Một Số Tính Chất Của Hình Tứ Diện - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (66 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa học tự nhiên
>>
3. Toán học

Một số tính chất của hình tứ diện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (620.51 KB, 66 trang )

1 mét sè tÝnh chÊt cña h×nh tø diÖn (khãa luËn tèt nghiÖp) 2 Mục lục Nội dung Trang Lời nói đầu 3 Chơng 1. Hình tứ diện 6 1.1. Tứ diện. Một số tính chất của tứ diện 6 1.2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 17 1.2.2. Mặt cầu nội tiếp tứ diện 19 1.2.3. Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 21 1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện 24 Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt 26 2.1. Tứ diện vuông. Một số tính chất của tứ diện vuông 26 2.2. Tứ diện trực tâm. Một số tính chất của tứ diện trực tâm 33 2.3. Tứ diện gần đều. Một số tính chất của tứ diện gần đều 41 2.4. Tứ diện đều. Một số tính chất của tứ diện đều 48 Chơng 3. một số bài toán liên quan đến tứ diện 50 3.1. Các bài tập có lời giải 50 3.2. Các bài tập đề nghị 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 3 Lời nói đầuLời nói đầuLời nói đầuLời nói đầu Hình học là một ngành khoa học của Toán học. Hình học đợc đa vào chơng trình Toán phổ thông từ rất sớm. Với mỗi học sinh hình học luôn là bộ môn khó, bởi để học tốt môn này học sinh cần phải học tập tích cực, biết hệ thống kiến thức và có khả năng t duy sáng tạo. Trong đó đặc biệt phải kể đến hình học không gian. Hình học không gian không giống nh những bộ môn Toán học khác bởi nó có những đặc điểm riêng biệt: Đặc điểm quan trọng nhất của hình học không gian là đợc cấu trúc theo hệ tiên đề. Các chứng minh đợc suy luận chặt chẽ, có căn cứ. Đặc điểm thứ hai là học sinh phải vẽ hình dựa vào các tính chất của phép chiếu song song và trí tởng tợng không gian. Hiện nay trong các trờng THPT một tình trạng vẫn còn tồn tại đó là một bộ phận không nhỏ học sinh cha hình dung đợc hình học không gian, không biết vẽ hình cũng nh giải toán. Bên cạnh đó nhiều giáo viên cũng gặp khó khăn trong quá trình dạy học hình học không gian. Với mục đích giúp cho học sinh có cái nhìn rõ ràng, sâu sắc, cụ thể hơn về một đối tợng hình học, tôi quyết định chọn đề tài: Một số tính chất của hình tứ diện. Trong khoá luận này chúng tôi nghiên cứu các tính chất của tứ diện bằng phơng pháp tổng hợp, xét một số tứ diện đặc biệt và một số bài toán về tứ diện. Trớc hết đề tài này hữu ích đối với tác giả và sau đó là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên Toán THPT, sinh viên các trờng ĐHSP Toán, ngoài ra nó còn có ích cho sự phát triển khả năng t duy hình học của học sinh. Ngoài lời nói đầu, mục lục tham khảo, khoá luận gồm 60 trang chia làm ba chơng: Chơng 1. Hình tứ diện Chơng 2. Một số loại tứ diện đặc biệt Chơng 3. Một số bài toán liên quan đến tứ diện 4 Chơng 1 trình bày khá đầy đủ các tính chất chung của tứ diện, ngoài ra còn đề cập đến mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp, mặt cầu giả nội tiếp và mặt cầu giả bàng tiếp của tứ diện. Khái niệm và tính chất của các tứ diện đặc biệt đợc trình