Lịch Sử Hình Thành Số E. Lịch Sử Của Số E

Mô tả e là "một hằng số xấp xỉ bằng 2,71828 ..." cũng giống như gọi pi là "một số vô tỉ xấp xỉ bằng 3,1415 ...". Không nghi ngờ gì nữa, nhưng bản chất vẫn lẩn tránh chúng ta.

Số pi là tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của nó, giống nhau đối với tất cả các hình tròn.. Đây là một tỷ lệ cơ bản chung cho tất cả các hình tròn, và do đó, nó liên quan đến việc tính chu vi, diện tích, thể tích và diện tích bề mặt cho các hình tròn, hình cầu, hình trụ, v.v. Pi cho thấy rằng tất cả các đường tròn đều được kết nối, chưa kể các hàm lượng giác xuất phát từ đường tròn (sin, cosin, tiếp tuyến).

Số e là tỷ lệ tăng trưởng cơ bản cho tất cả các quá trình tăng trưởng liên tục. Số e cho phép bạn lấy một tỷ lệ tăng trưởng đơn giản (trong đó sự khác biệt chỉ hiển thị vào cuối năm) và tính toán các thành phần của chỉ số này, mức tăng trưởng bình thường, trong đó mỗi nano giây (hoặc thậm chí nhanh hơn) mọi thứ đều tăng lên một chút hơn.

Số e liên quan đến cả hai hệ thống tăng trưởng theo cấp số nhân và không đổi: dân số, phân rã phóng xạ, tính lãi và nhiều, nhiều hệ thống khác. Ngay cả các hệ thống bậc không phát triển đồng đều có thể được tính gần đúng bằng số e.

Cũng giống như bất kỳ số nào có thể được coi là phiên bản "thu nhỏ" của 1 (đơn vị cơ sở), bất kỳ hình tròn nào cũng có thể được coi là phiên bản "chia tỷ lệ" của hình tròn đơn vị (bán kính 1). Và bất kỳ yếu tố tăng trưởng nào cũng có thể được coi là phiên bản "thu nhỏ" của e (một yếu tố tăng trưởng "đơn").

Vậy số e không phải là số ngẫu nhiên được lấy ngẫu nhiên. Số e thể hiện ý tưởng rằng tất cả các hệ thống đang phát triển liên tục đều là các phiên bản được chia tỷ lệ của cùng một số liệu.

Khái niệm về tăng trưởng theo cấp số nhân

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét hệ thống cơ bản nhân đôi trong một khoảng thời gian nhất định. Ví dụ:

• Vi khuẩn phân chia và "nhân đôi" với số lượng sau mỗi 24 giờ
• Chúng ta sẽ thu được gấp đôi số mì nếu bẻ đôi
• Số tiền của bạn tăng gấp đôi mỗi năm nếu bạn nhận được 100% lợi nhuận (thật may mắn!)

Và nó trông giống như thế này:

Chia đôi hoặc nhân đôi là một tiến trình rất đơn giản. Tất nhiên, chúng ta có thể tăng gấp ba hoặc gấp bốn lần, nhưng nhân đôi thì thuận tiện hơn cho việc giải thích.

Về mặt toán học, nếu chúng ta có x phép chia, chúng ta nhận được số tốt gấp 2 ^ x lần chúng ta có lúc đầu. Nếu chỉ tạo 1 phân vùng, chúng ta nhận được gấp 2 ^ 1 lần. Nếu có 4 phân vùng, chúng ta nhận được 2 ^ 4 = 16 phần. Công thức chung trông như thế này:

sự phát triển= 2 x

Nói cách khác, tăng gấp đôi là tăng 100%. Chúng ta có thể viết lại công thức này như sau:

sự phát triển= (1 + 100%) x

Đây là sự bình đẳng tương tự, chúng tôi chỉ chia "2" thành các phần thành phần của nó, về bản chất con số này là: giá trị ban đầu (1) cộng với 100%. Thông minh, phải không?

