Lôgarit Tự Nhiên Là Gì Của 1. Lôgarit Tự Nhiên

thường lấy một số e = 2,718281828 . Logarit trong cơ số này được gọi là Thiên nhiên. Khi thực hiện các phép tính với logarit tự nhiên, người ta thường sử dụng phép tính với dấu lN, nhưng không khúc gỗ; trong khi số 2,718281828 , xác định cơ sở, không chỉ ra.

Nói cách khác, từ ngữ sẽ giống như sau: lôgarit tự nhiên con số X là số mũ mà số sẽ được nâng lên e, Để có được x.

Cho nên, ln (7,389 ...)= 2 vì e 2 =7,389... . Lôgarit tự nhiên của chính số e= 1 vì e 1 =e và lôgarit tự nhiên của sự thống nhất bằng 0, vì e 0 = 1.

Số chính nó e xác định giới hạn của một trình tự giới hạn đơn điệu

đã tính toán rằng e = 2,7182818284... .

Thông thường, để sửa một số trong bộ nhớ, các chữ số của số được yêu cầu được liên kết với một số ngày chưa thanh toán. Tốc độ nhớ chín chữ số đầu tiên của một số e sau dấu thập phân sẽ tăng lên nếu bạn lưu ý rằng 1828 là năm sinh của Leo Tolstoy!

Cho đến nay, đã có bảng logarit tự nhiên khá đầy đủ.

đồ thị nhật ký tự nhiên(chức năng y =ln x) là hệ quả của biểu đồ của số mũ như một hình ảnh phản chiếu đối với đường thẳng y = x và trông giống như:

Lôgarit tự nhiên có thể được tìm thấy cho mọi số thực dương một như khu vực dưới đường cong y = 1/x từ 1 trước một.

Tính chất cơ bản của công thức này, phù hợp với nhiều công thức khác có liên quan đến lôgarit tự nhiên, là lý do hình thành cái tên "tự nhiên".

Nếu chúng ta phân tích lôgarit tự nhiên, như một hàm thực của một biến thực, sau đó nó hoạt động chức năng trái ngược thành một hàm số mũ, làm giảm các danh tính:

ln (a) = a (a> 0)

ln (e a) = a

Tương tự với tất cả các logarit, logarit tự nhiên chuyển đổi phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x / y) = lnx - lny

Lôgarit có thể được tìm thấy cho mọi cơ số dương không bằng một, không chỉ cho e, nhưng logarit cho các cơ số khác chỉ khác với logarit tự nhiên bởi một hệ số không đổi và thường được định nghĩa theo logarit tự nhiên.

Đã phân tích đồ thị nhật ký tự nhiên, chúng tôi hiểu rằng nó tồn tại cho các giá trị dương của biến x. Nó tăng đơn điệu trên miền định nghĩa của nó.

Tại x → 0 giới hạn của lôgarit tự nhiên là trừ vô cùng ( -∞ ).Tại x → + ∞ giới hạn của lôgarit tự nhiên là cộng với vô hạn ( + ∞ ). Lớn x logarit tăng khá chậm. Bất kỳ chức năng năng lượng nào x a với một số mũ dương một tăng nhanh hơn lôgarit. Lôgarit tự nhiên là một hàm tăng đơn điệu, vì vậy nó không có cực trị.

Cách sử dụng logarit tự nhiên rất hợp lý trong việc thông qua toán học cao hơn. Do đó, việc sử dụng lôgarit thuận tiện cho việc tìm câu trả lời cho các phương trình trong đó ẩn số xuất hiện dưới dạng số mũ. Việc sử dụng logarit tự nhiên trong tính toán có thể tạo điều kiện thuận lợi cho một số lượng lớn các công thức toán học. logarit cơ sở e có mặt trong việc giải quyết một số lượng đáng kể các vấn đề vật lý và được đưa vào mô tả toán học của các quá trình hóa học, sinh học và các quá trình khác một cách tự nhiên. Do đó, logarit được sử dụng để tính hằng số phân rã cho chu kỳ bán rã đã biết, hoặc để tính thời gian phân rã trong việc giải các bài toán về phóng xạ. Chúng đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học thực tiễn, chúng được sử dụng trong lĩnh vực tài chính để giải quyết một số lượng lớn các vấn đề, bao gồm cả việc tính toán lãi kép.

