Xemtailieu Tải về Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công Nghệ BÀI TẬP LỚN Môn: Lý thuyết điều khiển tự động Đề bài: Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục GVHD: ThS Nguyễn Thị Cẩm Lai Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 3 Hà Nội, 04/2014 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Lời mở đầu Ngày nay, tự động hóa đã trở thành một vẫn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp. Những ứng dụng từ lĩnh vực này đã và đang len lỏi vào cuộc sống của con người, giúp cho con người có một cuộc sống được tiện nghi và thoải mãi hơn. Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều thứ có ứng dụng của lĩnh vực điều khiển tự động cả trong đời sống hàng ngày cũng như là trong sản xuất công nghiệp như những cơ cấu điều khiển quạt điện tự quay, hay những dây chuyền công nghiệp hiện đại, phức tạp. Ngành điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỳ XIX tới đầu thế kỷ XX và thực sự phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triển hơn nữa với những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới. Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động đã phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực công nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến như điện tử và máy tính. Với nhiều công nghệ mới ra đời, nhiều hệ thống tự động phức tạp đã được thiết kế và đưa vào sử dụng như kỹ thuật mạng không dây, kỹ thuật vô tuyến, … Kỹ thuật điều khiển tự động đã được ứng dụng vào nhiều ngành khác nhau và nhiều hệ thống điều khiển chuyên nghiệp khác nhau đã được ra đời. Có thể liệt kê một số những ứng dụng chính như: các hệ thống điều khiển của các nhà máy nhiệt điện, thuỷ điện; hệ thống tự động trong các nhà máy sản xuất thực phẩm như cocacola, sữa, đường,… các nhà máy lắp ráp ôtô, robot; các nhà máy sản xuất vật liệu xây dựng như xi măng, sản xuất kính, gạch men; các hệ thống điều khiển trong ngành hàng không và vũ trụ, hệ thống điều khiển điện tử nhúng dùng trong công nghiệp chế tạo và trong đời sống hàng ngày, hệ thống điều khiển phương tiện giao thông trên mặt đất, ứng dụng trong y học, điều khiển tên lửa, điều khiển phương tiện trên biển, điều khiển các quá trình sản xuất trong công nghiệp, rô bốt và cơ điện tử, hệ thống sản xuất trong lĩnh vực công nghệ cao như sản xuất, lắp ráp các hệ thống vi mạch v..v.. Một hệ thống điều khiển tự động có một số đặc tính cần phát phân tích như tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn đinh, … những đặc tính này đóng vai trò quyết định hành vi của hệ thống. Trong đó tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng. Có thể thấy khi hệ thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch trong quá trình vận hành, thậm chí gây hỏng hóc, hoặc tai nạn, … Một ví dụ về hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng thái của hệ tăng lên đến vô cùng mặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bới có thể gây ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, … Do đó công việc đầu tiên cần làm của người kỹ sư thiết kế hệ thống điều khiển là xem xét sự ổn định của hệ thống. Khi ổn định hệ thống được đảm bảo thì mới xét đến các yếu tố khác của hệ thống như thời gian đáp ứng, tốc độ đáp ứng, … Với một hệ thống điều khiển tự động vòng kín, tính ổn định của hệ thống cũng như chất lượng của quá trình quá độ đều có thể được khảo sát thông qua sự thay đổi của đại lượng cần điều chỉnh y hoặc giá trị sai lệch e khi có tác động của nhiễu đặt trước u hoặc nhiễu D. Nhóm 3 Page 1 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Với đề tài được giao: “Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục” bài làm của nhóm 3 gồm có các phần sau: I. II. III. IV. V. VI. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục. Ứng dụng Matlab trong kiểm tra tính ổn định của hệ thống. Một số bài tập áp dụng. Nhóm 3 Page 2 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Danh sách nhóm: STT Họ và Tên MSSV Lớp 1 Nguyễn Văn Việt 12020441 K57M 2 Phạm Trần Hoàng 12020162 K57M 3 Đỗ Văn Lực 12020244 K57M 4 Trần Bá Vương 12020449 K57M 5 Nguyễn Sỹ Trung 12020396 K57M 6 Nguyễn Viết Bình 12020525 K57M 7 Nguyễn Thị Phương 12020296 K57M 8 Mai Trọng Linh 12020222 K57M 9 Vũ Đình Ngọc 12020271 K57M 10 Nguyễn Minh Lý 12020246 K57M Nhóm 3 Page 3 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Phần I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động. I. Khái niệm về hệ thống điều khiển tự động liên tục. 1. Giới thiệu mở đầu. Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của thệ thống gần với mục đích định trước. Điều khiển tự động là ứng dụng của lý thuyết điều khiển tự động vào việc điều khiển các quá trình khác nhau mà không cần tới sự can thiệp của con người. Ổn định là điều kiện cần thiết đầu tiên của một hệ thống điều khiển tự động. Hệ thống điều khiển tự động được được gọi là ổn định nếu sau khi có nhiễu tác động làm thay đổi trạng thái cân bằng của nó thì nó tự hiệu chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Hoặc nếu tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn thì hệ thống đó được gọi là ở trạng thái ổn định. Nếu hệ thống không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn định. Trong trường hợp này tín hiệu ra của hệ thống là một dao động có biên độ không đổi. 2. Phân loại hệ thống tự động 2.1.1. Hệ thống điều khiển tuyến tính Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng. Nguyên lý xếp chồng phát biểu rằng đáp ứng tạo ra bởi những kích thích đồng thời là tổng của các đáp ứng riêng lẻ. Vì thế với hệ thống tuyến tính, đáp ứng với nhiều cửa vào có thể được xác định bằng cách xét đáp ứng của từng cửa vào sau đó cộng các đáp ứng lại với nhau. Nguyên lý này cho phép tìm nghiệm phức của phương trinh vi phân tuyến tính từ các nghiệm đơn giản. Trong nghiên cứu thực nghiệm một hệ thống động lực, nếu quan hệ giữa nguyên nhân và kết quả là tỷ lệ thì nguyên lý xếp chồng là hiệu lực, lúc đó hệ thống được xem là tuyến tính. Hệ tuyến tính còn là những hệ thống đảm bảo tính đồng nhất (homogeneity) và tính cộng thêm (additive) thì được gọi là hệ thống tuyến tính. Tính đồng nhất hay còn gọi là quy tắc vô hướng, luật co giãn (scalar rule) có nghĩa là khi độ lớn đầu vào của hệ thống tăng lên (scaled) thì độ lớn đầu ra từ hệ thống cũng sẽ tăng lên tương ứng. Tính cộng (Additive) là tính chất mà output của hệ thống có thể được tính như là tổng của kết quả phản hồi từ mỗi tín hiệu vào input đơn lẻ. Nếu dữ liệu vào có thể được phân rã như là tổng của các dữ liệu, tín hiệu đơn vị đã được trong số hóa thì đầu ra của một hệ thống tuyến tính sẽ như sau: c x (t) HTLT c y (t) t i i t i i Ví dụ: Kiểm tra phương trình sau xem có phải là phương trình mô tả hệ thống liên tục hay không? y(t ) Nhóm 3 1 x (t ) 2 Page 4 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Giải 1 1 1 1 1 y(t ) ax1 (t ) bx2 (t ) ax1 (t ) bx2 (t ) a x1(t ) b x2 (t ) 2 2 2 2 2 ay1 (t ) by2 (t ) Vậy hàm trên mô tả hệ thống liên tục. 2.1.2. Hệ thống điều khiển phi tuyến Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gian thường có động lực phi tuyến lớn. Trong lý thuyết điều khiển đôi khi có thể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ thống và áp dụng các kỹ thuật tuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các lý thuyết cho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến. Ví dụ phản hồi tuyến tính hóa, backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tính hóa thường sử dụng sự tiện lợi của kết quả dựa trên thuyết Lyapunov. Hình học vi phân đã được sử dụng rộng rãi như là một công cụ điều khiển tuyến tính phổ biến nổi tiếng sử dụng trong điều khiển phi tuyến, cũng như chỉ ra những tinh tế, càng làm cho vấn đề thêm thách thức. Ví dụ: Kiểm tra hàm sau có mô tả hệ thống phi tuyến hay không: y(t ) e x (t ) Giải ax1 ( t ) bx2 ( t ) y(t ) e e ax1 ( t ) .e bx2 ( t ) ay1 (t ) by2 (t ) Vậy hàm trên thỏa mãn là hàm mô tả hệ thống phi tuyến. 