KQNC08 – Cách Vẽ Một Bát Giác đều Có Diện Tích Cho Sẵn

Trong bài “Trung tuyến và Trọng tâm trong tam giác”, tác giả đã trình bày một số tính chất của trung tuyến và trọng tâm trong tam giác. Trong bài viết nầy, ta thử áp dụng những tính chất đó để giải một bài toán thú vị. Thật ra, chủ đích của tác giả là muốn qua bài toán nầy, trình bày một tính chất về cách vẽ một hình bát giác đều có một diện tích cho sẵn.

Bài toán như sau:

Cho hình bình hành ABCD với E, F, G, H là trung điểm của các cạnh. Các đường thẳng phát xuất từ các đỉnh của hình bình hành với trung điểm của 2 cạnh đối cắt nhau và giới hạn một hình bát giác như hình vẽ. Chứng minh: diện tích S1 của hình bát giác bằng 1/6 diện tích S của hình bình hành.

Bài giải:

Theo tính chất của hình bình hành (cạnh song song), trung điểm, đướng chéo (cắt nhau tại trung điểm), vv …, ta có thể suy ra các tính chất:

Q, S, U, X lần lượt là trung điểm của OA, OF, OG và OH

Hình bát giác PQRSTUVX gồm 8 tam giác nhỏ từng cặp đối xứng qua tâm O của hình bình hành. Tám tam giác nầy có diện tích bằng nhau. Để chứng minh, ta xét 2 tam giác không đối xứng qua O là OPQ và OPX.

Vì Q và X lần lượt là trung điểm của OE và OH nên HQ và EX là 2 đường trung tuyếv và P là trọng tâm của tam giác OEH. Trong tam giác OEH, 3 đường trung tuyến OK, EX và HQ chia tam giác OEH thành 6 tam giác có cùng diện tích. Suy ra: Dt(OPQ) = Dt(OPX) Chứng minh tương tự với các tam giác khác trong hình bát giác.

Tóm lại: 8 tam giác nhỏ của hình bát giác PQRSTUVX có diện tích bằng nhau. Suy ra:      S1 = Dt(PQRSTUVX) = 8 Dt(OPQ)                      (1)

Theo tính chất của trung tuyến, 6 tam giác OPQ, OPX, EPQ, EPK, HPK và HPX trong tam giác OEH có diện tích bằng nhau. Suy ra: Dt(OPQ) = 1/6 Dt(OEH)

Vì tam giác OEH bằng 1/8 hình bình hành ABCD, nên: Dt(OPQ) = 1/6 x 1/8 Dt(ABCD) = 1/48 S                                (2)

Thay vào (1): S1 = 8 Dt(OQP) = 8 x (1/48) S

Suy ra:                S1 = 1/6 S

Cách vẽ một hình bát giác đều có diện tích cho sẵn.

Trong trường hợp ABCD là một hình vuông, thì PQRSTUVX là một hình bát giác đều. Nếu diện tích của hình bát giác đều là A, thì diện tíchh của hình vuông là 6A và cạnh của hình vuông là căn số bậc hai của 6A.

Thí dụ:            Vẽ một hình bát giác đều có diện tích là 24 cm2

Phương pháp:

Vẽ hình vuông có diện tích 6 x 24 = 144 cm2, tức là có cạnh 12 cm Nối các đỉnh của hình vuông với trung điểm của 2 cạnh đối diện.

Các đường nối nầy cắt nhau và tạo thành một hình bát giác đều có diện tích 24 cm2.

Hồ văn Hoà (Thuận Hoà)