Khá tốt, phải không? Trong khi các nhà toán học đang tìm kiếm các từ để cung cấp cho bạn một định nghĩa dài và phức tạp, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn một định nghĩa đơn giản và rõ ràng này.

Số e có nghĩa là tăng trưởng

Số e có nghĩa là tăng trưởng liên tục. Như chúng ta đã thấy trong ví dụ trước, e x cho phép chúng ta liên kết lãi suất và thời gian: 3 năm ở mức tăng trưởng 100% cũng giống như 1 năm ở mức 300%, chịu "lãi suất kép".

Bạn có thể thay thế bất kỳ giá trị phần trăm và thời gian nào (50% trong 4 năm), nhưng tốt hơn nên đặt tỷ lệ phần trăm là 100% để thuận tiện (hóa ra là 100% trong 2 năm). Bằng cách chuyển sang 100%, chúng tôi có thể chỉ tập trung vào thành phần thời gian:

e x = e phần trăm * thời gian = e 1,0 * time = e time

Rõ ràng, e x có nghĩa là:

• đóng góp của tôi sẽ tăng lên bao nhiêu trong x đơn vị thời gian (giả sử tăng trưởng liên tục 100%).
• Ví dụ, sau 3 khoảng thời gian, tôi sẽ nhận được e 3 = 20,08 lần số "thứ".

e x là hệ số tỷ lệ cho biết chúng ta sẽ phát triển đến mức nào trong x khoảng thời gian.

Lôgarit tự nhiên có nghĩa là thời gian

Lôgarit tự nhiên là nghịch đảo của e, một thuật ngữ ưa thích cho điều ngược lại. Nói về những điều kỳ quặc; trong tiếng Latinh nó được gọi là logarit tự nhiên, do đó viết tắt ln.

Và điều này có nghĩa là gì?

• e x cho phép chúng tôi cắm vào thời gian và có được sự phát triển.
• ln (x) cho phép chúng ta tính toán mức tăng trưởng hoặc thu nhập và tìm ra thời gian cần thiết để có được nó.

Ví dụ:

• e 3 bằng 20,08. Trong ba khoảng thời gian, chúng ta sẽ có gấp 20,08 lần so với lúc đầu.
• ln (20,08) sẽ là khoảng 3. Nếu bạn quan tâm đến mức tăng 20,08 lần, bạn sẽ cần gấp 3 lần (một lần nữa, giả sử tăng trưởng liên tục 100%).

Bạn vẫn đang đọc? Lôgarit tự nhiên cho biết thời gian cần thiết để đạt được mức mong muốn.

Số lượng lôgarit không chuẩn này

Bạn đã trải qua logarit - chúng là những sinh vật kỳ lạ. Làm thế nào họ xoay sở để biến phép nhân thành phép cộng? Còn phép chia thành phép trừ thì sao? Chúng ta hãy xem xét.

Ln (1) bằng bao nhiêu? Theo trực giác, câu hỏi đặt ra là: tôi phải đợi bao lâu để nhận được gấp 1 lần những gì tôi có?

Số không. Số không. Không có gì. Bạn đã có nó một lần. Không mất bất kỳ thời gian nào để phát triển từ cấp độ 1 lên cấp độ 1.

• log (1) = 0

Được rồi, còn giá trị phân số thì sao? Sau bao lâu thì chúng ta có 1/2 số còn lại? Chúng ta biết rằng với tốc độ tăng trưởng liên tục 100%, ln (2) có nghĩa là thời gian cần để tăng gấp đôi. Nếu chúng ta quay ngược thời gian(tức là đợi một khoảng thời gian âm), sau đó chúng ta nhận được một nửa những gì chúng ta có.