2.1.3. Hệ thống điều khiển phân tán Khi một hệ thống được điều khiển bởi nhiều bộ điều khiển, vấn đề là một trong các điều khiển phân tán. Sự phân tán hóa thì hữu ích trên nhiều phương diện, chẳng hạn như nó giúp điều khiển hệ thống vận hành trong một khu vực địa lý rộng lớn. Các nhánh trong các hệ thống điều khiển phân tán có thể tương tác với nhau bằng cách sử dụng các kênh liên lạc và phối hợp các hoạt động của chúng với nhau. 2.1.4. Hệ thống bất biến theo thời gian Một hệ thống là bất biến theo thời gian khi một khoảng dịch thời gian trong tín hiệu đầu vào cũng gây ta một độ dịch tương ứng trong tín hiệu đầu ra. 2.1.5. Hệ thống biến đổi theo thời gian Hệ thống gọi là biến đổi theo thời gian nếu tín hiệu đầu ra tại bất kỳ thời điểm nào đều phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào. 3. Điều kiện ổn định của hệ thống điều khiển tự động. Nhóm 3 Page 5 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau: lim e(t) 0 t lim e(t ) 0 t 0 (1.1) 4. Các yêu cầu với hệ thống tự động Hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống. Hệ phi tuyến có thể ổn định trong phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn. Đối với hệ tuyến tính, đặc thù của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng nhất định. II. Các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động. Có 3 dạng trạng thái cân bằng: - Cân bằng ổn định - Cân bằng ở biên giới ổn định - Cân bằng không ổn định. Xét phương trình (1.1): - Nếu lim e(t ) 0 khi t thì hệ thống ổn định. - Nếu lim e(t ) khi t thì hệ thống không ổn định. - Nếu lim e(t ) dao động có biên độ không đổi khi t thì hệ thống sẽ ở biên giới ổn định. Ví dụ 1: Các trạng thái cân bằng của một viên bi ở các vị trí được mô tả như trong hình: Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (vị trí a), hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (vị trí b) và (vị trí d), hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu (vị trí c). Trong ba trường hợp thì khi quả cầu ở vị trí a là vị trí quả cầu có cân bằng ở biên giới ổn Nhóm 3 Page 6 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. định; quả cầu ở vị trí b và d là vị trí quả cầu có cân bằng ổn định; quả cầu ở vị trí c là vị trí quả cầu có cân bằng không ổn định. Ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở về trạng thái ban đầu được – hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng. Trong trường hợp này, việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thông mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng. Ví dụ 2: Đồ thị các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động: Ví dụ 3: Mô tả trạng các trạng thái cân bằng của hệ thống: Nhóm 3 Page 7 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Phần II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc. Hệ thống rời rạc là hệ thống có phương trình trạng thái được mô tả bằng phương trình sai phân. Nếu một hệ thống liên tục được coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì thì một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong đường tròn đơn vị. I. Giới thiệu chung Điều kiện để một hệ thống điều khiển liên tục ổn định là tất cả các nghiệm của phương Ts trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do quan hệ giữa biến z và biến s là z e nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Do