Tất nhiên, chúng ta có thể thay thế bất kỳ số nào khác (50%, 25%, 200%) thay vì 100% và lấy công thức tăng trưởng cho tỷ lệ mới này. Công thức chung cho x khoảng thời gian của chuỗi thời gian sẽ như sau:

sự phát triển = (1+sự phát triển) x

Điều này đơn giản có nghĩa là chúng tôi sử dụng tỷ lệ hoàn vốn, (1 + tăng trưởng), "x" lần liên tiếp.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn

Công thức của chúng tôi giả định rằng sự tăng trưởng xảy ra theo các bước rời rạc. Vi khuẩn của chúng ta chờ đợi và chờ đợi, rồi bam !, và đến phút cuối cùng, chúng tăng gấp đôi về số lượng. Lợi nhuận từ tiền gửi của chúng tôi xuất hiện một cách kỳ diệu chính xác sau 1 năm. Dựa trên công thức được viết ở trên, lợi nhuận tăng theo từng bước. Chấm xanh xuất hiện đột ngột.

Nhưng thế giới không phải lúc nào cũng như thế này. Nếu chúng ta phóng to, chúng ta có thể thấy rằng những người bạn vi khuẩn của chúng ta đang phân chia không ngừng:

Đứa trẻ màu xanh lá cây không từ không có gì cả: nó từ từ lớn lên từ bố mẹ màu xanh lam. Sau 1 khoảng thời gian (trong trường hợp của chúng tôi là 24 giờ), bạn xanh đã chín hoàn toàn. Sau khi trưởng thành, nó trở thành một thành viên chính thức màu xanh lam của đàn và có thể tự tạo ra các tế bào màu xanh lá cây mới.

Thông tin này bằng cách nào đó sẽ thay đổi phương trình của chúng ta?

Không. Trong trường hợp của vi khuẩn, các tế bào màu xanh lục được hình thành một nửa vẫn không thể làm gì cho đến khi chúng lớn lên và tách biệt hoàn toàn khỏi bố mẹ màu xanh lam của chúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

BORIS NIKOLAEVICH PERVUSHKIN

PEI "Trường St. Petersburg" Tete-a-Tete "

Giáo viên toán học thuộc loại cao nhất

số e

Số lần đầu tiên xuất hiện trongtoán họcnhư một cái gì đó không đáng kể. Điều này xảy ra vào năm 1618. Trong phần phụ lục cho công trình của Napier về lôgarit, một bảng lôgarit tự nhiên của nhiều số khác nhau đã được đưa ra. Tuy nhiên, không ai hiểu rằng đây là những logarit cơ số, vì một thứ như một cơ số không được bao gồm trong khái niệm về logarit của thời đó. Đây là cái mà chúng ta gọi là logarit là lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để có được số cần thiết. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau. Bảng trong phần phụ lục rất có thể do Ougthred thực hiện, mặc dù tác giả không được ghi công. Vài năm sau, vào năm 1624, lại xuất hiện trong tài liệu toán học, nhưng lại bị che đậy. Năm nay, Briggs đã đưa ra một giá trị xấp xỉ bằng số của lôgarit thập phân, nhưng bản thân con số này không được đề cập đến trong công trình của ông.

Sự xuất hiện tiếp theo của con số một lần nữa gây nghi ngờ. Năm 1647, Saint-Vincent tính diện tích của một cung hyperbol. Liệu anh ta có hiểu mối liên hệ với logarit hay không, người ta chỉ có thể đoán, nhưng ngay cả khi anh ta hiểu, cũng không chắc anh ta có thể tự tìm ra con số. Mãi đến năm 1661, Huygens mới hiểu được mối liên hệ giữa hyperbol cân bằng và logarit. Ông đã chứng minh rằng diện tích dưới đồ thị của một hyperbol cân của một hyperbol cân trên khoảng từ 1 đến bằng 1. Tính chất này làm cơ sở của logarit tự nhiên, nhưng các nhà toán học thời đó không hiểu điều này, nhưng họ chậm đã tiếp cận sự hiểu biết này.

Huygens thực hiện bước tiếp theo vào năm 1661. Ông đã xác định một đường cong mà ông gọi là logarit (theo thuật ngữ của chúng tôi, chúng tôi sẽ gọi nó là hàm mũ). Đây là đường cong khung nhìn. Và một lần nữa, có một lôgarit thập phân, mà Huygens tìm thấy với độ chính xác là 17 chữ số thập phân. Tuy nhiên, nó có nguồn gốc từ Huygens như một loại hằng số và không liên quan đến lôgarit của số (vì vậy, một lần nữa chúng lại gần giống nhau, nhưng bản thân số vẫn không được công nhận).