• ln (1/2) = -ln (2) = -0,693

Hợp lý, phải không? Nếu quay ngược thời gian (quay ngược thời gian) 0,693 giây, chúng ta sẽ tìm thấy một nửa số tiền hiện có. Nói chung, bạn có thể lật phân số và nhận giá trị âm: ln (1/3) = -ln (3) = -1,09. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta quay ngược thời gian tới 1,09 lần, chúng ta sẽ chỉ tìm thấy một phần ba số hiện tại.

Được rồi, còn lôgarit của một số âm thì sao? Mất bao lâu để "phát triển" một đàn vi khuẩn từ 1 đến -3?

Điều đó là không thể! Bạn không thể nhận được một số lượng vi khuẩn âm tính, bạn có thể? Bạn có thể nhận tối đa (uh ... tối thiểu) là 0, nhưng không có cách nào bạn có thể nhận được số âm của những sinh vật nhỏ này. Số lượng vi khuẩn âm tính đơn giản là không có ý nghĩa.

• ln (số âm) = không xác định

"Không xác định" có nghĩa là không có khoảng thời gian nào mà người ta phải đợi để nhận được giá trị âm.

Phép nhân logarit rất vui nhộn

Mất bao lâu để tăng trưởng gấp bốn lần? Tất nhiên, bạn chỉ có thể lấy ln (4). Nhưng quá dễ, chúng ta sẽ đi theo hướng khác.

Bạn có thể coi việc tăng gấp bốn lần là nhân đôi (yêu cầu ln (2) đơn vị thời gian) và sau đó nhân đôi một lần nữa (yêu cầu một đơn vị thời gian ln (2) khác):

• Thời gian để tăng gấp 4 lần = ln (4) = Thời gian tăng gấp đôi rồi lại nhân đôi = ln (2) + ln (2)

Hấp dẫn. Bất kỳ tốc độ tăng trưởng nào, chẳng hạn như 20, có thể được coi là tăng gấp đôi ngay lập tức sau khi tăng gấp 10 lần. Hoặc tăng trưởng 4 lần, và sau đó 5 lần. Hoặc tăng gấp ba lần và sau đó là tăng gấp 6,666 lần. Xem mẫu?

• ln (a * b) = ln (a) + ln (b)

Lôgarit của A lần B là log (A) + log (B). Mối quan hệ này ngay lập tức có ý nghĩa nếu bạn hoạt động theo hướng tăng trưởng.

Nếu bạn quan tâm đến sự tăng trưởng 30 lần, bạn có thể đợi ln (30) trong một lần hoặc đợi ln (3) nhân ba lần, rồi một ln (10) khác nhân với mười. Kết quả cuối cùng là như nhau, nên tất nhiên thời gian phải không đổi (và không đổi).

Còn về sự phân chia? Cụ thể, ln (5/3) có nghĩa là: bao lâu thì tăng lên 5 lần rồi thu được 1/3?

Tuyệt vời, hệ số của 5 là ln (5). Tăng 1/3 lần sẽ mất -ln (3) đơn vị thời gian. Cho nên,

• ln (5/3) = ln (5) - ln (3)

Điều này có nghĩa là: hãy để nó tăng lên 5 lần, và sau đó "quay ngược thời gian" đến mức chỉ còn lại một phần ba số tiền đó, vì vậy bạn sẽ có được mức tăng trưởng 5/3. Nói chung, nó bật ra

• ln (a / b) = ln (a) - ln (b)

Tôi hy vọng số học kỳ lạ của logarit bắt đầu có ý nghĩa với bạn: nhân tỷ lệ tăng trưởng trở thành cộng đơn vị thời gian tăng trưởng và chia trở thành trừ đơn vị thời gian. Đừng học thuộc các quy tắc, hãy cố gắng hiểu chúng.

Sử dụng lôgarit tự nhiên để tăng trưởng tùy ý

Tất nhiên, - bạn nói, - tất cả đều tốt nếu mức tăng trưởng là 100%, nhưng còn 5% mà tôi nhận được thì sao?

