Lý Thuyết Giản Lược Về Tứ Diện (A Brief Theory Of Tetrahedron)

Xem đề thi đại học môn Toán mấy năm nay, tôi ngạc nhiên khi thấy câu hỏi hình học lặp đi lặp lại một chủ đề na ná giống nhau. Phải chăng người ra đề thi “thương” học trò? Vì nếu hỏi rộng ra, hỏi bất cứ vấn đề gì trong chương trình, thì e rằng nhiều học trò không làm được bài? Tôi cũng nghĩ như vậy – chương trình cải cách hiện nay ôm đồm quá nhiều kiến thức, học sinh không thể có đủ thì giờ nghiền ngẫm mọi vấn đề của hình học. Ngoài hình học thuần túy (hình học theo phương pháp Euclid) như chương trình cũ, học sinh ngày nay còn phải học Hình học Giải tích, mà trước đây thuộc chương trình đai học các ngành khoa học tự nhiên. Xu hướng “nâng cao” này, theo tôi, là rất bất hợp lý, vì tại sao lại bắt mọi người phải học Toán nhiều như thế để làm gì? Ra đời,ngay cả các kỹ sư cũng chẳng đụng gì đến Hình học Giải tích, Tích phân,… chứ còn nói gì đến những người không làm khoa học, kỹ thuật. Có người bảo học như thế để luyện trí thông minh, để mở mang hiểu biết, để “đuổi kịp thế giới”,… Tôi nói “bạn nhầm rồi, học như thế sẽ chẳng thông minh gì hơn đâu, mà còn tối tăm hơn đấy!”. Thật vậy, bị nhồi nhét kiến thức quá nhiều nên đa số học sinh rơi vào tình trạng cái gì cũng chỉ biết đại khái, biết hời hợt. Biết như thế cũng bằng không biết, thậm chí còn nguy hiểm hơn là không biết gì cả. Một tờ giấy trắng sẽ hữu dụng hơn một tờ giấy đầy ắp chữ nghĩa vỗ nghĩa, nhem nhuốc. Einstein từng phê phán gay gắt: “Học nhồi nhét tất yếu sẽ dẫn tới sự nông cạn và vô văn hóa”. Vậy trong khi chờ các nhà giáo dục “nghĩ lại”, tôi nghĩ phải làm gì để giúp học trò – tốt hơn hết là soạn những bài tổng kết môn Toán theo chủ đề một cách ngắn gọn nhất nhưng cơ bản nhất. Bài giảng sau đây là một thí dụ…

(click vào hình để xem với kích thước lớn hơn)

LÝ THUYẾT GIẢN LƯỢC VỀ TỨ DIỆN (A Brief Theory of Tetrahedron)