Trong nghiên cứu sâu hơn về logarit, một lần nữa, con số không xuất hiện một cách rõ ràng. Tuy nhiên, nghiên cứu về logarit vẫn tiếp tục. Năm 1668, Nicolaus Mercator xuất bản một tác phẩmLogarithmotechnia, chứa một chuỗi mở rộng. Trong công trình này, Mercator lần đầu tiên sử dụng tên "logarit tự nhiên" cho logarit cơ số. Con số rõ ràng không xuất hiện trở lại, nhưng vẫn khó nắm bắt ở đâu đó.

Đáng ngạc nhiên là lần đầu tiên con số ở dạng tường minh không liên quan đến logarit, mà liên quan đến tích vô hạn. Năm 1683, Jacob Bernoulli cố gắng tìm

Ông sử dụng định lý nhị thức để chứng minh rằng giới hạn này nằm trong khoảng từ 2 đến 3, và điều này chúng ta có thể coi đây là một số gần đúng đầu tiên. Mặc dù chúng tôi coi đây là một định nghĩa, nhưng đây là lần đầu tiên một số được định nghĩa là một giới hạn. Bernoulli, tất nhiên, không hiểu mối liên hệ giữa công việc của mình và công việc về lôgarit.

Trước đây, người ta đã đề cập rằng logarit khi bắt đầu nghiên cứu của họ không được liên kết với số mũ theo bất kỳ cách nào. Tất nhiên, từ phương trình chúng ta tìm thấy điều đó, nhưng đây là một cách suy nghĩ muộn hơn nhiều. Ở đây chúng tôi thực sự có nghĩa là lôgarit là một hàm, trong khi lúc đầu, lôgarit chỉ được coi là một số hỗ trợ trong các phép tính. Có lẽ Jacob Bernoulli là người đầu tiên nhận ra rằng hàm logarit là hàm số mũ nghịch biến. Mặt khác, người đầu tiên liên kết logarit và lũy thừa có thể là James Gregory. Năm 1684, ông chắc chắn nhận ra mối liên hệ giữa logarit và lũy thừa, nhưng có thể ông không phải là người đầu tiên.

Chúng ta biết rằng con số xuất hiện như bây giờ vào năm 1690. Trong một bức thư gửi cho Huygens, Leibniz đã sử dụng ký hiệu cho nó. Cuối cùng, một sự chỉ định đã xuất hiện (mặc dù nó không trùng với cái hiện đại), và sự chỉ định này đã được công nhận.

Năm 1697, Johann Bernoulli bắt đầu nghiên cứu hàm mũ và xuất bảnPrincipia Calculi exponentialum seu percurrentium. Trong bài báo này, tổng của các chuỗi số mũ khác nhau được tính toán và một số kết quả thu được bằng cách tích phân chúng theo từng số hạng.

Euler đã đưa ra rất nhiều ký hiệu toán học mà không ngạc nhiên, việc chỉ định cũng thuộc về anh ta. Có vẻ nực cười khi nói rằng anh ấy đã sử dụng một chữ cái vì nó là chữ cái đầu tiên trong tên của anh ấy. Điều này có lẽ thậm chí không phải vì nó được lấy từ từ "mũ", mà chỉ đơn giản vì nó là nguyên âm tiếp theo sau "a", và Euler đã sử dụng ký hiệu "a" trong tác phẩm của mình. Bất kể lý do là gì, tên gọi này lần đầu tiên xuất hiện trong một bức thư từ Euler gửi Goldbach vào năm 1731.Giới thiệu trong Analysin infinitorumông đã đưa ra một cơ sở lý luận đầy đủ cho tất cả các ý tưởng liên quan đến. Anh ấy đã cho thấy rằng Euler cũng tìm thấy 18 chữ số thập phân đầu tiên của một số:

tuy nhiên, mà không giải thích làm thế nào anh ta có được chúng. Có vẻ như anh ấy đã tự mình tính toán giá trị này. Trên thực tế, nếu bạn lấy khoảng 20 số hạng của chuỗi (1), bạn sẽ có được độ chính xác mà Euler có được. Trong số những kết quả thú vị khác trong công việc của ông là mối quan hệ giữa hàm sin và hàm cosin và hàm mũ phức, mà Euler suy ra từ công thức của De Moivre.

Điều thú vị là Euler thậm chí còn tìm thấy sự mở rộng của một số thành các phân số liên tục và đưa ra các ví dụ về sự mở rộng đó. Đặc biệt, anh nhận được Euler đã không cung cấp bằng chứng rằng các phân số này tiếp tục theo cùng một cách, nhưng ông biết rằng nếu có một bằng chứng như vậy, thì nó sẽ chứng minh là không hợp lý. Thật vậy, nếu phân số tiếp tục cho, tiếp tục theo cùng một cách như trong mẫu trên, 6,10,14,18,22,26, (mỗi lần chúng ta thêm 4), thì nó sẽ không bao giờ bị gián đoạn, và (và do đó ,) không thể hợp lý. Rõ ràng, đây là nỗ lực đầu tiên để chứng minh tính phi lý.