Không vấn đề gì. "Thời gian" mà chúng ta tính toán với ln () thực sự là sự kết hợp của lãi suất và thời gian, cùng một X từ phương trình e x. Chúng tôi vừa chọn đặt tỷ lệ phần trăm thành 100% cho đơn giản, nhưng chúng tôi có thể sử dụng bất kỳ con số nào.

Giả sử chúng tôi muốn đạt được mức tăng trưởng gấp 30 lần: chúng tôi lấy ln (30) và nhận được 3,4 Điều này có nghĩa là:

• e x = chiều cao
• e 3,4 = 30

Rõ ràng, phương trình này có nghĩa là "lợi tức 100% trong 3,4 năm tăng lên 30 lần." Chúng ta có thể viết phương trình này như sau:

• e x = e rate * thời gian
• e 100% * 3,4 năm = 30

Chúng tôi có thể thay đổi các giá trị của "tỷ lệ" và "thời gian", miễn là tỷ lệ * thời gian vẫn là 3,4. Ví dụ, nếu chúng ta quan tâm đến mức tăng trưởng gấp 30 lần, chúng ta sẽ phải đợi bao lâu ở mức lãi suất 5%?

• log (30) = 3,4
• tỷ lệ * thời gian = 3,4
• 0,05 * thời gian = 3,4
• thời gian = 3,4 / 0,05 = 68 năm

Tôi lập luận như thế này: "ln (30) = 3,4, vì vậy với tốc độ tăng trưởng 100% thì sẽ mất 3,4 năm. Nếu tôi tăng gấp đôi tốc độ tăng trưởng, thời gian cần thiết sẽ giảm đi một nửa."

• 100% trong 3,4 năm = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% trong 1,7 năm = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% trong 6,8 năm = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% trong 68 năm = 0,05 * 68 = 3,4.

Thật tuyệt vời đúng không? Lôgarit tự nhiên có thể được sử dụng với bất kỳ lãi suất và thời gian nào, miễn là tích của chúng không đổi. Bạn có thể di chuyển các giá trị của các biến tùy thích.

Ví dụ xấu: Quy tắc bảy mươi hai

Quy tắc bảy mươi hai là một kỹ thuật toán học cho phép bạn ước tính mất bao lâu để số tiền của bạn tăng gấp đôi. Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra nó (vâng!), Và hơn thế nữa, chúng ta sẽ cố gắng hiểu bản chất của nó.

Mất bao lâu để tăng gấp đôi số tiền của bạn với tỷ lệ 100% tăng hàng năm?

Op-pa. Chúng tôi đã sử dụng logarit tự nhiên cho trường hợp tăng trưởng liên tục và bây giờ bạn đang nói về khoản tích lũy hàng năm? Công thức này sẽ không phù hợp với trường hợp như vậy sao? Có, sẽ có, nhưng đối với lãi suất thực như 5%, 6%, hoặc thậm chí 15%, sự khác biệt giữa lãi kép hàng năm và tăng trưởng liên tục sẽ rất nhỏ. Vì vậy, ước tính sơ bộ hoạt động, uh, một cách đại khái, vì vậy chúng tôi sẽ giả sử chúng tôi có một khoản tích lũy hoàn toàn liên tục.

Bây giờ câu hỏi rất đơn giản: Bạn có thể tăng gấp đôi với tốc độ tăng trưởng 100% nhanh đến mức nào? ln (2) = 0,693. Phải mất 0,693 đơn vị thời gian (trong trường hợp của chúng tôi là năm) để tăng gấp đôi số tiền của chúng tôi với mức tăng trưởng liên tục 100%.

Vì vậy, nếu lãi suất không phải là 100%, mà giả sử là 5% hoặc 10% thì sao?

Một cách dễ dàng! Vì tỷ lệ * thời gian = 0,693, chúng tôi sẽ tăng gấp đôi số tiền:

• tỷ lệ * thời gian = 0,693
• thời gian = 0,693 / tỷ lệ

Vì vậy, nếu tăng trưởng là 10% thì sẽ mất 0,693 / 0,10 = 6,93 năm để tăng gấp đôi.