By PVHg

Lời nói đầu

Trong vật lý, hóa học, sinh học ta đều học được một bài học: nếu biết rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất của vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ hình học. Thật vậy, hình học, xét cho cùng, là khoa học về cấu trúc của vật chất. Đã có một thời (nửa đầu thế kỷ 20), trường phái Hilbert coi hình học là một khoa học thuần túy logic tách rời hiện thực – một sản phẩm của tư duy thuần túy. Định lý Bất toàn của Kurt Godel đã chứng minh quan điểm ấy là không tưởng và sai lầm. Ý nghĩa căn bản của hình học từ thời nguyên thủy đã sống lại: hình học không phải là sản phẩm thuần túy của tư duy, mà là bức tranh của tự nhiên do con người vẽ ra theo khả năng nhận thức, và vì thế sự phản ánh đó không bao giờ đầy đủ và chính xác tuyệt đối. Tuy nhiên, nhận thức và trải nghiệm của con người ngày càng sâu sắc để nhận ra rằng tự nhiên tuy đa dạng, phức tạp, nhưng được cấu trúc theo những mô hình xác định. Khám phá cấu trúc ấy chính là bản chất của hình học. Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học chính là tập hợp những mệnh đề về những mối quan hệ nền tảng đó. Trên nền tảng ấy, hình được nghiên cứu kỹ nhất là hình tam giác, vì tam giác là hình đơn giản nhất trong số tất cả các hình – mọi hình có thể coi là tổ hợp của các tam giác. Vì thế hiểu rõ tam giác có thể coi là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình phẳng. Các bài toán và định lý về tam giác đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học phẳng. Tương tự, trong không gian 3 chiều, hình đơn giản nhất là tứ diện. Mọi hình khối 3 chiều đều có thể coi là tổ hợp của các tứ diện. Vì thế việc nghiên cứu tứ diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong không gian 3 chiều. Các bài toán và định lý về tứ diện đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học 3 chiều. Điều đặc biệt lý thú là hầu hết các bài toán 2 chiều có thể suy rộng thành bài toán 3 chiều. Điều này nói lên rằng vũ trụ được xây dựng theo cấu trúc tầng tầng lớp lớp lặp đi lặp lại những cấu trúc nhất định. Các tầng cao hơn, rộng hơn, tuy phức tạp hơn nhưng thực ra cũng được xây dựng trên những nguyên lý cấu trúc nhất quán. Điều này có thể ví như sự sống tuy có cấu trúc vô cùng phức tạp và đa dạng, nhưng tất cả đều dựa trên cấu trúc DNA. “Phân tử DNA” của hình học 3 chiều là Tứ diện (Tetrahedron). Tứ diện là một hình không gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xác định bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện. Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện. 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện. Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chính là cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2 cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối. Giống như tam giác có 4 đường chủ yếu là trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, tứ diện cũng có những đường và mặt chủ yếu. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ cung cấp một cái nhìn toàn cảnh và sâu rộng về tứ diện, trong đó các yếu tố của tứ diện sẽ lộ ra dưới một cấu trúc nhất quán. Điều này cho thấy vũ trụ được tạo dựng theo một cấu trúc “có chủ ý”, thay vì một sự tình cờ ngẫu nhiên.

1/ Trọng tâm (Gravity Centre) 1.1/ Trọng tâm của Tam giác ● Trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh với trung điểm (trọng tâm) của cạnh đối diện. ● Trung tuyến chia tam giác thành 2 phần tương tương (diện tích bằng nhau). ● Trong tam giác vector trung tuyến bằng trung bình cộng của 2 vector cạnh cùng gốc với vector trung tuyến đó. ● Trong tam giác, 3 trung tuyến đồng quy tại một điểm chia trong mỗi trung tuyến theo tỷ số 1:2. Điểm đồng quy của 3 trung tuyến của tam giác là trọng tâm của tam giác (điểm đặt của trọng lực tác dụng lên tam giác). ● Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì  và tọa độ của G bằng trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh. 1.2/ Trọng tâm của Tứ diện Trong hệ tọa độ Đề-các Oxyz cho 4 điểm A(0;0;0), B(0;2;-2), C(2;0;-2), D(-2;2;0). ● Xác định tọa độ các trọng tâm A1, B1, C1, D1 lần lượt của các mặt đối diện với A, B, C, D. ● Gọi đoạn nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện là trọng tuyến. Viết phương trình của các trọng tuyến AA1, BB1, CC1, DD1. Chứng minh 4 trọng tuyến đồng quy tại một điểm. Gọi điểm ấy là trọng tâm G của tứ diện. Chứng minh trọng tâm G của tứ diện chia mỗi trọng tuyến theo tỷ số 1:3 và