Người đầu tiên tính toán một số chữ số thập phân khá lớn là Shanks (Shanks) vào năm 1854 Glaisher (Glaisher) cho thấy 137 chữ số đầu tiên do Shanks tính là đúng, nhưng sau đó phát hiện ra lỗi. Shanks đã sửa nó và thu được 205 chữ số thập phân. Trên thực tế, bạn cần về 120 số hạng khai triển (1) để có 200 chữ số đúng.

Năm 1864, Benjamin Pierce (Peirce) đứng trên chiếc bảng đen có viết

Trong các bài giảng của mình, ông có thể nói với các sinh viên của mình, "Các quý ông, chúng tôi không biết điều này có nghĩa là gì, nhưng chúng tôi có thể chắc chắn rằng nó có ý nghĩa rất quan trọng."

Hầu hết đều tin rằng Euler đã chứng minh sự phi lý của con số. Tuy nhiên, điều này đã được Hermite thực hiện vào năm 1873. Vẫn còn là một câu hỏi bỏ ngỏ liệu con số có phải là đại số hay không. Kết quả cuối cùng theo hướng này là ít nhất một trong các số là siêu việt.

Tiếp theo, các vị trí thập phân tiếp theo của số đã được tính toán. Năm 1884, Boorman đã tính được 346 chữ số của con số, trong đó 187 chữ số đầu tiên trùng với các dấu hiệu của Shanks, nhưng những chữ số tiếp theo thì khác. Năm 1887, Adams tính toán 272 chữ số của lôgarit thập phân.

Số "e" là một trong những hằng số toán học quan trọng nhất mà mọi người đều nghe nói đến trong các bài học toán ở trường. Concepture xuất bản một bài thuyết minh phổ biến, được viết bởi một nhà nhân văn về khoa học nhân văn, trong đó anh ta sẽ kể bằng ngôn ngữ dễ tiếp cận tại sao và tại sao số Euler tồn tại.

Tiền của chúng ta và số Euler có điểm gì chung?

Trong khi số π (pi) có một ý nghĩa hình học được xác định rõ ràng và được sử dụng bởi các nhà toán học cổ đại, sau đó là số e(Số Euler) gần đây đã chiếm một vị trí xứng đáng trong khoa học và nguồn gốc của nó đi thẳng vào ... các vấn đề tài chính.

Kể từ khi phát minh ra tiền, đã có rất ít thời gian người ta đoán rằng tiền tệ có thể được vay hoặc cho vay với một tỷ lệ nhất định. Đương nhiên, các nhà kinh doanh "cổ đại" không sử dụng khái niệm "tỷ lệ phần trăm" quen thuộc với chúng ta, nhưng việc gia tăng số lượng theo một số chỉ tiêu cụ thể trong một khoảng thời gian nhất định đã quen thuộc với họ.

Trong ảnh: tờ tiền mệnh giá 10 franc có in hình Leonhard Euler (1707-1783).

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào ví dụ 20% APR vì mất quá nhiều thời gian để đến số Euler. Hãy sử dụng lời giải thích minh họa và phổ biến nhất về ý nghĩa của hằng số này, và đối với điều này, chúng ta sẽ phải mơ một chút và tưởng tượng rằng một số ngân hàng đề nghị chúng ta gửi tiền với lãi suất 100% mỗi năm.

Thử nghiệm tư tưởng-tài chính

Đối với thử nghiệm tinh thần này, bạn có thể lấy bất kỳ số tiền nào và kết quả sẽ luôn giống nhau, nhưng bắt đầu từ 1, chúng ta có thể đi thẳng đến giá trị gần đúng đầu tiên của số e. Bởi vì, giả sử chúng ta đầu tư 1 đô la vào ngân hàng, với tỷ lệ 100% mỗi năm vào cuối năm chúng ta sẽ có 2 đô la.

Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu tiền lãi được vốn hóa (cộng thêm) mỗi năm một lần. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng được viết hoa hai lần một năm? Nghĩa là, 50% sẽ bị tính phí sáu tháng một lần và 50% thứ hai sẽ không được tính từ số tiền ban đầu, mà từ số tiền tăng lên của 50% đầu tiên. Nó sẽ có lợi hơn cho chúng tôi?