Để đơn giản hóa các phép tính, hãy nhân cả hai phần với 100, sau đó chúng ta có thể nói "10" chứ không phải "0,10":

• thời gian nhân đôi = 69,3 / lần đặt cược, trong đó tiền cược được biểu thị bằng tỷ lệ phần trăm.

Bây giờ đã đến lúc tăng gấp đôi ở mức 5%, 69,3 / 5 = 13,86 năm. Tuy nhiên, 69,3 không phải là mức cổ tức thuận lợi nhất. Hãy chọn một số gần đúng, 72, con số này chia hết thuận tiện cho 2, 3, 4, 6, 8 và các số khác.

• thời gian nhân đôi = 72 / lần đặt cược

đó là quy tắc của bảy mươi hai. Mọi thứ đều được che đậy.

Nếu bạn cần tìm thời gian để tăng gấp ba lần, bạn có thể sử dụng ln (3) ~ 109,8 và nhận được

• thời gian tăng gấp ba lần = 110 / lần đặt cược

Đó là một quy tắc hữu ích khác. "Quy tắc 72" áp dụng cho sự gia tăng lãi suất, sự gia tăng dân số, nền văn hóa vi khuẩn và bất cứ thứ gì phát triển theo cấp số nhân.

Cái gì tiếp theo?

Tôi hy vọng lôgarit tự nhiên bây giờ có ý nghĩa với bạn - nó cho biết thời gian cần thiết để bất kỳ số nào phát triển theo cấp số nhân. Tôi nghĩ nó được gọi là tự nhiên bởi vì e là thước đo phổ quát của sự tăng trưởng, vì vậy ln có thể được coi là một cách phổ biến để xác định thời gian phát triển của nó.

Mỗi khi bạn nhìn thấy ln (x), hãy nhớ "thời gian nó tăng lên x lần". Trong một bài báo sắp tới, tôi sẽ mô tả kết hợp giữa e và ln, để hương thơm tươi mát của toán học sẽ tràn ngập trong không khí.

Phần bổ sung: Lôgarit tự nhiên của e

Câu đố nhanh: ln (e) sẽ bằng bao nhiêu?

• rô bốt toán học sẽ nói: vì chúng được định nghĩa là nghịch đảo của nhau, hiển nhiên là ln (e) = 1.
• người hiểu biết: ln (e) là số lần lớn lên lần "e" (khoảng 2,718). Tuy nhiên, bản thân số e là thước đo tăng trưởng theo hệ số 1, do đó ln (e) = 1.

Suy nghĩ rõ ràng.

Ngày 9 tháng 9 năm 2013

lôgarit tự nhiên

Đồ thị của hàm số lôgarit tự nhiên. Hàm từ từ tiến tới dương vô cùng khi x và nhanh chóng tiếp cận âm vô cùng khi x có xu hướng về 0 (“chậm” và “nhanh” so với bất kỳ hàm công suất nào của x).

lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số , ở đâu e là một hằng số vô tỷ bằng xấp xỉ 2,718281 828. Lôgarit tự nhiên thường được ký hiệu là ln ( x), nhật ký e (x) hoặc đôi khi chỉ ghi nhật ký ( x) nếu cơ sở e bao hàm.

Lôgarit tự nhiên của một số x(Viết như log (x)) là số mũ mà bạn muốn nâng số lên e, Để có được x. Ví dụ, ln (7,389 ...) bằng 2 vì e 2 =7,389... . Lôgarit tự nhiên của chính số e (ln (e)) bằng 1 vì e 1 = e và logarit tự nhiên 1 ( log (1)) là 0 bởi vì e 0 = 1.

Lôgarit tự nhiên có thể được xác định cho bất kỳ số thực dương nào một như khu vực dưới đường cong y = 1/x từ 1 đến một. Tính đơn giản của định nghĩa này, phù hợp với nhiều công thức khác sử dụng lôgarit tự nhiên, đã dẫn đến cái tên "tự nhiên". Định nghĩa này có thể được mở rộng cho số phức, sẽ được thảo luận dưới đây.

Nếu chúng ta coi logarit tự nhiên là một hàm thực của một biến số thực, thì nó là hàm ngược của hàm mũ, dẫn đến đồng nhất:

Giống như tất cả các logarit, logarit tự nhiên ánh xạ phép nhân với phép cộng:

Do đó, hàm logarit là một phép đồng phân của nhóm các số thực dương đối với phép nhân với nhóm các số thực bằng phép cộng, có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm:

Lôgarit có thể được xác định cho bất kỳ cơ số dương nào khác với 1, không chỉ e, nhưng logarit cho các cơ số khác chỉ khác với logarit tự nhiên bởi một hệ số không đổi và thường được định nghĩa theo logarit tự nhiên. Logarit rất hữu ích để giải các phương trình trong đó ẩn số có mặt dưới dạng số mũ. Ví dụ, logarit được sử dụng để tìm hằng số phân rã cho chu kỳ bán rã đã biết, hoặc để tìm thời gian phân rã trong việc giải các bài toán về phóng xạ. Chúng đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học ứng dụng, được sử dụng trong lĩnh vực tài chính để giải quyết nhiều vấn đề, bao gồm cả việc tìm kiếm lãi kép.

Câu chuyện

Đề cập đầu tiên về lôgarit tự nhiên được thực hiện bởi Nicholas Mercator trong công trình của mình Logarithmotechnia, được xuất bản vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán học John Spydell đã biên soạn một bảng logarit tự nhiên vào năm 1619. Trước đây, nó được gọi là logarit hypebol vì nó tương ứng với diện tích dưới hyperbol. Đôi khi nó được gọi là logarit Napier, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này có phần khác nhau.

Quy ước ký hiệu

Lôgarit tự nhiên thường được ký hiệu là "ln ( x) ”, Logarit cơ số 10 đến“ lg ( x) ", và theo thông lệ, bạn nên biểu thị các căn cứ khác một cách rõ ràng bằng ký hiệu" log ".

Trong nhiều bài báo về toán học rời rạc, điều khiển học, khoa học máy tính, các tác giả sử dụng ký hiệu “log ( x) "đối với logarit đến cơ số 2, nhưng quy ước này không được chấp nhận rộng rãi và yêu cầu phải làm rõ, trong danh sách ký hiệu được sử dụng hoặc (nếu không có danh sách này) bằng chú thích cuối trang hoặc nhận xét về lần sử dụng đầu tiên.

Các dấu ngoặc quanh đối số của logarit (nếu điều này không dẫn đến việc đọc sai công thức) thường bị bỏ qua và khi nâng logarit lên thành lũy thừa, số mũ được quy trực tiếp vào dấu của logarit: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Hệ thống Anh-Mỹ

Các nhà toán học, thống kê và một số kỹ sư thường sử dụng "log ( x) ", hoặc" ln ( x) "và để biểu thị logarit cho cơ số 10 -" log 10 ( x)».

Một số kỹ sư, nhà sinh vật học và các chuyên gia khác luôn viết "ln ( x) "(hoặc thỉnh thoảng" log e ( x) ") khi chúng có nghĩa là logarit tự nhiên và ký hiệu" log ( x) "có nghĩa là nhật ký 10 ( x).

khúc gỗ e là logarit "tự nhiên" vì nó xảy ra tự động và xuất hiện rất thường xuyên trong toán học. Ví dụ, hãy xem xét bài toán về đạo hàm của một hàm số lôgarit:

Nếu căn cứ b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1 / x, và khi x= 1 đạo hàm này bằng 1. Một cách biện minh khác mà cơ số e logarit là tự nhiên nhất, là nó có thể được định nghĩa khá đơn giản dưới dạng tích phân đơn giản hoặc chuỗi Taylor, không thể nói về các logarit khác.

