[LỜI GIẢI] Tổng Các Nghiệm Của Phương Trình Log 2cos X = 2log 3cot ...

Có thể bạn quan tâm

LUYỆN TẬP TRẮC NGHIỆM 50000+ CÂU HỎI

DÀNH CHO MỌI LỚP 6 ĐẾN 12

TRUY CẬP NGAY XEM CHI TIẾT

Tổng các nghiệm của phương trình log 2cos x = 2log 3cot x trên đoạn [0;20] bằng

Câu hỏi

Nhận biết

Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;20]\) bằng

A. \(7\pi \) B. \(13\pi \) C. \(\dfrac{{40\pi }}{3}\) D. \(\dfrac{{70\pi }}{3}\)

Đáp án đúng: C

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x > 0\\\cot x > 0\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {\log _2}\cos x = 2{\log _3}\cot x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x = {2^t}\\\cot x = {3^{\dfrac{t}{2}}}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\cot ^2}x = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {3^t} = \dfrac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} \Leftrightarrow {3^t} - {12^t} = {4^t} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} + {12^t} \Leftrightarrow 1 = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\ln \dfrac{4}{3} + {4^t}\ln 4 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - 1}} + {4^{ - 1}} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) nên \(t = - 1\) là nghiệm duy nhất của (*).

\( \Leftrightarrow {\log _2}\cos x = - 1 \Leftrightarrow \cos x = {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(x \in \left[ {0;20} \right] \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \le 20 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{{20 - \dfrac{\pi }{6}}}{{2\pi }}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{7\pi }}{3};\dfrac{{13\pi }}{3};\dfrac{{19\pi }}{3}} \right\}\).

Tổng các nghiệm là \(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{7\pi }}{3} + \dfrac{{13\pi }}{3} + \dfrac{{19\pi }}{3} = \dfrac{{40\pi }}{3}\).

Chọn C.

Ý kiến của bạn Hủy

Luyện tập

Phòng tự luyện, thi thử
Khóa học, tài liệu
Cách tự học

Câu hỏi liên quan

Giải phương trình: (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 0
Chi tiết
Giải phương trình : z3 + i = 0
Chi tiết
Giải phương trình 72x + 1 – 8.7x + 1 = 0.
Chi tiết
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 4 = 0, đường thẳng d: = = và đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x = 1, y + z - 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ và (P) biết rằng tâm của mặt cầu có tọa độ nguyên.
Chi tiết
Câu 2: Đề thi thử THPT Hà Trung - Thanh Hóa

Chi tiết
câu 2

Chi tiết
câu 7

Chi tiết
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho z1 = là số thực và z2 = là số ảo.
Chi tiết
Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = 4 – 5i trên tập số phức.
Chi tiết
Giải phương trình 31 – x – 3x + 2 = 0.
Chi tiết