Infographic trực quan cho thấy ý nghĩa hình học của số π .

Tất nhiên nó sẽ. Với vốn hóa hai lần một năm, sáu tháng sau chúng ta sẽ có $ 1,50 trong tài khoản. Đến cuối năm, 50% khác của 1,5 đô la sẽ được thêm vào, tổng cộng là 2,25 đô la. Điều gì sẽ xảy ra nếu vốn hóa được thực hiện hàng tháng?

Chúng tôi sẽ bị tính phí 100/12% (nghĩa là, khoảng 8 (3)%) mỗi tháng, điều này thậm chí sẽ có lợi hơn - vào cuối năm chúng tôi sẽ có 2,61 đô la. Công thức chung để tính tổng số tiền cho một số lượng vốn hóa tùy ý (n) mỗi năm trông như sau:

Tổng cộng = 1 (1 + 1 / n) n

Hóa ra với giá trị n = 365 (nghĩa là, nếu tiền lãi của chúng ta được viết hoa mỗi ngày), chúng ta nhận được công thức sau: 1 (1 + 1/365) 365 = 2,71 đô la. Từ sách giáo khoa và sách tham khảo, chúng ta biết rằng e xấp xỉ bằng 2,71828, nghĩa là, xét cách viết hoa hàng ngày của đóng góp tuyệt vời của chúng ta, chúng ta đã đi đến một giá trị gần đúng của e, đủ cho nhiều phép tính.

Sự tăng trưởng của n có thể được tiếp tục vô thời hạn, và giá trị của nó càng lớn thì chúng ta càng có thể tính toán số Euler chính xác hơn, chính xác hơn đến số thập phân mà chúng ta cần, vì bất kỳ lý do gì.

Quy tắc này, tất nhiên, không chỉ giới hạn ở lợi ích tài chính của chúng tôi. Các hằng số toán học khác xa với các "chuyên gia hẹp" - chúng hoạt động tốt như nhau bất kể lĩnh vực ứng dụng nào. Do đó, đào mỏ tốt, bạn có thể tìm thấy chúng ở hầu hết mọi lĩnh vực của cuộc sống.

Nó chỉ ra rằng số e là một cái gì đó giống như một số đo của tất cả các thay đổi và "ngôn ngữ tự nhiên của phân tích toán học." Rốt cuộc, "matan" được gắn chặt với các khái niệm về phân biệt và tích hợp, và cả hai hoạt động này đều giải quyết những thay đổi vô cùng nhỏ, mà con số mô tả rất đẹp. e .

Thuộc tính duy nhất của số Euler

Được coi là ví dụ dễ hiểu nhất về việc giải thích việc xây dựng một trong những công thức tính số e, hãy xem xét ngắn gọn một vài câu hỏi khác có liên quan trực tiếp đến nó. Và một trong số đó: số Euler có gì độc đáo?

Về lý thuyết, hoàn toàn bất kỳ hằng số toán học nào là duy nhất và mỗi hằng số đều có lịch sử riêng của nó, nhưng bạn thấy đấy, tuyên bố về danh hiệu ngôn ngữ tự nhiên của phân tích toán học là một tuyên bố khá nặng nề.

Một nghìn giá trị đầu tiên của ϕ (n) cho hàm Euler.

Tuy nhiên, số e có những lý do cho điều đó. Khi vẽ biểu đồ của hàm y \ u003d e x, một sự thật nổi bật được tiết lộ: không chỉ y bằng e x, cùng một chỉ số còn bằng gradient của đường cong và diện tích dưới đường cong. Nghĩa là, diện tích dưới đường cong từ một giá trị nào đó của y đến trừ vô cùng.

Không có con số nào khác có thể tự hào về điều này. Đối với chúng tôi, những người theo chủ nghĩa nhân văn (tốt, hoặc KHÔNG phải là nhà toán học), một tuyên bố như vậy nói rất ít, nhưng bản thân các nhà toán học lại nói rằng điều này rất quan trọng. Tại sao nó lại quan trọng? Chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết vấn đề này vào lần khác.

