Lý Thuyết Cấp Số Nhân | SGK Toán Lớp 11
Có thể bạn quan tâm
1. Định nghĩa
\(u_n\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)
Công bội \(q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}\).
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_2}\).
Ta có: \({u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15\).
2. Số hạng tổng quát
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2)\)
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_5}\).
Ta có:
\({u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405\).
3. Tính chất
\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) hay \(|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}},\) với \(k ≥ 2\)
Ví dụ:
Cho bốn số \(x;\,5;\,25;\,y\) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm \(x,\,y\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\)
Vậy \(x = 1,y = 125\).
4. Tổng n số hạng đầu
\({S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}\) \(= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\), \((q ≠ 1)\).
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({S_{10}}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}\)
5. Bài tập về cấp số nhân
Bài 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
A. $q = - 4\,.$
B. $q = 4.$
C. $q = - 12.$
D. $q = 10.$
Lời giải: Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).
Chọn đáp án A
Bài 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.
A. ${u_3} = 12.\,\,\,\,$
B. ${u_3} = - 12.$
C. ${u_3} = 16.$
D. ${u_3} = - 16.$
Lời giải: Ta có:
\({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)
Chọn đáp án A.
Bài 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.
A. ${S_5} = - 512$
B. ${u_5} = 256$
C. ${u_5} = - 512$
D. $q = 4$
Lời giải: Ta có:
${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$
Do đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512\).
\({S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410\)
Chọn đáp án C.
Bài 4. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?
A. số hạng thứ $103$
B. số hạng thứ $104$
C. số hạng thứ $105$
D. Đáp án khác
Lời giải: Ta có:
\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} \) \(\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)
Chọn đáp án B.
Bài 5. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.
A. ${u_7} = 12.$
B. ${u_7} = - 12.$
C. ${u_7} = - 2$
D. \({u_7} = 18\)
Lời giải: Ta có:
\(u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12\)
Chọn đáp án A.
Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:
A. \({u_n} = {5^n}\)
B. \({u_n} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{n + 1}}\)
C. \({u_n} = 5n + 1\)
D. \({u_n} = {4^n}\)
Lời giải: Ta có:
\({u_n} = {5^n}\) nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {5^n}\) là cấp số nhân.
Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.
Ta có:
\({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}\) nên ${u_{n + 1}} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 2}} = ( - \sqrt 3 ){u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - \sqrt 3 )$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}\) là cấp số nhân.
Ta có:
\({u_n} = 5n + 1\) nên \({u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.
Chọn đáp án C.
Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .
A. \({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
B. \({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
C. \({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
D. \({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)
Lời giải: Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)
\(\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)
Chọn đáp án B.
Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:
A. ${190^0}$
B. ${191^0}$
C. ${192^0}$
D. ${193^0}$
Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \(A < B < C < D\).
Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:
\(\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\)
Chọn đáp án C.
Từ khóa » Tìm Csn
-
Cách Tìm Số Hạng đầu Tiên, Công Bội, Số Hạng Thứ K Của Cấp Số Nhân ...
-
CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN
-
Tìm Hiểu Công Thức Cấp Số Nhân Và Các Dạng Bài Tập đầy đủ - Vgbc
-
Cách Tìm Số Hạng đầu Và Công Bội Của Cấp Số Nhân
-
Cấp Số Nhân Là Gì? Công Thức Tính Tổng Cấp Số Nhân Và Bài Tập
-
8+ Công Thức Cấp Số Nhân đầy đủ - DaoHam
-
Giải Toán 11 Bài 4. Cấp Số Nhân
-
Tìm Cấp Số Nhân Biết CSN Có 5 Số Hạng Và Công Bội Q=1/4 - Thuy Tien
-
Tìm Csn A;b;c Biết A - Hoc24
-
Tìm 4 Số Lập Thành Một CSN Biết Tổng Bốn Số Bằng 15 Và Tổng Các ...
-
Tìm Csn Biết : A) U1+u2+u3+u4=30 B) U5-u1=15 U5+u6+u7+u8=480 ...
-
Cách Tìm U1 Và Q Của Cấp Số Nhân - Thả Rông
-
Công Thức Giải Nhanh Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân | Tăng Giáp
-
Tìm 1 CSN Có 4 Số Hạng Biết Tổng Của Chúng Bằng 15 Và ... - Hoc24