LUYỆN TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

LUYỆN TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x - 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x - 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 8: Chứng tỏ rằng:

a, x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x

b, 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a, Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x

Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.

b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x2 – 2x + 5

b, Q = 2x2 – 6x

c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Lời giải:

a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b, Ta có: Q = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4 )

= 2[(x - 2/3 ) - 9/4 ] = 2(x - 2/3 )2 - 9/2

Vì (x - 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x - 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 2/3 )2 - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x - 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x - 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x - 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x - 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x - 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x - 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a, A = 4x – x2 + 3

b, B = x – x2

c, N = 2x – 2x2 – 5

Lời giải:

a, Ta có: A = 4x – x2 + 3

= 7 – x2 + 4x – 4

= 7 – (x2 – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2

b, Ta có: B = x – x2

= 1/4 - x2 + x - 1/4

= 1/4 - (x2 – 2.x. 1/2 + 1/4)

= 1/4 - (x - 1/2)2

Vì (x - 1/2)2 ≥ 0 nên B = 1/4 - (x - 1/2)2 ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .

c, Ta có: N = 2x – 2x2 – 5

= - 2(x2 – x + 5/2)

= - 2(x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4)

= - 2[(x - 1/2)2 + 9/4 ]

= - 2(x - 1/2)2 - 9/2

Vì (x - 1/2 )2 ≥ 0 nên - 2(x - 1/2)2 ≤ 0

Suy ra: N = - 2(x - 1/2)2 - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 tại x = 1/2 .

Câu 11:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a – b)3 = -(b – a)3;                         b) (- a – b)2 = (a + b)2

Đáp án và hướng dẫn giải

a) (a – b)3 = -(b – a)3

Biến đổi vế phải thành vế trái:

-(b – a)3= -(b3 – 3b2a + 3ba2 – a3) = – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a – b)3 = [(-1)(b – a)]3 = (-1)3(b – a)3 = -13.(b – a)3 = – (b – a)3

b) (- a – b)2 = (a + b)2

Biến đổi vế trái thành vế phải:

(- a – b)2 = [(-a) + (-b)]2

= (-a)2 +2.(-a).(-b) + (-b)2

= a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(-a – b)2 = [(-1) . (a + b)]2 = (-1)2 . (a + b)2 = 1 . (a + b)2 = (a + b)2