đó hệ thống điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Chú ý: - Nếu một hệ thống rời rạc cho bởi sơ đồ khối: Thì hệ thống đó có phương trình đặc tính là 1 GH ( z) 0 - Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái: x (k 1) Ad x (k ) Bd r (k ) c(k ) Cd x (k ) (2.1) Thì phương trình đặc tính là: det( zI Ad ) 0 Nhóm 3 Page 8 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống rời rạc. 1. Ổn định của hệ thống rời rạc Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc có hai nguồn kích thích là trạng thái ban đầu x0 và tín hiệu vào u(k ) . x(k 1) Fx (k ) gu(k ) (2.2) y(k ) cx (k ) du(k ), x (0) x0 Hệ thống gọi là ở trạng thái cân bằng x0 = 0 khi cả hai trạng thái ban đầu và tín hiệu vào bằng 0. Ổn định BIBO (Bounded Inputs – Bounded Outputs) Khi cho x0 = 0 với u(k ) bị chặn thì y (k ) cũng bị chặn, k 0 . Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung g( k ) với u(k ) (k ) thỏa mãn: g(k ) (2.3) k 0 Chứng minh: Tín hiệu vào u(k ) có thể viết là: u(k ) u(0) (k) u(1) (k 1) u(2) (k 2) ... u(n) (k n) n0 Trong đó: 1 khi k 0 (k ) , 0 khi k 0 g(k ) là đáp ứng y(k ) đối với tín hiệu vào (k ) , đối với tín hiệu vào bất kỳ u(k ) . y(k ) u(0)g(k ) u(1)g(k 1) u(2)g(k 2) ... k k n0 n0 n0 u(n)g(k n) u(n)g(k n) u(k n)g(n), k 0 Áp dụng điều kiện (2.3) ta được: y(k ) n0 n0 u(n)g(k n) u(k n)g(n) u(k ) M y(k ) M g(n) n0 Nếu điều kiện (2.3) thỏa mãn thì y(k ) hữu hạn. Mặt khác, điều kiện (2.3) cũng là điều kiện cần. Thí dụ khi xét tín hiệu vào bị chặn u(k j ) sign g( j ) thì: Nhóm 3 Page 9 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. y(k ) n0 n0 u(k n)g(n) g(n) Nếu điều kiện (2.3) không được thỏa mãn thì y (k ) không bị chặn. Đáp ứng xung Là biến đổi Z đảo của Y ( z) phụ thuộc các cực của Y ( z) . + Giả sử Y ( z) có cực thật z a , bậc bội m : Y (z) Trong đó: z z a m A1( m ) z z a m A1( m1) z z a m 1 ... A11 z (2.4) z a k ! a k m 1 k m 1! m 1! Như vậy: Nếu a 1 thì mỗi thành phần của biến đổi Z đảo của (2.4) tiến về 0 khi k . + Trường hợp có nghiệm phức bậc bội m ở re j biến đổi Z đảo là tổng các thành phần Am k !cos(k m ) k m 1! m 1! rk Các thành phần tiến về 0 nếu r 1 . Kết luận: Hệ thống ổn định BIBO nếu các cực của hệ thống nằm trong vòng tròn đơn vị mặt phẳng z . Ổn định với tín hiệu vào zero x (k 1) Fx (k ) Ta tính được X (z) với ( z) z x(0) ( z) x(0) (zI F ) zI F z , x(k ) Z zI F [(z)]x(0) 1 Đa thức đặc trưng zI F có bậc n , ( z) có thể phân tích thành các tổng phân số riêng, do đó x (k ) 0 khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng (trị riêng của F ) nằm bên trong đường tròn đơn vị. Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm bên trong đường tròn đơn vị. Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có nghiệm đơn trên đường tròn đơn vị, các nghiệm còn lại bên trong đường tròn đơn vị. Nhóm 3 Page 10 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Hệ thống không ổn định nếu có nghiệm ngoài đường tròn đơn vị hay có nghiệm bội trên đường tròn đơn vị. Ổn định tiệm cận Lyapunov Nếu hệ thống bị rời khỏi trạng thái cân bằng do tác động nhiễn thì sau đó hệ thống có khả năng quay trở lại trạng thái cân bằng. Đa thức bậc n theo z có các nghiệm bên trong đường tròn đơn vị gọi là đa thức đường tròn đơn vị. Hệ tuyến tính rời rạc x (k 1) Fx (k ) ổn định toàn cục tiệm cận ở gốc nếu và chỉ nếu cho ma trận đối xứng xác định dương Q có ma trận đối xứng xác định dương P thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc: FT PT P Q Tính ổn định của hệ thống theo Lyapunov: Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc: + Hệ thống là ổn định ở gốc nếu cho trước R 0 thì tìm được r > 0 sao cho nếu x(0) r thì x(t ) R, t 0 . Trong đó: x x12 x22 ... xn2 Nói cách khác là hệ thống ổn định ở gốc