bày ở chơng 2 một cách cụ thể và khoa học. Chơng 3 gồm một số bài toán hay về tứ diện để giúp bạn đọc áp dụng và hiểu sâu hơn các tính chất của hình tứ diện đã đợc trình bày ở hai chơng trớc. Mặc dù đã rất cố gắng tuy nhiên do hạn chế về thời gian cùng vốn kiến thức của bản thân nên hình vẽ cha đợc đẹp và tài liệu sẽ không tránh khỏi những hạn chế, rất mong nhận đợc sự hớng dẫn của các thầy cô và sự góp ý của bạn bè để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Qua đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng Khoa học, các thầy cô giáo trong khoa KHTN và các bạn sinh viên lớp K2_ s phạm Toán đã tạo mọi điều kiện quan tâm giúp đỡ. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Chí Thanh đã dành thời gian đọc và sửa chữa bản thảo giúp đỡ tôi hoàn thành đợc khoá luận. Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hiền 5 Các kí hiệu viết tắt trong khoá luận +) mp (P): mặt phẳng (P). +) SABC : diện tích tam giác ABC. +) VABCD: thể tích tứ diện ABCD. +) hA, hB, hC, hD: độ dài các đờng cao của tứ diện xuất phát từ các đỉnh A, B, C, D. +) R, r: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp tứ diện. +) xqS,tpS: Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của tứ diện. +) () ( ): Hai mặt phẳng () và( ) trùng nhau. +) d ( ): Đờng thẳng d nằm trong mặt phẳng (). +) d // ( ): Đờng thẳng d song song với mặt phẳng (). +) d ( ): Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (). 6 Chơng 1. hình tứ diện 1.1. Tứ diện. Một số tính chất của hình tứ diện 1.1.1. Định nghĩa 1 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Ba trong bốn điểm đó xác định một miền tam giác. Có bốn miền tam giác đó là ABC, ABD, ACD, BCD. Hình gồm bốn miền đó đợc gọi là hình tứ diện và kí hiệu là ABCD. Trong một hình tứ diện ABCD: - Mỗi một miền tam giác đợc gọi là một mặt của hình tứ diện. - Các điểm A, B, C, D đợc gọi là các đỉnh của hình tứ diện. - Các cạnh của các tam giác (6 đoạn thẳng) đợc gọi là các cạnh của hình tứ diện. - Hai cạnh của tứ diện không có điểm chung đợc gọi là hai cạnh đối diện. - Mỗi đỉnh có một mặt đối diện với nó, là mặt không chứa đỉnh đó. Chú ý Ta cũng có thể định nghĩa tứ diện thông qua khái niệm hình chóp nh sau: Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi n cạnh A1A2 An và cho một điểm S nằm ngoài (P). Hình gồm các miền tam giác S A1 A2, S A2 A3, , S An A1 và miền đa giác A1A2 An đợc gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1 A2 An. - Miền đa giác đợc gọi là đáy của hình chóp. - Các tam giác S A1 A2, S A2 A3, , S An A1 đợc gọi là các mặt bên của hình chóp. - Khi n = 3, ta có hình chóp S.ABC, và cũng là hình tứ diện hoặc hình chóp tam giác. 1.1.2. Định nghĩa 2 Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện đợc gọi là đờng trung bình của tứ diện ấy. Một tứ diện có ba đờng trung bình. 7 1.1.3. Định nghĩa 3 Trong một tứ diện, đoạn thẳng nối mỗi đỉnh và trọng tâm của mặt đối diện đợc gọi là đờng trung tuyến. Một tứ diện có bốn đờng trung tuyến. 1.1.4. Định lý 1 Trong hình tứ diện, bốn đờng trung tuyến và ba đờng trung bình đồng quy tại một điểm, điểm đó đợc gọi là trọng tâm của tứ diện. Trọng tâm của tứ diện có tính chất là trung điểm của các đờng trung bình và ở 34 mỗi đờng trung tuyến kể từ đỉnh. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD. Gọi G là trung điểm của MP (hình 1). Ta chứng minh ba đờng trung bình của tứ diện đồng quy tại một điểm. Do MQ // BD và MQ = 12BD NP // BD và NP = 12BD nên MNPQ là hình bình hành. Vì vậy MP và NQ giao nhau tại trung điểm G của mỗi đờng. Tơng tự ta cũng có EFMP là hình bình hành nên EF cũng nhận trung điểm G của MP làm trung điểm. Vậy ba đờng trung bình MP, NQ, EF đồng quy tại trung điểm G của mỗi đờng. Ta đi chứng minh bốn đờng trung tuyến đồng quy tại G. A M B G D M P A Hình 2 C A M Q E G B D F N P C Hình 1 8 Giả sử AG giao với BP tại A. Ta chỉ ra A là trọng tâm của tam giác BCD (hình 2). Thật vậy, trong mặt phẳng (ABP) kẻ MM // AA (M thuộc BP). Vì M là trung điểm của AB nên M là trung điểm của BA. Trong tam giác PMM có G là trung điểm của PM, GA // MM nên A là trung điểm của PM. Vậy BM = MA = AP suy ra A là trọng tâm của tam giác BCD. Vậy bốn đờng trung tuyến đồng quy tại G. Lại có GA là đờng trung bình của tam giác PMM nên GA = 12MM; MM là đờng trung bình của tam giác BAA nên MM = 12AA. Suy ra GA = 14AA hay AG = 34AA. Tơng tự với những đờng trung tuyến khác ta đợc trọng tâm G ở 34 mỗi đờng trung tuyến kể từ đỉnh. Hệ quả 1 Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì bốn khối tứ diện đỉnh G đáy là các mặt của tứ diện đó là tơng đơng (tức là có cùng thể tích) và thể tích đó bằng 14 thể tích của khối tứ diện ban đầu. Chứng minh Gọi H, H1 lần lợt là hình chiếu của A và G xuống mặt phẳng (BCD) (hình 3). Theo Định lý 1 ta có AA = 4GA suy ra AH = 4GH1, do đó 13SBCD.AH = 13SBCD.4GH1. Hay VABCD = 4VGBCD. Tơng tự ta cũng có: VABCD = 4VGACD. VABCD = 4VGBAD. A G D B H H1 A N Hình 3 C 9 VABCD = 4VGBCA. Vậy VGBCD = VGACD = VGBAD = VGBCA =14 VABCD. 1.1.5. Định lý 2 Mọi mặt phẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện trong một tứ diện, đều chia khối tứ diện đó thành hai khối tơng đơng. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD; () là mặt phẳng bất kì chứa I, J và cắt AC và BD tại E và F. Dễ thấy IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một hoặc đồng quy tại K. Xét trờng hợp IE, JF và BC song song với nhau từng đôi một. Khi đó E, F là trung điểm của AC và BD. Suy ra kết quả là hiển nhiên. Xét trờng hợp IE, JF và BC đồng quy tại K (hình 4), ta có: V1 = VADJEIF = VAIEJF + VADJF. V2 = VBCIEJF = VBIEJF + VBJEC. Do IA = IB nên VAIEJF = VBIEJF Mặt khác: VAJFD = 13 hA.SJFD (hA là đờng cao của hình chóp A.JFD hạ từ A). VBJEC = 13 hE.SBCJ (1) (hE là đờng cao của hình chóp E.BCJ hạ từ E) Ta lại có: JFDBJDS FD=S BD, BCD1 FDS .2 BD=JFDS. Dễ thấy: EAFD EC h= =BD CA h Vậy VAJFD = 13SBCJ .hE. (2) Từ (1) và (2) suy ra: VAJFD = VBJEC hay V1 = V2 A I F D B E J C K Hình 4 10 1.1.6. Định lý 3 Tỉ số thể tích của hai khối tứ diện có một góc tam diện bằng nhau, bằng tích các tỉ số của các cạnh của góc tam diện đó. Chứng minh Giả sử SABC và SABC là hai khối tứ diện có góc tam diện đỉnh S bằng nhau. Khi đó ta có thể coi: A thuộc SA, B thuộc SB, C thuộc SC. Ta cần chứng minh: SA'B'C'SABCV SA' SB' SC'= . .V SA SB SC Gọi H và H lần lợt là hình chiếu của A và A xuống mặt phẳng (SBC) (hình 5). Đặt = BSC, = (SA,mp(SBC)) ta có: VSABC = VASBC = 13SSBC .AH = 13.12.SB.SC.sin.AH = 16.SB.SC.SA.sin.sin VSABC = VASBC = 13.SSBC .AH = 13.12.SB.SC.sin.AH = 16.SB.SC.SA.sin.sin Vậy: SA'B'C'SABC1.SA'.SB'.SC'.sin.sinVSA'.SB'.SC'6= =1V SA.SB.SC.SA.SB.SC.sin.sin6 (đpcm). 