Lôgarit làm tiền đề của số Euler

Có lẽ ai đó còn nhớ hồi đi học rằng số Euler cũng là cơ số của lôgarit tự nhiên. Chà, điều này phù hợp với bản chất của nó, là thước đo cho mọi thay đổi. Tuy nhiên, Euler phải làm gì với nó? Công bằng mà nói, e đôi khi còn được gọi là số Napier, nhưng nếu không có Euler thì câu chuyện sẽ không hoàn chỉnh, cũng như không đề cập đến logarit.

Nhà toán học người Scotland John Napier phát minh ra logarit vào thế kỷ 17 là một trong những sự kiện quan trọng nhất trong lịch sử toán học. Tại buổi lễ kỷ niệm sự kiện này diễn ra vào năm 1914, Lãnh chúa Moulton (Lord Moulton) đã nói về ông:

“Việc phát minh ra logarit giống như một tia sáng từ màu xanh cho giới khoa học. Không có công trình nào trước đây dẫn đến nó, dự đoán hoặc hứa hẹn khám phá này. Nó tách biệt, nó đột ngột thoát ra khỏi suy nghĩ của con người, không vay mượn bất cứ thứ gì từ hoạt động của những bộ óc khác và không tuân theo các chỉ dẫn của tư duy toán học đã được biết trước đó.

Pierre-Simon Laplace, nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng người Pháp, bày tỏ tầm quan trọng của khám phá này thậm chí còn đáng kể hơn nữa: "Việc phát minh ra logarit, bằng cách giảm bớt số giờ làm việc cực nhọc, đã nhân đôi tuổi thọ của một nhà thiên văn học." Điều gì đã gây ấn tượng với Laplace đến vậy? Và lý do rất đơn giản - logarit đã cho phép các nhà khoa học giảm đáng kể thời gian thường dành cho các phép tính rườm rà.

Nói chung, logarit giúp tính toán dễ dàng hơn — giảm chúng xuống một cấp trên thang độ phức tạp. Nói một cách đơn giản, thay vì nhân và chia, bạn phải thực hiện các phép tính cộng và trừ. Và nó hiệu quả hơn nhiều.

e- cơ số của lôgarit tự nhiên

Hãy coi thường thực tế rằng Napier là người tiên phong trong lĩnh vực logarit - người phát minh ra họ. Ít nhất thì anh ấy đã công bố những khám phá của mình trước. Trong trường hợp này, câu hỏi được đặt ra: công lao của Euler là gì?

Mọi thứ đều đơn giản - nó có thể được gọi là người thừa kế tư tưởng của Napier và người đàn ông đã đưa công trình của cuộc đời một nhà khoa học Scotland đến một kết luận lôgarit (đọc là lôgic). Điều này có thú vị chút nào không?

Một số đồ thị rất quan trọng được xây dựng bằng cách sử dụng một lôgarit tự nhiên.

Cụ thể hơn, Euler suy ra cơ số của lôgarit tự nhiên, ngày nay được gọi là số e hoặc số Euler. Ngoài ra, ông đã ghi tên mình vào lịch sử khoa học nhiều lần mà Vasya không bao giờ mơ tới, người mà dường như đã “viếng thăm” khắp mọi nơi.

Thật không may, cụ thể các nguyên tắc làm việc với logarit là chủ đề của một bài báo lớn riêng biệt. Vì vậy, hiện tại, sẽ đủ để nói rằng nhờ công sức của một số nhà khoa học tận tâm, những người đã dành nhiều năm cuộc đời để biên soạn các bảng logarit trong thời kỳ mà chưa ai từng nghe đến máy tính, tiến bộ của khoa học đã tăng tốc rất nhiều. .

Trong ảnh: John Napier - nhà toán học người Scotland, người phát minh ra lôgarit (1550-1617.)

Thật buồn cười, nhưng sự tiến bộ này cuối cùng đã dẫn đến sự lỗi thời của những bảng này, và lý do chính xác là sự xuất hiện của máy tính cầm tay, hoàn toàn đảm nhận nhiệm vụ thực hiện loại phép tính này.

Có lẽ bạn đã nghe nói về quy tắc trượt? Ngày xưa, các kỹ sư hay nhà toán học không thể làm được nếu thiếu chúng, nhưng bây giờ nó gần giống như một thiên thể - một công cụ thú vị, nhưng xét về lịch sử khoa học hơn là thực hành hàng ngày.

Tại sao nó lại quan trọng là cơ số của một logarit?

