Liên Hệ Giữa Khả Tích Riemann Và Lebesgue | TTC

Trang chủ » Khả Tích Riemann Và Khả Tích Lebesgue » Liên Hệ Giữa Khả Tích Riemann Và Lebesgue | TTC

Có thể bạn quan tâm

Mối liên hệ đó như sau:

Cho f\colon [a,b]\to\mathbb{R} là hàm bị chặn trên đoạn hữu hạn [a,b]. Khi đó hàm này là khả tích Riemann khi và chỉ khi tập các điểm không liên tục của hàm này có độ đo Lebesgue bằng 0.

Ta cần một hàm để xác định ra các điểm liên tục và không liên tục, và hàm đó gọi là hàm dao động, theo cách gọi trong giáo trình của thầy Nguyễn Văn Khuê-Lê Mậu Hải.

Với mỗi x, đặt \omega_f(x) = \inf_{\delta >0} \sup \{|f(y)-f(z)|~:~ y,z\in (x-\delta,x+\delta)\}. Khi đó ta có: f liên tục tại x khi và chỉ khi \omega_f(x) = 0.

Tiếp theo là cần khái niệm tổng Darboux để có tích phân trên và tích phân dưới, nó cũng tương tự giới hạn trên và giới hạn dưới, khi mà bạn không chắc chắn có giới hạn của dãy.

Tiếp theo là xét các hàm sau, tương tự với hàm dao động:

m_{\delta}(x) =\inf\{f(t)~:~t\in(x-\delta,x+\delta)\} và m(x)=\lim_{\delta\to 0^+}m_{\delta}(x).

Tương tự M_{\delta} và M nhưng với \sup.

Nhận xét, f liên tục tại x khi và chỉ khi m(x) = M(x).

Tiếp theo là bạn xây dựng các dãy tổng Darboux và sử dụng định lý hội tụ đơn điệu, bạn thu được tích-phân-trên bằng \int_a^b M(x)dx theo nghĩa Lebesgue. Tương tự với tích-phân-dưới.

Khi đó ta thấy là: nếu độ đo của phần gián đoạn là dương, thì tích-phân-trên và -dưới sẽ lệch nhau, từ đó kết luận được tính khả tích Riemann của hàm này theo ngôn ngữ của lý thuyết Lebesgue.

Qua mệnh đề ta cũng  thấy là: hàm khả tích Riemann thì khả tích Lebesgue, do hàm này liên tục và bị chặn ở hầu khắp nơi. Chỉ lưu ý là: kết quả chỉ bàn với hàm bị chặn, và xác định trên đoạn hữu hạn. Nếu bỏ điều kiện đó đi thì ta có thể tìm đc hàm khả tích Riemann theo nghĩa suy rộng mà không khả tích Lebesgue, ví dụ tích phân Dirichlet.

Tham khảo:

[1] Bài tập 12.51 trang 183, sách của Hewitt, Stromberg, Real and abstract analysis. [2] Rudin, Principles of Mathematical Analysis <= tích phân trên, tích phân dưới, tổng Darboux, tích phân Riemann, có giới thiệu lý thuyết Lebesgue ở chương cuối.

Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Khả Tích Riemann Và Khả Tích Lebesgue