Các cơ sở khác về tính tự nhiên không được kết nối với số lượng. Vì vậy, chẳng hạn, có một số chuỗi đơn giản với logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator đã gọi họ là logarit tự nhiên vài thập kỷ cho đến khi Newton và Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân.

Sự định nghĩa

Chính thức ln ( một) có thể được định nghĩa là diện tích dưới đường cong của biểu đồ 1 / x từ 1 đến một, tức là dưới dạng tích phân:

Nó thực sự là một lôgarit vì nó thỏa mãn tính chất cơ bản của một lôgarit:

Điều này có thể được chứng minh bằng cách giả định như sau:

Giá trị số

Để tính giá trị số của lôgarit tự nhiên của một số, bạn có thể sử dụng khai triển của nó trong một chuỗi Taylor ở dạng:

Để có được tỷ lệ hội tụ tốt nhất, bạn có thể sử dụng danh tính sau:

miễn là y = (x−1)/(x+1) và x > 0.

Đối với ln ( x), ở đâu x> 1, giá trị càng gần x thành 1, tốc độ hội tụ càng nhanh. Các nhận dạng liên quan đến lôgarit có thể được sử dụng để đạt được mục tiêu:

Những phương pháp này đã được sử dụng ngay cả trước khi máy tính ra đời, trong đó các bảng số được sử dụng và các thao tác tương tự như mô tả ở trên đã được thực hiện.

Độ chính xác cao

Để tính toán lôgarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, chuỗi Taylor không hiệu quả vì sự hội tụ của nó chậm. Một giải pháp thay thế là sử dụng phương pháp của Newton để đảo ngược thành một hàm số mũ, có chuỗi hội tụ nhanh hơn.

Một thay thế cho độ chính xác tính toán rất cao là công thức:

ở đâu M biểu thị giá trị trung bình số học-hình học của 1 và 4 / s, và

mđược chọn để Pđánh dấu về độ chính xác đạt được. (Trong hầu hết các trường hợp, giá trị của m là 8 là đủ). (Các hằng số ln 2 và pi có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn bằng cách sử dụng bất kỳ chuỗi hội tụ nhanh nào đã biết.)

Tính phức tạp

Độ phức tạp tính toán của logarit tự nhiên (sử dụng trung bình số học-hình học) là O ( M(N) ln N). Đây N là số chữ số có độ chính xác mà lôgarit tự nhiên sẽ được đánh giá, và M(N) là độ phức tạp tính toán của việc nhân hai N-số chữ số.

Phân số tiếp tục

Mặc dù không có phân số liên tục đơn giản nào để biểu diễn lôgarit, nhưng có thể sử dụng một số phân số liên tục tổng quát hóa, bao gồm:

Logarit phức tạp

Hàm mũ có thể được mở rộng thành hàm cho một số phức có dạng e x cho bất kỳ số phức tùy ý nào x, trong khi sử dụng một chuỗi vô hạn với một phức hợp x. Hàm mũ này có thể được đảo ngược để tạo thành một lôgarit phức tạp sẽ có hầu hết các tính chất của lôgarit thông thường. Tuy nhiên, có hai khó khăn: không có x, mà e x= 0, và hóa ra là e 2số Pi = 1 = e 0. Vì thuộc tính số nhân có giá trị đối với một hàm số mũ phức, nên e z = e z+2npi cho tất cả phức tạp z và toàn bộ N.

Lôgarit không thể được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức và thậm chí vì vậy nó là đa giá trị - bất kỳ lôgarit phức tạp nào cũng có thể được thay thế bằng một lôgarit "tương đương" bằng cách cộng bất kỳ bội số nguyên nào của 2 số Pi. Lôgarit phức chỉ có thể có giá trị đơn trên một lát cắt của mặt phẳng phức. Ví dụ ln tôi = 1/2 số Pi hoặc 5/2 số Pi hoặc −3/2 số Pi, v.v., và mặc dù tôi 4 = 1,4log tôi có thể được định nghĩa là 2 số Pi, hoặc 10 số Pi hoặc -6 số Pi, vân vân.