Nó chỉ ra rằng cơ số của lôgarit có thể là bất kỳ số nào (ví dụ, 2 hoặc 10), nhưng, chính xác vì các thuộc tính duy nhất của số Euler, lôgarit cơ số e gọi là tự nhiên. Như nó vốn có, được xây dựng trong cấu trúc của thực tế - không có lối thoát nào khỏi nó, và nó không cần thiết, bởi vì nó đơn giản hóa rất nhiều cuộc sống của các nhà khoa học làm việc trong các lĩnh vực khác nhau.

Đây là một lời giải thích dễ hiểu về bản chất của lôgarit từ trang web của Pavel Berdov. lôgarit cơ số một khỏi tranh luận x là lũy thừa mà số a phải được nâng lên để thu được số x. Về mặt đồ họa, điều này được biểu thị như sau:

log a x = b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b là hàm logarit.

Ví dụ, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là 3 vì 2 3 = 8).

Ở trên, chúng ta đã xem số 2 là cơ số của lôgarit, nhưng các nhà toán học nói rằng diễn viên tài năng nhất cho vai trò này là số của Euler. Hãy nghe lời họ ... Và sau đó chúng tôi sẽ kiểm tra để xem cho chính mình.

phát hiện

Có lẽ điều tồi tệ là khoa học và nhân văn quá tách biệt trong giáo dục đại học. Đôi khi điều này dẫn đến một sự “nghiêng ngả” quá mạnh và hóa ra là hoàn toàn không thú vị khi nói chuyện với một người thông thạo, ví dụ, về vật lý và toán học, về các chủ đề khác.

Và ngược lại, bạn có thể là một học sinh chuyên Văn hạng nhất, nhưng đồng thời, hoàn toàn bất lực khi cùng môn Vật lý và Toán học. Nhưng tất cả các ngành khoa học đều thú vị theo cách riêng của chúng.

Chúng tôi hy vọng rằng chúng tôi, cố gắng khắc phục những hạn chế của chính mình trong khuôn khổ chương trình ngẫu hứng “Tôi là một nhà nhân văn, nhưng tôi đang điều trị y tế”, đã giúp bạn học hỏi và quan trọng nhất là hiểu được điều gì đó mới mẻ từ một lĩnh vực khoa học không quen thuộc .

Chà, đối với những ai muốn tìm hiểu thêm về số Euler, chúng tôi có thể giới thiệu một số nguồn mà ngay cả một người không chuyên về toán học cũng có thể hiểu được nếu họ muốn: Eli Maor trong cuốn sách của mình “e: the story of a number” (“e: câu chuyện về một con số ”) mô tả chi tiết và theo cách dễ tiếp cận về lai lịch và lịch sử của số Euler.

Ngoài ra, trong phần "Được khuyến nghị" dưới bài viết này, bạn có thể tìm thấy tên các kênh youtube và video được quay bởi các nhà toán học chuyên nghiệp cố gắng giải thích rõ ràng số Euler để ngay cả những người không chuyên cũng có thể hiểu được có phụ đề tiếng Nga.

y (x) = e x, mà đạo hàm của nó bằng chính hàm.

Số mũ được ký hiệu là, hoặc.

số e

Cơ sở của số mũ là số e. Đây là một con số vô tỉ. Nó xấp xỉ bằng e ≈ 2,718281828459045...

Số e được xác định thông qua giới hạn của dãy số. Cái gọi là giới hạn tuyệt vời thứ hai:.

Ngoài ra, số e có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi: .

Biểu đồ triển lãm

Đồ thị lũy thừa, y = e x.

Biểu đồ hiển thị số mũ, e trong phạm vi X.y (x) = e xĐồ thị cho thấy rằng số mũ tăng đơn điệu.

Công thức

Các công thức cơ bản giống như đối với hàm số mũ với cơ số là e.

; ; ;

Biểu thức của một hàm số mũ với cơ số a tùy ý thông qua số mũ: .

Giá trị riêng tư

Hãy để y (x) = e x. sau đó .

Thuộc tính lũy thừa

Số mũ có các tính chất của hàm số mũ với cơ số là bậc e > 1 .

Miền định nghĩa, tập giá trị

Số mũ y (x) = e xđược xác định cho mọi x. Phạm vi của nó là: - ∞ < x + ∞ . Bộ ý nghĩa của nó: 0 < y < + ∞ .

Cực trị, tăng, giảm

Số mũ là một hàm tăng đơn điệu, vì vậy nó không có cực trị. Các thuộc tính chính của nó được trình bày trong bảng.

Chức năng trái ngược

Số nghịch đảo của số mũ là logarit tự nhiên. ; .