Tọa độ của trọng tâm bằng trung bình cộng tọa độ 4 đỉnh ● Viết phương trình các mặt phẳng đi qua mỗi cạnh và trung điểm cạnh đối diện. Gọi các mặt phẳng ấy là trung diện. Chứng minh rằng mỗi trung diện chia tứ diện thành 2 phần tương đương (thể tích bằng nhau) và 6 trung diện đều đi qua trọng tâm của tứ diện. ● Viết phương trình đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh đối chéo nhau. Gọi đoạn thẳng ấy là trung đoạn. Chứng minh 3 trung đoạn đồng quy tại trọng tâm và trọng tâm chia mỗi trung đoạn thành 2 phần bằng nhau. ● Viết phương trình mặt phẳng đi qua các trung điểm M, N, P, Q lần lượt của AB, BC, CD, DA. Gọi mặt ấy là mặt trung bình. Chứng minh rằng mỗi mặt trung bình song song với 2 cạnh đối diện tương ứng với nó; mỗi mặt trung bình chia tứ diện thành 2 phần tương đương; 3 mặt trung bình cùng đi qua trọng tâm. ● Định lý tổng quát: Trong một tứ diện, 4 trọng tuyến, 6 trung diện, 3 trung đoạn, 3 mặt trung bình đều đi qua trọng tâm của tứ diện, trọng tâm chia trong mỗi trọng tuyến theo tỷ số 1:3 và chia các trung đoạn thành 2 phần bằng nhau.

2/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp (Circumscribed Sphere Centre) 2.1/ Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ● Định nghĩa đường trung trực: Trong một mặt phẳng, trung trực của một đoạn thẳng (perpendicular bisector of a line segment) là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy và đi qua trung điểm của đoạn thẳng ấy. ● Quỹ tích đường trung trực (tính chất đường trung trực) trong mặt phẳng: Trong một mặt phẳng, quỹ tích những điểm cách đều 2 đầu của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy. ● Trong không gian 2 chiều (mặt phẳng) Oxy, cho 2 điểm A(0;2), B(2;-2), viết phương trình đường trung trực của AB trong mặt phẳng đã cho. ● Định lý cơ bản: Trong một tam giác, 3 đường trung trực bao giờ cũng đồng quy tại một điểm, và điểm ấy cách đều 3 đỉnh của tam giác; nói cách khác, bất kỳ tam giác nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp với tâm là giao của 3 đường trung trực. ● Bất kỳ tam giác vuông nào cũng nội tiếp trong một đường tròn với tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền (Trong tam giác vuông, giao của 3 đường trung trực là trung điểm của cạnh huyền). ● Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(0;1), B(0;-1), C(-1;2). ● Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh bằng a. Cũng hỏi như thế với tam giác cân có cạnh bên bằng b và cạnh đáy bằng a. Cũng hỏi như thế với tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là b và c. 2.2/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ● Trong không gian (3 chiều), mỗi đoạn thẳng có thể có bao nhiêu đường trung trực? Tập hợp các đường trung trực ấy tạo thành cái gì? ● Định nghĩa mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy và đi qua trung điểm của đoạn thẳng ấy. ● Trong không gian 3 chiều Oxyz, cho 2 điêm A(1;2;3), B(-2;3;-1), viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB. ● Quỹ tích mặt trung trực (tính chất mặt trung trực): Quỹ tích những điểm cách đều 2 đầu của một đoạn thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ấy. ● Định nghĩa đường trục của một hình tròn (đường tròn): Đường trục của một hình tròn (đường tròn) là đường thẳng xuyên tâm của hình tròn (đường tròn) và vuông góc với mặt phẳng của hình tròn (đường tròn) ấy. ● Định nghĩa đường trục của một tam giác: Đường trục của một tam giác là đường trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác; nói cách khác, đường trục của một tam giác là đường thẳng xuyên tâm của tam giác (tâm đường tròn ngoại tiếp) và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. ● Quỹ tích đường trục (tính chất đường trục): Quỹ tích những điểm cách đều 3 đỉnh của một tam giác là đường trục của tam giác ấy. ● Cho tam giác ABC có A(1;2;3), B(2;3;1), C(3;1;2). Xác định tọa độ tâm của tam giác (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) và viết phương trình đường trục của tam giác. ● Chứng minh 3 mặt trung trực của 3 cạnh của tam giác cắt nhau theo đường trục của tam giác ● Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ, 4 đường trục đồng quy tại tâm mặt cầu ngoại tiếp. ● Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ, 6 mặt phẳng trung trực của 6 cạnh cùng đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp.

