2 2 16 b16 b a2 S b2 1 1 ... 2 2 16 c16 c 16 17.17 a2 1616 b 32 3 17.17 Với a 16 17.17 1 16 a 5 b 5 c 5 b 8 c a2 1616 b 32 a b c 9 2b 16 a2 1616 b 32 17 17 a 16 b16 8 3 17 217 (2a.2b.2c) 1 thì min S 2 3 a 17.17 3 17 5 217 2a 2b 2c 3 15 17 b 16 c16 8 17 c 16 a 16 8 3 17 2 3 17 . 2 Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c S 1 1 ... 2 2 16 a 16  a c2 20 .Tìm min của 4 c Chuyên đề BĐT cauchy 6 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có : a 4 a 2 a. 4 a 4 3 a 4 4 a 3 b 9 b 2 b. 9 b 6 1 b 2 9 b 3 c 16 c 2 c. 16 c 1 16 c 4 c 8 3a 4 b 2 c 4 3 a 9 2b 4 c 8 2 (1) Mà a 2b 3c a 4 20 b 2 3c 4 5 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế được S 13 min S 13 Đẳng thức xãy ra a 2, b 3, c 4 * Baøi taäp töông töï: Bài 6: Cho a, b, c 0 ab 12; bc 8 Chứng minh rằng: S ( a b c) 2 1 ab 1 bc 1 ca 8 abc 121 2 Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của S a b Chuyên đề BĐT cauchy 2 1 b c 33 1 c a 7 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của T sin A sin B sin C 1 sin A 1 sin B 1 sin C Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của T 1 cos2 B sin 2 A 1 cos2 C sin 2 B x, y , z Baøi 10. Cho 1 1 x y 0 1 z 4 sin 2 C 1 cos2 A . Tìm GTLN cuûa P 1 2x y z 1 x 2y z x 1 . y 2z 5 1 18 x 1 z 10 9 Lời giải Sai lầm 1: 1 1 9 2x Ta coù P MaxP 1 y 1 z 1 1 9 x 1 2y 1 z 1 1 9 x 1 y 1 2z 1 y 10 9 Sai lầm 2: P 33 1 2 xyz 33 1 x.2 yz 33 1 xy 2 z 11 1 3 3 2x 1 y 1 z 11 1 33 x 1 2y 1 z 11 1 33 x 1 y 1 2z 10 9 Nguyeân nhaân sai laàm: Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm rôi. MaxP 10 9 2x y z 2y 2z x x z y 1 x 1 y 1 z (vn) , töùc laø khoâng toàn taïi ( x, y, z ) D : P 4 Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi x soá 2x 10 9 y z 4 neân taùch caùc 3 x x ra cho daáu baèng xaåy ra. Chuyên đề BĐT cauchy 8 Trường THPT chuyên Quang Trung 1 2x y z Caùch 1: Ta coù 1 16 P 2 x 1 y 1 z Caùch 2: Ta coù 2 x 4 1 1 1 1 . . . x x y z P 1 1 .4 16 x 1 y MaxP 1 khi x 1 x x 1 x 2 y y z 1 1 4 x 1 x 1 z y GV: Nguyễn Việt Hải 1 z x x 1 y 1 z y z 1 x y z 1 1 16 x 1 y 1 x 2 z 1 2x y z 4 4 x.x. y.z 1 2x y z 1 , töông töï vaø ta coù: z 1 , vaäy MaxP 1 khi x 1 2 16 x 1 . Daáu “=” xaûy ra khi x z 1 y y 1 y z 1 4 2 4 x yz y z 4 . 3 , maët khaùc: 1 , töông töï ta coù: z 1 , suy ra: 4 1 . 4 Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau. x, y , z Cho 1 1 x y Vôùi , , 0 1 z 4 . Tìm GTLN cuûa P x 1 y z x 1 y z x 1 y z . N Chuyên đề BĐT cauchy 9 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Tìm kiếm

Chủ đề

Giải phẫu sinh lý Trắc nghiệm Sinh 12 Mẫu sơ yếu lý lịch Hóa học 11 Thực hành Excel Lý thuyết Dow Đơn xin việc Atlat Địa lí Việt Nam Đồ án tốt nghiệp Bài tiểu luận mẫu Tài chính hành vi Đề thi mẫu TOEIC adblock ​ Bạn đang sử dụng trình chặn quảng cáo?

Nếu không có thu nhập từ quảng cáo, chúng tôi không thể tiếp tục tài trợ cho việc tạo nội dung cho bạn.

Tôi hiểu và đã tắt chặn quảng cáo cho trang web này