Đạo hàm của số mũ

Phát sinh e trong phạm vi X bằng e trong phạm vi X :. Đạo hàm của đơn hàng thứ n: . Bắt nguồn của công thức>>>

Tích phân

Số phức

Các phép toán với số phức được thực hiện bằng cách sử dụng Công thức Euler:, đơn vị ảo ở đâu: .

Biểu thức dưới dạng hàm hyperbolic

; ; .

Biểu thức dưới dạng hàm lượng giác

; ; ; .

Mở rộng chuỗi nguồn

Người giới thiệu: TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

Mọi người đều biết ý nghĩa hình học của con số π là chu vi của hình tròn có đường kính đơn vị:

Và đây là ý nghĩa của một hằng số quan trọng khác, e, có xu hướng nhanh chóng bị lãng quên. Đó là, tôi không biết về bạn, nhưng mỗi lần cố gắng để tôi nhớ lại là lý do tại sao con số bằng 2,7182818284590 này lại đáng chú ý đến vậy ... (tuy nhiên, tôi đã ghi lại giá trị từ bộ nhớ). Vì vậy, tôi quyết định viết một ghi chú để nó không bay ra khỏi bộ nhớ nữa.

Con số e theo định nghĩa - giới hạn của một hàm y = (1 + 1 / x) x tại x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Thật không may, định nghĩa này không rõ ràng. Không rõ tại sao giới hạn này là đáng chú ý (mặc dù thực tế là nó được gọi là "đáng chú ý thứ hai"). Chỉ nghĩ rằng, họ đã lấy một số chức năng vụng về, tính toán giới hạn. Một chức năng khác sẽ có một chức năng khác.

Nhưng số e vì một lý do nào đó làm nảy sinh một loạt các tình huống rất khác nhau trong toán học.

Đối với tôi, ý nghĩa chính của con số eđược tiết lộ trong hành vi của một chức năng khác, thú vị hơn nhiều, y = k x. Hàm này có một thuộc tính duy nhất khi k = e, có thể được hiển thị bằng đồ thị như sau:

Tại điểm 0, hàm nhận giá trị e 0 = 1. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại điểm x= 0, sau đó nó sẽ truyền tới trục x một góc với tiếp tuyến 1 (trong tam giác vàng tỷ số của chân đối diện 1 với chân đối diện 1 là 1). Tại điểm 1, hàm nhận giá trị e 1 = e. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại một điểm x= 1, sau đó nó sẽ đi qua một góc với tiếp tuyến e(trong tam giác màu xanh lá cây tỷ lệ chân đối diện eđến liền kề 1 là bằng e). Tại điểm 2, giá trị e 2 hàm số lại trùng với tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến với nó. Do đó, đồng thời các tiếp tuyến cắt trục x chính xác tại các điểm −1, 0, 1, 2, v.v.

Trong số tất cả các tính năng y = k x(ví dụ: 2 x , 10 x , π x vv), chức năng e x- cái duy nhất có vẻ đẹp đến mức tiếp tuyến của hệ số góc tại mỗi điểm của nó trùng với giá trị của chính hàm số. Vì vậy, theo định nghĩa, giá trị của hàm này tại mỗi điểm trùng với giá trị của đạo hàm tại điểm này: ( e x)´ = e x. Vì một số lý do số e\ u003d 2.7182818284590 ... bạn cần nâng lên các quyền hạn khác nhau để có được hình ảnh như vậy.

Đó, theo tôi, là ý nghĩa của nó.

Con số π và eđược đưa vào công thức yêu thích của tôi - công thức Euler, kết nối 5 hằng số quan trọng nhất - không, một, một hằng số tưởng tượng tôi và thực tế là những con số π và e:

ê-kip + 1 = 0

Tại sao số 2,7182818284590 ... lại là lũy thừa phức của 3,1415926535 ... tôiđột ngột bằng trừ một? Câu trả lời cho câu hỏi này nằm ngoài phạm vi của một ghi chú và có thể hình thành nội dung của một cuốn sách nhỏ đòi hỏi một số hiểu biết ban đầu về lượng giác, giới hạn và chuỗi số.

Tôi đã luôn ngạc nhiên trước vẻ đẹp của công thức này. Có lẽ có nhiều sự thật đáng kinh ngạc hơn trong toán học, nhưng đối với trình độ của tôi (ba về vật lý và toán học lyceum và năm về phân tích phức tạp ở trường đại học), đây là điều kỳ diệu quan trọng nhất.