● Định lý tổng quát về mặt cầu ngoại tiếp của một tứ diện: Trong một tứ diện bất kỳ, 4 đường trục của 4 mặt và 6 mặt trung trực của 6 cạnh đồng quy tại tâm mặt cầu ngoại tiếp; nói cách khác, bất kỳ tứ diện nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp với tâm là giao của 4 đường trục của 4 mặt và 6 mặt trung trực của 6 cạnh.

● Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có A(-1;0;0), B(0;1;0), C(1;-1;1), D(1;1;-2).

● Chứng minh rằng giao tuyến của một mặt phẳng (P) với mặt cầu (C) là một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó nếu (P): và (C):

3/ Tứ diện trực tâm (Orthocentric Tetrahedron) Qua 2 mục trên ta thấy dường như các định lý trong tam giác đều có thể suy rộng một cách dễ dàng thành các định lý trong tứ diện: bài toán trọng tâm của tam giác có thể suy rộng thành bài toán trọng tâm của tứ diện; bài toán đường tròn ngoại tiếp của tam giác có thể suy rộng thành bài toán mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện. Vậy bài toán đường cao thì sao? Câu trả lời: mọi tam giác đều có trực tâm nhưng không phải mọi tứ diện đều có trực tâm. Một tứ diện muốn có trực tâm thì nó phải thỏa mãn những điều kiện nhất định. Nói cách khác, bài toán trực tâm trong tam giác muốn suy rộng ra không gian 3 chiều thì phải bổ sung những điều kiện nhất định. 3.1/ Trực tâm của tam giác ● Trong tam giác, 3 đường cao đồng quy tại một điểm, điểm ấy được gọi là trực tâm; nói cách khác, bất kỳ tam giác nào cũng có trực tâm. ● Tính chất của trực tâm: Đoạn đường cao từ trực tâm tới mỗi đỉnh bằng 2 lần đoạn trung trực từ tâm đường tròn ngoại tiếp tới cạnh đối diện với đỉnh ấy. Trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng, trong đó trọng tâm chia trong đoạn nối tâm với trực tâm theo tỷ số 1:2. 3.2/ Trực tâm của tứ diện trực tâm ● Định nghĩa: Tứ diện trực tâm là tứ diện có trực tâm, tức là 4 đường cao đồng quy ● Định lý cơ bản: Điều kiện cần và đủ để một tứ diện có trực tâm là các cạnh đối vuông góc từng đôi.

● Bổ đề: Nếu một tứ diện có 2 cặp đối vuông góc thì cặp thứ ba cũng vuông góc Từ bổ đề này suy ra rằng điều kiện cần và đủ để một tứ diện có trực tâm là nó có 2 cặp đối vuông góc. ● Tính chất 1: Trong tứ diện trực tâm, đường cao hạ từ mỗi đỉnh đi qua trực tâm mặt đối diện. ● Tính chất 2: Tứ diện trực tâm có tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau và ngược lạị ● Tính chất 3: Tứ diện trực tâm có 6 mặt trực giao (mặt đi qua một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện); 2 mặt trực giao đi qua 2 cạnh đối sẽ cắt nhau theo một giao tuyến chính là đoạn vuông góc chung của 2 cạnh đối ấy; nói cách khác, 3 đoạn vuông góc chung của 3 cặp cạnh đối đồng quy tại trực tâm. ● Định lý tổng quát về tứ diện trực tâm: Trong một tứ diện trực tâm, 4 đường cao, 6 mặt trực giao và 3 đoạn vuông góc chung của 3 cặp cạnh đối đều đi qua trực tâm. ● Tính chất 5: Trong không gian 3 chiều Đề-các Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(1;0;1), C(-1;1;0), D(1;-1;2). Xác định tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm mặt cầu ngoại tiếp I của tứ diện. Nhận xét các tính chất liên hệ 3 loại tâm đó với nhau.