Xem thêm

• John Napier - nhà phát minh ra logarit

Ghi chú

1. Toán lý hóa. - lần thứ 3. - Báo chí Học thuật, 2005. - Tr 9. - ISBN 0-125-08347-5, Trích trang 9
2. J J O "Connor và E F Robertson Số e. Kho lưu trữ Lịch sử Toán học MacTutor (tháng 9 năm 2001). Đã lưu trữ
3. Cajori Florian Lịch sử Toán học, xuất bản lần thứ 5. - Nhà sách AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, MartinƯớc tính tích phân bằng cách sử dụng đa thức. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 2 năm 2012.

Các tính chất chính của lôgarit tự nhiên, đồ thị, miền xác định, tập giá trị, công thức cơ bản, đạo hàm, tích phân, khai triển trong một chuỗi lũy thừa và biểu diễn của hàm ln x bằng số phức được đưa ra.

Sự định nghĩa

lôgarit tự nhiên là hàm y = ln x, nghịch đảo với số mũ, x \ u003d e y và là lôgarit đối với cơ số e: ln x = log e x.

Lôgarit tự nhiên được sử dụng rộng rãi trong toán học vì đạo hàm của nó có dạng đơn giản nhất: (ln x) ′ = 1 / x.

Dựa trên định nghĩa, cơ số của lôgarit tự nhiên là số e:e ≅ 2.718281828459045 ...; .

Đồ thị của hàm số y = ln x.

Đồ thị của lôgarit tự nhiên (các hàm y = ln x) nhận được từ đồ thị của số mũ bởi phản xạ gương về đường thẳng y = x.

Lôgarit tự nhiên được xác định cho các giá trị dương của x. Nó tăng đơn điệu trên miền định nghĩa của nó.

Như x → 0 giới hạn của lôgarit tự nhiên là trừ vô cùng (- ∞).

Khi x → + ∞, giới hạn của lôgarit tự nhiên là cộng vô cùng (+ ∞). Đối với x lớn, logarit tăng khá chậm. Bất kỳ hàm lũy thừa nào x a với số mũ dương a đều phát triển nhanh hơn logarit.

Tính chất của lôgarit tự nhiên

Miền xác định, tập hợp giá trị, cực trị, tăng, giảm

Lôgarit tự nhiên là một hàm tăng đơn điệu, vì vậy nó không có cực trị. Các tính chất chính của lôgarit tự nhiên được trình bày trong bảng.

ln x giá trị

log 1 = 0

Công thức cơ bản cho logarit tự nhiên

Các công thức phát sinh từ định nghĩa của hàm ngược:

Tính chất chính của logarit và hệ quả của nó

Công thức thay thế cơ sở

Bất kỳ lôgarit nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng lôgarit tự nhiên bằng cách sử dụng công thức thay đổi cơ số: Cách chứng minh các công thức này được trình bày trong phần "Lôgarit".

Chức năng trái ngược

Số nghịch đảo của lôgarit tự nhiên là số mũ.

Nếu, thì

Nếu, sau đó.

Đạo hàm ln x

Đạo hàm của lôgarit tự nhiên: . Đạo hàm của logarit tự nhiên của modulo x: . Đạo hàm của đơn hàng thứ n: . Bắt nguồn của công thức>>>

Tích phân

Tích phân được tính bằng tích phân theo các phần: . Cho nên,

Biểu thức dưới dạng số phức

Xét một hàm của biến phức z: . Hãy biểu diễn biến phức z thông qua mô-đun r và tranh luận φ : . Sử dụng các tính chất của lôgarit, chúng ta có: . Hoặc . Đối số φ không được xác định duy nhất. Nếu chúng ta đặt , với n là một số nguyên, thì nó sẽ là cùng một số cho n khác nhau.

Do đó, lôgarit tự nhiên, với tư cách là một hàm của một biến phức, không phải là một hàm đơn giá trị.

Mở rộng chuỗi nguồn

Đối với, việc mở rộng diễn ra:

Người giới thiệu: TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.