Lý Thuyết đường Tròn Nội Tiếp, Ngoại Tiếp đa Giác

1. Định nghĩa

a) Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.

b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

2. Định lí

Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

3. Công thức tính

Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều. Ta có:

$R=\frac{a}{2\sin \frac{{{180}^{{}^\circ }}}{n}}$, $r=\frac{a}{2\tan \frac{{{180}^{{}^\circ }}}{n}}$

Bài tập minh họa

Cho đa giác đều n cạnh \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}..{{A}_{n}}~\] có O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó và a là độ dài cạnh đa giác. Tính bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp đa giác đó theo a và n.

Hướng dẫn giải.

Vì \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}..{{A}_{n}}~\]à đa giác đều và O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác nên O cũng là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đó.

Nối  \[O{{A}_{1}},O{{A}_{2}}\] và kẻ \[OH\bot {{A}_{1}}{{A}_{2}}~\]

Xét \[\Delta O{{A}_{1}}{{H}_{2}}\] vuông tại H có: \[\widehat{{{A}_{1}}OH}=\frac{{{360}^{0}}}{2n}=\frac{{{180}^{0}}}{n}\]

\[\Rightarrow \sin \widehat{{{A}_{1}}OH}=\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}=\frac{{{A}_{1}}H}{O{{A}_{1}}}=\frac{\frac{a}{2}}{O{{A}_{1}}}\]

\[\Rightarrow O{{A}_{1}}=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\] hay \[R=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\]$$  

Lại có: \[OH=r\] là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác và  \[OH={{A}_{1}}H.\text{ }cotg\text{ }\widehat{{{A}_{1}}OH}\text{ = }\frac{a}{2}\text{ }cotg\text{ }\left( \frac{{{180}^{0}}}{n} \right)\]

Vậy \[R=\frac{a}{2.\sin \frac{{{180}^{0}}}{n}}\] và \[r=\frac{a}{2}.cotg\frac{{{180}^{0}}}{n}=\frac{a}{2.tg\frac{{{180}^{0}}}{n}}\]

Bài viết gợi ý:

1. Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

2. Bài toán về quỹ tích và cung chưa góc

3. Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và bên ngoài đường tròn

4. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

5. Lí thuyết về góc nội tiếp đường tròn

6. Hướng dẫn giải bài toán bằng cách lập phương trình

7. Giải phương trình bằng cách quy về phương trình bậc hai một ẩn