Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai | SGK Toán Lớp 10

A. Lý thuyết

1. Tam thức bậc hai (một ẩn)

Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng $a{x^2} + bx + c$. Trong đó \(a,b,c\) là nhũng số cho trước với \(a \ne 0\).

Nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$; \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in R\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\dfrac{b}{2a}\).

Khi đó \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x ≠ -\dfrac{b}{2a}\).

- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\in ({x_1};{x_2})\)

Chú ý:

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể nhớ theo quy tắc “Trong trái ngoài cùng”, nghĩa là trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với \(a\), ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với \(a\)

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$.

$a{x^2} + bx + c > 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \ge 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c < 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$

$a{x^2} + bx + c \le 0,\,\forall x \in R\,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

B. Bài tập vận dụng

Bài 1:

a) Xét dấu tam thức \(3{x^2} - 2x + 1\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\a = 3 > 0\end{array} \right.\) suy ra \(3{x^2} - 2x + 1 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Xét dấu tam thức \( - {x^2} + 4x + 5\).

Phương trình \( - {x^2} + 4x + 5 = 0\) có \(\Delta  > 0\), a = -1 < 0, hai nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 5.

Bảng xét dấu:

Suy ra \( - {x^2} + 4x + 5 > 0\) khi \(x \in ( - 1;5)\) và \( - {x^2} + 4x + 5 < 0\) khi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (5; + \infty )\).

c) Xét dấu tam thức \( - 4{x^2} + 12x - 9\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\a =  - 4 < 0\end{array} \right.\), phương trình \( - 4{x^2} + 12x - 9 = 0\) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\).

Suy ra \( - 4{x^2} + 12x - 9 < 0\) \(\forall x \ne \frac{3}{2}\).

Bài 2: Tìm m để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm.

Với \(m = 0\) thì \(f(x) =  - x - 1\) vẫn có thể đạt giá trị dương nên loại m.

Với \(m \ne 0\) thì \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) là tam thức bậc hai.

Để \(f(x) < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta  = 1 + 4m < 0\end{array} \right.\) hay \( - \frac{1}{4} < m < 0\).

Vậy để biểu thức \(f(x) = m{x^2} - x - 1\) luôn âm thì \( - \frac{1}{4} < m < 0\).

Bài 3: Tìm m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Cần \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_1} \le 0\\{a_1} = 3 > 0\end{array} \right.\)

Ta có \(\Delta {'_1} = {(m + 1)^2} + 3(2{m^2} - 3m + 2) \le 0\) hay \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\).

Xét biểu thức \(7{m^2} - 7m + 7\) có \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} = {( - 7)^2} - 4.7.7 =  - 147 < 0\\{a_2} = 7 > 0\end{array} \right.\) nên \(7{m^2} - 7m + 7 > 0\).

Suy ra không có giá trị m nào để \(7{m^2} - 7m + 7 \le 0\), hay \(\Delta {'_1} \le 0\).

Vậy không có giá trị m để \(3{x^2} - 2(m + 1)x - 2{m^2} + 3m - 2 \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bài 4: Chứng minh hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.

ĐKXĐ: \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 \ge 0\) (*)

Với \(m = 0\) thì (*) đúng với mọi x.

Với \(m \ne 0\), xét tam thức bậc hai \(f(x) = {m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 8(2{m^2} + 1) =  - 12{m^2} - 8 < 0\end{array} \right.\)

Suy ra \({m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số \(y = \sqrt {{m^2}{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m + 5} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) với mọi m.