Lũy Thừa Và Logarit, Bài Tập áp Dụng - Toán 12 - HayHocHoi

Bài viết này sẽ hệ thống lại kiến thức về Lũy thừa và Logarit có bài tập áp dụng và lời giải chi tiết để các em học sinh THPT lớp 12 ôn tập.

I. Tóm tắt lý thuyết vè Lũy thừa và Logarit

1. Lũy thừa

* Khái niệm về lũy thừa

• Định nghĩa 1.1 (lũy thừa với số mũ nguyên)

Cho n là số nguyên dương, với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

 với a≠0, a0=1, 

Chú ý: 00 và 0-n không có nghĩa

• Định nghĩa 1.2 (căn bậc n)

Cho số thực b và số nguyên dương n (n≥2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an=b.

* Nhận xét:

i) Với n lẻ và b∈R. Có duy nhất một căn bậc n của b ký hiệu là: 

ii) Với n chẵn:

• b<0: Không tồn tại căn bậc n của b
• b=0, 
• b>0, có 2 căn trái dấu ký hiệu giá trị dương là  và giá trị âm là 

• Định nghĩa 1.3 (lũy thừa với số mũ hữu tỉ)

cho số thực a dương và số hữu tỉ  trong đó m∈Z và n∈N, n≥2 lũy thừa của a với số mũ r là số ar được xác định bởi:

* Lưu ý: khi xét lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta chỉ xét cơ số a dương.

* Các tính chất về lũy thừa

+ Tính chất 1.1 (về lũy thừa)

1. am.an=am+n

2. (a.b)n=an.bn

3. (an)m=(am)n=am.n

4. 

5. 

Lưu ý: khi xét lũy thừa với số mũ nguyên các tính chất trên vẫn đúng khi cơ số a là một số thực tùy ý.

+ Tính chất 2 (về căn bậc n)

cho a,b∈R, m,n∈N (m,n≥2), khi đó ta có:

1. 

2. 

3.  khi n lẻ;  khi n chẵn

4.  (a>0)

5. 

Lưu ý: Nếu số mũ m,n là số chẵn thì cơ số a, b phải thỏa mãn để căn thức có nghĩa.

+ Tính chất 1.3 (so sánh 2 lũy thừa)

Cho a∈R, m,n∈Z, khi đó:

• Với a>1 thì am>an khi và chỉ khi m>n
• Với 0<a<1 thì am>an khi và chỉ khi m<n

Từ tính chất 1.3 ta có hệ quả sau:

+ Hệ quả: Với 0<a<b và m là số nguyên thì

• am<an khi và chỉ khi m>0
• am>an khi và chỉ khi m<0

2. Logarit

* Khái niệm về Logarit

+ Định nghĩa 2.1 (logarit cơ số a của b)

Cho a,b>0 và b≠1, số α thỏa mãn aα=b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiêu là logab

+ Nhận xét:

• không có logarit của số âm và số 0
• Cơ số của logarit phải dương và khác 1

+ Định nghĩa 2.2 (Logarit thập phân)

Logarit thập phân là logarit cơ số 10, ký hiệu logb

+ Định nghĩa 2.3 (Logarit tự nhiên)

Logarit tự nhiên là logarit cơ số e, ký hiệu lnb

+ Lưu ý: 

* Các tính chất của Logarit

+ Tính chất 2.1 (quy tắc tính logarit)

1. loga1=0; logaa=1

2. logaan=n; 

3. loga(b.c)=logab+logac

4. 

5. 

6. 

7. 

8. logab=logac.logcb

9. 

* Chú ý: các số a, b, c trong công thức phải thỏa mãn để logarit có nghĩa.

+ Tính chất 2.2 (so sánh 2 logarit cùng cơ số)

Cho a>1, a≠0 và b,c>0

• Khi a>1 thì logab>logac ⇔ b>c
• Khi 0<a<1 thì logab>logac ⇔ b<c

- Từ tính chất 2.2 ta có ngay hệ quả sau đây.

+ Hệ quả 2.1

Cho a>1, a≠0 và b,c>0

• logab>0⇔ a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1
• logab=logac⇔ b=c

+ Tính chất 2.3 (so sánh 2 logarit khác cơ số)

Nếu 0<1<b<1 hoặc 1<a<b thì

• logax>logbx⇔ x>1
• logax<logbx⇔ 0<x<1

II. Bài tập áp dụng Lũy thừa và Logarit

° Bài tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa 

a)   b) 

* Lời giải:

a) 

b) 

° Bài tập 2: So sánh m và n

a) 3m > 3n   b) (1/9)m>(1/9)n

* Lời giải:

a) m>n

b) m<n

° Bài tập 3: Tìm điều kiện của a và x biết

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

 ⇔ 

 ⇔  ⇔ a = 1

b) 

 ⇔ 

 ⇔ 

 ⇔ 

 ⇔ 

° Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho

a) Cho log214 = a. Tính log4932 theo a

b) Cho log153 = a. Tính log2515 theo a

* Lời giải:

a) log4932 = log4925 = 5log492 = 5.log722 = (5/2)log72

Ta có:  log214 =  log27.2 = log27 + log22 = 1+log27 = a (theo đề bài)

⇒ log27 = a-1 = (1/log72)⇒ log72 = 1/(a-1)

vậy log4932 = (5/2)(log72)=(5/2)(1/(a-1)) = 5/2(a-1)

b) log2515 = log5215= (1/2)log5(5.3) = (1/2)(log55 + log53) = (1/2)(1+log53)

Ta có: log153 = 1/(log315) = 1/(log33 + log35) = 1/(1+log35)

⇒ 1/(1+log35) = a ⇒ (1+log35) =1/a ⇒ log35 =(1-a)/a ⇒ log53 = a/(1-a)

Vậy log2515 = (1/2)(1+log53) = (1/2)(1+a/(1-a))=1/(2-2a)

° Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: log303 = a; log305 =b Tính log301350 theo a,b.

* Lời giải:

- Ta có: log301350 = log30(10.3.3.3.5) = log3010 + log3033 + log305

 = log3010 + 3log303 + b =  log3010 + 3a + b. (*)

- Giờ ta đi tìm log3010 theo a,b.

- Bài ra, ta có:  

   (**)

- Lại có:   (***)

- Từ (**), ta có:  

- Từ (***) 

- Thế vào (*) ta được: log301350 = 1 - a + 3a + b = 2a + b + 1

>> Hàm số mũ và logarit, bài tập áp dụng