LUYỆN TẬP NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

LUYỆN TẬP

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, (5x – 2y)(x2 – xy + 1)

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

c, 12 x2y2 (2x + y)(2x – y)

Lời giải:

a, (5x – 2y)(x2 – xy + 1)

= 5x3 – 5x2y + 5x – 2x2y + 2xy2 – 2y

= 5x3 – 7x2y + 5x + 2xy2 – 2y

b, (x – 1)(x + 1)(x + 2)

= (x2 + x – x – 1)(x + 2)

= (x2 – 1)(x + 2)

= x3 + 2x2 – x – 2

c, 12 x2y2 (2x + y)(2x – y)

= 12 x2y2 (4x2 – 2xy + 2xy – y3)

= 12 x2y2 (4x2 – y2)

= 2x4y2 - 12 x2y4

Bài 2: Thực hiện phép tính

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

b, (x – 7)(x – 5)

c, (x - 1/2 )(x + 1/2 )(4x - 1)

Lời giải:

a, (1/2 x – 1) (2x – 3)

= x2 - 3/2 x – 2x + 3

= x2 - 7/2 x + 3

b, (x –7)(x –5)

= x2 – 5x – 7x + 3/5

= x2 – 12x + 3/5

c, (x - 1/2 )(x + 1/2 )(4x - 1)

= (x2 + 1/2 x - 1/2 x - 1/4 )(4x - 1)

= (x2 - 1/4 )(4x - 1)

= 4x3 – x2 – x + 1/4

Bài 3: Chứng minh:

a, (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 - 1

b, (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x4 – y4

Lời giải:

a, Ta có: (x – 1)(x2 + x +1)

= x3 + x2 + x – x2 – x – 1

= x3 – 1

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y)

= x4 + x3y + x2y2 + xy3 – x3y – x2y2 – xy3 – y4

= x4 – y4

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 4: Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.

Lời giải:

Ta có: a chia cho 3 dư 1 ⇒ a = 3q + 1 (q ∈N)

b chia cho 3 dư 2 ⇒ b = 3k + 2 (k ∈N)

A.b = (3q +1)(3k + 2) = 9qk + 6q + 3k +2

Vì 9 ⋮ 3 nên 9qk ⋮ 3

Vì 6 ⋮ 3 nên 6q ⋮ 3

Vậy a.b = 9qk + 6q + 3k + 2 = 3(3qk + 2q + k) +2 chia cho 3 dư 2.

Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

Ta có: n(2n – 3) – 2n(n + 1) = 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = - 5n

Vì -5 ⋮ 5 nên -5n ⋮ 5 với mọi n ∈ Z .

Bài 6.

Tìm x, biết:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81.

Đáp án và hướng dẫn giải:

(12x – 5)(4x – 1) + (3x – 7)(1 -16x) = 81

4x(12x-5) – (12x-5) + (3x-7) -16x (3x-7) =81

48x2 – 12x – 20x + 5 + 3x – 48x2 – 7 + 112x = 81

83x – 2 = 81

83x = 83

x = 1

Bài 7

Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192.

Đáp án và hướng dẫn giải:

Gọi ba số chẵn liên tiếp là a, a + 2, a + 4.

Ta có: (a + 2)(a + 4) – a(a + 2) = 192

a2 + 4a + 2a + 8 – a2 – 2a = 192

4a = 192 – 8 = 184

a = 46

Vậy ba số đó là 46, 48, 50.

Cách khác giải bài 14:

Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2x + 2 và 2x + 4 với x ∈ N

Ta có: (2x + 2)(2x +4) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 2x(2x + 2) + 4(2x + 2) = 2x(2x + 2) + 192

<=> 4x2 + 4x + 8x + 8 = 4x2 + 4x + 192

<=> 4x2 + 4x + 8x - 4x2 - 4x = 192 - 8

<=> 8x = 184

=> x = 184 : 8 = 23

Các số tự nhiên cần tìm là: 46; 48 và 50

Bài 8

Làm tính nhân:

a) (1/2x + y)(1/2x + y);

b) (x -1/2y)(x – 1/2y)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (1/2x + y)(1/2x + y) = 1/2x . 1/2x +1/2 x . y + y . 1/2x + y . y

= 1/4x2 +1/2 xy +1/2 xy + y2

=1/4x2 + xy + y2

b) (x – 1/2y)(x – 1/2y) = x . x + x(-1/2y) + (-1/2y . x) + (- 1/2y)(-1/2y)

= x2 – 1/2xy – 1/2xy + 1/4y2

= x2 – xy + 1/4y2