nếu x (t ) không ra khỏi hình cầu bán kính R . + Nếu hệ thống ổn định ở gốc và x (t ) 0 thì ổn định tiệm cận. + Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và x(t ) a x(0) e bt , a, b 0 thì ta nói là hệ thống ổn định theo hàm mũ với vận tốc b . + Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị đầu x (0) thì gọi là hệ thống ổn định toàn cục. Nhóm 3 Page 11 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. - Định lý tuyến tính hóa Lyapunov (xét cho hệ phi tuyến): + Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là ổn định tiệm cận. + Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là không ổn định. + Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến. 2. Tiêu chuẩn ổn định Routh – Hurwitz Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị. Ổn định của một hệ thống dữ liệu lẫy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz. Khi đó, sử dụng phương pháp Tustin và z được thay thế như sau: pT e 2 1 w (2.5) với w pT z e pT pT pT 1 w 2 e 2 1 2 Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng w như sau: pT 2 1 F(w) bn wn bn1wn1 bn2wn2 ... b1w b0 (2.6) Bảng Routh - Hurwitz được thiết lập như sau: wn bn bn2 bn4 … wn1 bn1 bn3 bn5 … w n 2 c1 c2 c3 … … … … … … w1 j1 w0 k1 - Hai hàng đầu của dãy Routh - Hurwitz được xác định trực tiếp từ phương trình (2.6) còn các hàng khác được tính như sau: Nhóm 3 Page 12 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. c1 bn1bn2 bn bn3 bn1 c1 bn1bn4 bn bn5 bn1 c1 bn1bn6 bn bn7 bn1 d1 c1bn3 bn1bn2 c1 Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz có nghĩa là số gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt phẳng p bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ được xem là ổn định nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống điều khiển có dạng: z2 z 0,7 0 Sử dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz để xét tính ổn định của hệ thống. Giải: Phương trình đặc tính trong mặt phẳng z có thể được chuyển thành phương trình đặc tính trong mặt phẳng w có dạng như sau: 2 1 w 1 w 2 0,7 0 2,7w 0,6w 0,7 0 1 w 1 w Thành lập bảng Routh – Hurwitz: w2 w1 w0 Nhóm 3 2,7 0,7 0,6 0 0,7 Page 13 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Nhận thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định. Ví dụ 2: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình. Sử dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để xác định giá trị của k để hệ ổn định. Giả thiết k 0 và T 1s . Giải: Phương trình đặc tính của hệ thống: 1 G ( p) 0 với G( p) 1 eTp k p p( p 1) Biến đổi z của G ( p) có dạng như sau: k (0,368z 0,264) k 0 G(z) 1 z1 Z 2 hay G(z) (z 1)(z 0,368) p ( p 1) Do vậy, phương trình đặc tính sẽ có dạng: k (0,368z 0,264) 0 z2 (1,368 0,368k )z 0,368 0,264 0 (z 1)(z 0,368) Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng w ta được: 1 2 1 w 1 w (1,368 0,368k ) 0,632 0 1 w 1 w 2 w (2,736 0,104k ) w(1,264 0,528k ) 0,632 k 0 Thành lập bảng Routh – Hurwitz: w2 2,736 – 0,104k 0,632k w1 1,264 – 0,528k 0 w0 0,632k Để hệ thống ổn định thì các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu 1,264 0,528k 0 k 2,4 3. Tiêu chuẩn ổn định Jury Biểu diễn phương trình đặc tính bậc n của hệ thống như dạng sau: Nhóm 3 Page 14 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. F(z) an zn an1zn1 ... a1z a0 , an 0 (2.7) Thiết lập bảng Jury với các phần tử được định nghĩa như sau: + Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước viết theo thứ tự ngược lại. + Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau: bk a0 an ank b bnk 1 c , ck 0 , dk 0 ak bn1 bk cn2 cnk 2 , ... ck Như vậy bảng Jury có dạng như sau: z0 a0 z1 a1 z2 a2 … an an 1 b0 … zn1 an 1 zn an ak … a1 a0 … bnk … bn1 bn3 … bk 1 … b0 c1 c2 … cnk … cn2 cn 3 cn4 … ck 2 … … … … … … … … … … … l0 l1 l2 l3 l3 l2 l1 l0 m0 m1 m2 … … znk ank an2 … b1 b2 bn1 bn2 c0 Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong đường tròn đơn vị là: F(1) 0, (1)n F(1) 0, a0 an Nhóm 3 (2.8) Page 15 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. b0 bn1 c0 cn1 d0 dn1 m m n 1 0 (2.9) Tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống bậc 2 và bậc 3 thì tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều. Đối với hệ bậc 2, ta có phương trình đặc tính như sau: F(z) a0 a1z a2a2 Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu: F(1) 0, F(1) 0, a0 a2 Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau: F(z) a0 a1z a2a2 a3z3 , a3 0 Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu : F (1) 0, F (1) 0, a0 a3 a0 a3 a0 a1 det det a a a a 3 0 3 2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như sau: y(z) G(z) 0,2z 0,5 trong đó G(z) 2 . r(z) 1 G(z) z 1,2z 0,2 Sử dụng tiêu chuẩn ổn định Jury để kiểm tra xem hệ thống có ổn định hay không. Giải: Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng: 1 G(z) 1 0,2z 0,5 0 z2 z 0,7 0 z 1,2z 0,2 2 Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có: F(1) 0,7 0, F(1) 2,7 0, a0 0,7 a2 1 Hệ thống không ổn định. Nhóm 3 Page 16 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Ví dụ 2: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau: 1 G(z) 1 k (0,2 z 0,5) 0 z2 1,2z 0,2 Xác định k để hệ thống ổn định. Giải: Phương trình đặc tính của hệ thống: z2 (0,2k 1,2)z 0,5k 0,2 Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có: F(1) 0,3 0, F(1) 4,5 0, a0 0,1 a2 1 Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury được thỏa mãn. Mặt khác ta có: a det 0 a3 a0 det a3 a3 0,1 1 det 0,99 0,99 a0 1 0,1 a1 0,1 1,4 det 1,2 1,2 a2 2 1 a det 0 a3 a0 a3 det a0 a3 a1 a2 Điều này có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không được thỏa mãn, nên hệ này không ổn định. Ví dụ 3: Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính: 5z3 2z2 3z 1 0 Xét tính ổn định của hệ thống được mô tả bởi phương trình trên. Giải: Thành lập bảng Jury: Hàng 1 5 Hàng 2 1 15 1 4,8 Hàng 3 51 5 Hàng 4 2,6 Hàng 5 Nhóm 3 1 4,8 2,6 3,39 4,8 2,6 4,8 15 51 1 4,8 4,8 2,6 2 3 3 1, 4 2 1,4 1,4 0,61 1,4 3 2 15 2 2,6 51 3 4,8 1 5 Page 17 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Hàng 6 Hàng 7 0,61 1 3,39 0,61 3,28 3,39 0,61 3,39 3,39 Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định. Nhóm 3 Page 18 Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục. Phần III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục. I. Ổn định của hệ thống tuyến tính 1. Điều kiện ổn định của hệ thống. Hệ thống ổn định khi lim e(t ) 0 hoặc một giá trị cố định. t Hệ thống không ổn định nếu lim e(t ) t Hệ thống ở biên giới ổn định nếu lim e(t ) dao động có biên độ không đổi. t Khảo sát tính ổn định của hệ thống chính là khảo sát hệ thống ở hai quá trình: quá trình quá độ và quá trình xác lập. Xét sự ổn định của hệ thống chủ yếu là khảo sát hệ thống ở quá trình quá độ. 2. Sự ổn định của hệ thống liên tục trong quá trình quá độ. Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ của nó tắt dần theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần theo thời gian và ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên độ không đổi hoặc bằng hằng số. Mô tả các trạng thái quá độ của hệ thống điều khiển tự động. (1): Hệ thống ổn định và không dao động. (2): Hệ thống ổn định và dao động (3): Hệ thống không ổn định và không dao động (4): Hệ thống không ổn định và dao động (5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định). Để biết hệ thống điều khiển tự động có ổn định hay không ta phải giải phương trình vi phân mô tả quá trình động học của nó. Dạng tổng quát: Nhóm 3 Page 19 Tải về bản full