4/ Tứ diện vuông (Tetrahedron having a trirectangular trihedron) ● Định nghĩa: Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện vuông – tam diện có 3 cạnh vuông góc với nhau từng đôi một. Các mặt có góc vuông gọi là các mặt vuông, mặt còn lại là mặt huyền. ● Định lý cơ bản: Tứ diện vuông là một tứ diện trực tâm, do đó nó có mọi tính chất của tứ diện trực tâm. ● Giống như tam giác vuông có trực tâm là đỉnh của góc vuông, tứ diện vuông có trực tâm là đỉnh của tam diện vuông – 4 đường cao đồng quy tại đỉnh của tam diện vuông, trong đó có 3 đường cao chính là 3 cạnh của tam diện vuông, đường cao thứ tư là đường cao thuộc mặt huyền. ● Mặt huyền là một tam giác có 3 góc đều nhọn. ● Diện tích mặt vuông bằng trung bình nhân của hình chiếu của nó trên mặt huyền với mặt huyền. ● Bình phương diện tích mặt huyền bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông (Định lý Pythagore trong không gian 3 chiều). ● Nếu các mặt vuông lần lượt tạo với mặt huyền các góc ● Cho tứ diện vuông OABC có O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Dựng hình để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu ấy. Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối. Kiểm tra mối liên hệ giữa trực tâm, trọng tâm và tâm mặt cầu ngoại tiếp.

5/ Liên hệ tứ diện với hộp ● Định lý 1: Từ một tứ diện cho trước, lấy 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh làm 3 chiều của hộp, bao giờ ta cũng dựng được một hình hộp tương ứng, gọi là hộp liên đới. Ngược lại, từ một hộp ta có thể “cắt gọt” ra những tứ diện liên đới với nó, gồm 4 tứ diện “vỏ” và 1 tứ diện “lõi”. Tứ diện “vỏ” có thể tích bằng 1/6 thể tích hộp, tứ diện “lõi” có thể tích bằng 1/3 thể tích hộp. ● Định lý 2: Đường chéo của hộp đi xuyên qua trọng tâm của mặt chung của tứ diện “vỏ” và tứ diện “lõi”. Chẳng hạn đường chéo AC’ đi xuyên qua trọng tâm của mặt CB’D’ – mặt chung của tứ diện “lõi” ACB’D’ và tứ diện “vỏ” CC’B’D’. Nói cách khác, đường chéo của hộp gồm 2 đoạn, đoạn dài là trọng tuyến của tứ diện “lõi”, đoạn ngắn là trọng tuyến của tứ diện “vỏ”, đoạn dài dài gấp 2 lần đoạn ngắn (trọng tuyến “lõi” dài gấp 2 lần trọng tuyến “vỏ” tương ứng). Tóm lại, 4 đường chéo của hộp chính là 4 trong tuyến của tứ diện “lõi” và cũng là 4 trọng tuyến của 4 tứ diện “vỏ”. Giao điểm các đường chéo là trọng tâm của tứ diện “lõi” và cũng là trọng tâm của hộp. ● Nếu hình hộp trở thành hộp chữ nhật thì các tứ diện “vỏ” trở thành tứ diện vuông bằng nhau và tứ diện “lõi” có các cạnh đối bằng nhau từng đôi. ● Nếu hình hộp trở thành lập phương thì các tứ diện “vỏ” trở thành các chóp tam giác đều có 3 mặt vuông và tứ diện “lõi” trở thành tứ diện đều (tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau).

6/ Tỷ số thể tích 2 tứ diện có chung một góc tam diện ● Định lý 1: Tỷ số diện tích 2 tam giác có chung một góc bằng tỷ số tích các cạnh của góc ấy. ● Định lý 2; Tỷ số thể tích 2 tứ diện có chung một góc tam diện bằng tỷ số tích các cạnh của góc tam diện ấy.

(còn nữa)

BÀI CÙNG CHỦ ĐỀ:

Mặt Cầu Nội Tiếp Tứ Diện

Mặt Cầu Euler

Hanoi 11/08/2014

PVHg

Chia sẻ:

• Chia sẻ

• Email
• In
• Facebook
• Twitter

Thích Đang tải...

Có liên quan