1.1.7. Định lý 4 Trong một tứ diện tổng các bình phơng của hai cặp cạnh đối diện nào đó luôn lớn hơn bình phơng tổng cặp cạnh còn lại. Chứng minh A A S C H C H D B B Hình 5 11 Ta cần chứng minh với tứ diện ABCD bất kì luôn có (AC + BD)2 + (AD + BC)2 > (AB + CD)2. Thật vậy gọi O, M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của DC, AC, BC, DB, DA (hình 6). Thế thì MNPQ là hình bình hành và do O không nằm trong mặt phẳng (MNPQ), nên MOP và NOQ là các tam giác thực sự. Theo tính chất các cạnh của tam giác ta có: (OM + OP) > MP (OM + OP)2 > MP2. (ON + OQ) > NQ (ON + OQ)2 > NQ2. Suy ra: (OM + OP)2 + (ON + OQ)2 > MP2 + NQ2. (1) Theo tính chất hình bình hành ta có: MP2 + NQ2 = 2(PQ2 + QM2). (2) Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacôpski: 2(PQ2 + QM2) (PQ + QM)2. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: (OM + OP)2 + (ON + OQ)2 > (PQ + QM)2. Mặt khác ta có: OM = 12AD; ON = 12BD; PQ = 12AB; OP = 12BC, OQ = 12AC, QM = 12DC nên suy ra (12AC + 12BD)2 + (12 AD + 12BC)2 > (12AB + 12DC)2 hay (AC + BD)2 + (AD + BC)2 > (AB + DC)2 (đpcm). D Q O A P C M N B Hình 6 12 1.1.8. Định lý 5 Tổng các góc nhìn từ một điểm nằm trong tứ diện xuống các cạnh tứ diện lớn hơn 3. Chứng minh Giả sử ABCD là tứ diện, O là một điểm nằm trong tứ diện. Khi đó ta cần chứng minh: (+ + + + +AOB AOC AOD BOC COD DOB) > 3 Thật vậy gọi I là giao điểm của đờng thẳng DO và mặt phẳng (ABC), K là giao điểm của đờng thẳng AI và BC (hình 7). Ta biết rằng trong một góc tam diện, độ lớn của một mặt nhỏ hơn tổng độ lớn của hai mặt kia nên AOB BOC AOB BOK KOC AOK KOCAOI IOK KOC AIO IOC ( AOD) ( DOC)+ = + + > += + + > + = + Vậy AOB BOC+> ( AOD) ( DOC) + . Hay AOB BOC++ AOD DOC+> 2. ()1 Chứng minh tơng tự ta có: AOB COD AOC BOD+ + + > 2, ()2 AOC DOB AOD BOC+ + + > 2. ()3 Cộng theo vế của ()1, ()2, ()3 ta đợc: 2(AOB AOC AOD BOC COD DOB+ + + + +) > 6. Suy ra (AOB AOC AOD BOC COD DOB+ + + + +) > 3 (đpcm). 1.1.9. Định lý 6 Trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng có ít nhất một góc tam diện mà ba mặt đều nhọn. Chứng minh Tổng của các mặt của các góc tam diện trong một tứ diện bằng tổng các góc của bốn tam giác hợp thành tứ diện đó tức là bằng 4.1800. A I D O C K B Hình 7 13 Nh vậy, trong bốn góc tam diện phải có ít nhất một góc với tổng các mặt sẽ nhỏ hơn (hoặc bằng) =004.1801804. Ta sẽ chỉ ra ba mặt của góc tam diện này đều nhọn: Thật vậy nếu trong ba mặt của góc tam diện này có một góc tù thì nó lớn hơn tổng của hai mặt còn lại. Nh vậy sẽ mâu thuẫn với tính chất: Trong một góc tam diện tổng của hai mặt sẽ lớn hơn mặt còn lại. Suy ra trong một tứ diện bất kì, bao giờ cũng có ít nhất một góc tam diện mà cả ba mặt đều nhọn. 1.1.10. Định lý 7 Trong một tứ diện, mặt phẳng phân giác của một nhị diện chia cạnh đối thành hai đoạn tỉ lệ với diện tích hai mặt bên là hai mặt của nhị diện. Chứng minh Giả sử SABC là một tứ diện. Ta xét góc nhị diện cạnh SB bằng và mặt phẳng phân giác của nó cắt AC tại I (hình 8). Kẻ các đờng cao AM, CN của các tam giác SAB, SBC. Gọi AH, KC lần lợt là các đờng cao của tứ diện ASBI và CSBI thì: = = = = =SABSCBSBAMsin AM.IA HA AM2 2SBIC KC CNCNsin CN.2 2SS. Vậy ta đợc đpcm. 1.1.11. Định lý 8 (Định lý hàm số sin cho tứ diện) Trong một tứ diện tích của các cặp cạnh đối chia cho tích của sin các nhị diện của từng cặp đó là bằng nhau. Hình 8 14 Bổ đề 1 Gọi , V là góc nhị diện cạnh AB và thể tích của tứ diện ABCD. Khi đó ta có =ABC ABD2S S sinV3.AB. Chứng minh Kẻ CK AB, CH (ABD), từ đó suy ra HK AB và CKH= (hình 9). Ta có CH = CK.sin = ABC2SsinAB. VABCD = = DAB CABABD1 2S .SS .CH .sin3 3.AB (đpcm). Trở lại bài toán ta giả sử AB = a, CD = c là hai cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. Gọi và tơng ứng là các góc nhị diện cạnh AB, CD của tứ diện đó. Đặt S1 = SABC, S2 = SABD, S3 = SBCD, S4 = SACD. Theo Bổ đề 1 ta có: 1 2 3 42S S sin 2S S sinV3a 3c = =. Suy ra: =21 2 3 44S S S S sin sinV9ac do đó: 1 2 3 42ac 4S S S Ssin sin 9V= (1) Vì vế trái (1) là biểu thức hoàn toàn bình đẳng với các cạnh và sin, sin của các góc nhị diện tơng ứng, nên 1 2 3 424S S S S9V là giá trị chung cho tỷ số của tích các cặp cạnh đối tứ diện với tích các sin của các nhị diện của từng cặp cạnh đối đó. Chú ý Nếu gọi AB = a; BC = b; CD = c; DA = d; AC = e; BD = f và , , , , , tơng ứng là góc nhị diện của các nhị diện cạnh a, b, c, d, e, f thì Định lý 8 cho ta 1 2 3 42ac bd ef 4S S S Ssin sin sin sin sin sin 9V= = = (2) C D B H K A Hình 9 15 Định lý này cũng gọi là định lý hàm số sin cho tứ diện (thờng gọi là Định lý hàm số sin thứ hai). 1.1.12. Định lý 9 Cho một hình tứ diện bất kì và một điểm N. Khi đó sáu mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh của tứ diện và song song với đờng thẳng nối từ N tới trung điểm của cạnh đối diện với cạnh mà mặt phẳng đi qua thì giao nhau tại một điểm. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Xét mặt phẳng () đi qua AB song song với MN, ở đây M là trung điểm của cạnh CD (hình 10). Giả sử I là trung điểm của AB, và G là trung điểm của IM, (nh vậy G là trọng tâm của tứ diện). Gọi N là điểm đối xứng của N qua G thì suy ra tứ giác INMN là hình bình hành suy ra IN// NM. Vì vậy, mặt phẳng xác định bởi AB và IN chính là (). hay N ( ) . Tơng tự ta cũng có N thuộc năm mặt phẳng còn lại. Nh vậy có 6 mặt phẳng đều đi qua N, đó chính là điểm đối xứng với N qua trọng tâm G. Ta đợc đpcm. 1.1.13. Định lý 10 Sáu mặt phẳng đi qua trung điểm của một cạnh của hình tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện thì giao nhau tại một điểm, điểm đó gọi là điểm Monge của tứ diện. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Xét mặt phẳng () đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với CD. Hình 10 16 Gọi J là trung điểm của CD và G là trung điểm của IJ. Khi đó G là trọng tâm của tứ diện (hình 11). Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện và O đối xứng của O qua G. Khi đó IOJO là hình bình hành nên IO// OJ. Do OA = OB = OC = OD, mà J là trung điểm của CD nên OJ CD suy ra IOCD. Vậy () là mặt phẳng vuông góc với CD và qua I mà IOCD. Suy ra IO() hay () qua O. Lập luận tơng tự, cả 5 mặt còn lại đều đi qua O. Nh vậy cả 6 mặt phẳng đều đi qua O, đó là điểm đối xứng của tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện qua trọng tâm G tức là 6 mặt phẳng đã cho giao nhau tại một điểm O. 1.1.14. Định lý 11 Sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của một tứ diện đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 4 đỉnh của tứ diện và gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh Cho tứ diện ABCD. Gọi I là giao điểm của ba đờng trung trực của tam giác BCD. Suy ra I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD (hình 12). Hai mặt trung trực của hai cạnh BC và CD có điểm chung I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d. Suy ra d (BCD). Hai mặt phẳng trung trực của BD và CD cũng có chung điểm I, nên phải cắt nhau theo giao tuyến d qua I và d (BCD). Suy ra d d. Vậy ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh tam giác BCD cắt nhau theo đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại I. d A O B D I C Hình 12 A I O B D G O J C Hình 11 17 Cạnh AB xiên góc so với mặt phẳng (BCD), nên mặt phẳng trung trực của AB cắt đờng thẳng d tại một điểm O. Suy ra O là điểm chung của bốn mặt trung trực của bốn cạnh BC, CD, DB và AB, vì vậy OB = OC = OD = OA. Các đẳng thức OC = OA và OD = OA chứng tỏ O cũng đồng thời thuộc các mặt trung trực của AC và AD. Vậy O là giao điểm của sáu mặt phẳng trung trực của các cạnh của tứ diện đã cho, O cũng chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó. 1.1.15. Định nghĩa 4 Mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ diện gọi là mặt phẳng trung diện của tứ diện đó. 1.1.16. Định lý 12 Sáu mặt phẳng trung diện đồng quy tại trọng tâm tứ diện. Mỗi mặt phẳng đó chia khối tứ diện thành hai phần tơng đơng. Chứng minh Giả sử ABCD là hình tứ diện. Gọi M, N, P, Q, E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD (hình 13). Khi đó MP, NQ, EF đồng quy tại trọng tâm G của tứ diện. Suy ra các mặt phẳng (ABP), (CDM), (AND), (BCQ), (ACF), (BDE) là mặt phẳng trung diện của tứ diện và sáu mặt phẳng trung diện này đồng quy tại trọng tâm của tứ diện. Vì mỗi mặt phẳng này đều đi qua đờng trung bình của tứ diện nên theo Định lý 2 mỗi mặt phẳng này chia khối tứ diện thành hai phần tơng đơng. Ta có đpcm. 1.2. Mặt cầu nội, ngoại tiếp tứ diện 1.2.1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 1.2.1.1. Định nghĩa 5 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện đó. A M Q E G B F1 D N P C Hình 13 18 1.2.1.2. Định lý 13 Cho hình chóp có đáy là một đa giác lồi. Điều kiện cần và đủ để tồn tại mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp. Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử tồn tại một mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp S.A1A2An, khi đó: OA1 = OA2 = = OAn (1) Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng đáy (A1A2An) thế thì HA1 = HA2 = = HAn (2) Đẳng thức (2) chứng tỏ rằng đáy A1A2An là một đa giác nội tiếp (đờng tròn tâm H). +) Điều kiện đủ Giả sử A1A2An là một đa giác nội tiếp. Gọi H là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy. Qua H dựng đờng thẳng vuông góc với đáy (A1A2An). Dựng mặt phẳng trung trực () của một cạnh bên bất kỳ của chóp (chẳng hạn cạnh SA1). Do không song song với () nên () = O. Khi đó: OS = OA1 = OA2 = = OAn. Chứng tỏ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác S.A1A2An. Vậy điều kiện cần và đủ để hình chóp S.A1A2An nội tiếp trong mặt cầu là đa giác đáy A1A2An phải là đa giác nội tiếp. Nh vậy tứ diện luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp. Từ đó ta có cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SA1A2A3 nh sau: - Xác định tâm H của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đáy A1A2A3. - Dựng đờng thẳng vuông góc với đáy A1A2A3 tại H - Vẽ một mặt phẳng trung trực () của một cạnh bên bất kỳ của hình chóp. - Giả sử () = O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng. 19 Chú ý Trong các trờng hợp sau đây mặt phẳng trung trực () nói trên có thể thay bằng đờng trung trực: +) Khi hình chóp là đều (khi đó qua đỉnh S), tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao của và một đờng trung trực bất kì của một cạnh bên. +) Khi hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy, chẳng hạn SA1. Lúc đó gọi (Q) là mặt phẳng đợc xác định bởi và SA1 (vì // SA1). Trong (Q) vẽ trung trực của SA1. Gọi là trung trực của SA1 và O = thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm. 1.2.2. Mặt cầu nội tiếp tứ diện 1.2.2.1. Định nghĩa 6 Mặt cầu nội tiếp tứ diện là mặt cầu nằm bên trong tứ diện và tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện đó. Nhận xét Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện cách đều tất cả các mặt của hình tứ diện nên nằm trên các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng kề của tứ diện. 1.2.2.2. Định lý 14 Trong một tứ diện ta luôn có tp3VrS= với r, V và Stp tơng ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện. Chứng minh Giả sử SA1A2A3 là hình tứ diện (hình 14). Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp, khi đó các hình chóp ISA1A2; ISA2A3 ; ISA1A3; IA1A2A3 có cùng chiều cao r. Gọi S1; S2; S3 ; S tơng ứng là diện tích của các tam giác: SA1A2, SA2A3, SA1A3 và diện tích đáy A1A2A3. V1, V2, V3 , V4 tơng ứng là thể tích của các tứ diện ISA1A2; ISA2A3 ; ISA1A3; IA1A2A3. 20 Ta có: V = V1 + V2 + V3 + V4 = 1 2 31r(S + S +S + S)3 tp1S .r3= Từ đó suy ra: tp3VrS=. Đó là đpcm. Chú ý Với hình chóp đa giác bất kì ta cũng có tp3VrS= với r, V và Stp tơng ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp, thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp. 1.2.2.3. Định lý 15 Nếu R và r tơng ứng là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp của một tứ diện thì ta có R 3r. Chứng minh Gọi G1 , G2 , G3 , G4 lần lợt là trọng tâm của các mặt BCD, ACD, ABD, ABC (hình 15). Khi đó G1G2 // AB, G1G4 //AD, G1G3 // AC. Vậy hai tứ diện ABCD và G1G2G3G4 là hai tứ diện đồng dạng theo tỉ số 13. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G1G2G3G4 thì RR'3= (1) Rõ ràng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G1G2G3G4 không nhỏ hơn mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD, tức là R r (2) Từ (1) và (2) suy ra: R 3r đpcm. S I A1 A3 A2 Hình 14 A G4 G3 G2 B D N G1 M C Hình 15 21 1.2.2.4. Định lý 16 Gọi r, V là bán kính mặt cầu nội tiếp và thể tích của tứ diện A1A2A3A4; h1, h2, h3, h4 tơng ứng là chiều cao của hình tứ diện kẻ từ A1 , A2 , A3 , A4. Khi đó ta có 1 2 3 41 1 1 1 1h h h h r+ + + =. Chứng minh Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện tứ diện đã cho và gọi V1, V2, V3, V4 lần lợt là thể tích của các hình chóp đỉnh I với các đáy A2A3A4, A1A3A4, A1A2A4, A1A2A3 và V là thể tích hình chóp A1A2A3A4 (hình 16). Ta có: V1 + V2+ V3+ V4 = V. Suy ra 1 2 3 4V V V V1V V V V+ + + =, hay + + + =1 2 3 4r r r r1h h h h. Vậy 1 2 3 41 1 1 1 1h h h h r+ + + =. 1.2.3. Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 1.2.3.1. Định nghĩa 7 Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh (không kể phần kéo dài) của tứ diện. Nhận xét Nếu O là tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện thì O cách đều các cạnh của tứ diện nên O nằm trên các trục của đờng tròn nội tiếp các mặt của tứ diện. 1.2.3.2. Định lý 17 Điều kiện cần và đủ để tồn tại mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ABCD là AB + CD = AC + BD = AD + BC. (1) A1 I A2 A3 A4 Hình 16 22 Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử tồn tại mặt cầu tâm O, tiếp xúc với AB, BC, CD, DA, AC, BD tại M, N, P, Q, R, S (hình 17). Khi đó: OAM = OAR = OAQ => AM = AR = AQ Tơng tự: BM = BS = BN; CP = CR = CN; DP = DR = DQ. Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có AM + BM + CP + DP = AR + CR + BS + DS = AQ + DQ + BN + CN hay AB + CD = AC + BD = AD + BC +) Điều kiện đủ Giả sử đã có (1). Gọi (O1, r1), (O2, r2) là các đờng tròn nội tiếp BCD, ACD và các tiếp điểm trên CD tơng ứng là P và P. Khi đó dễ dàng chứng minh: ( )1CP . AC CD AD2= + ; ( )1CP' . BC CD BD2= + Mà AC + BD = AD + BC nên AC - AD = BC - BD. Do đó CP = CP suy ra P P (hình 18). Gọi PO là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp O1PO2. Khi đó: o1OO P 90= (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn). OO1 O1P mà CD (O1PO2); CD O1O suy ra O1O (BCD) hay OO1 là trục đờng tròn nội tiếp BCD. Ta cũng có OO2 là trục đờng tròn nội tiếp ACD. Hai trục này cắt nhau tại O. Tơng tự ta chứng minh đợc các trục của các đờng tròn nội tiếp các mặt của tứ diện đôi một cắt nhau. Vì không có ba trong bốn trục nào đồng phẳng nên chúng A M Q R S B D N P C Hình 17 A O2 O B D O1 P C Hình 18 23 đồng quy (tại O). Khi đó O cách đều các cạnh của tứ diện nên O là tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện. Ta có đpcm. Khi nghiên cứu về mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ta thờng xét trờng hợp đặc biệt là tâm mặt cầu giả nội tiếp nằm trên một cạnh của tứ diện. Điều kiện cần và đủ để tồn tại mặt cầu đó đợc trình bày ở định lý sau: 1.2.3.3. Định lý 18 Điều kiện cần và đủ để tồn tại một mặt cầu có tâm nằm trên cạnh AB của tứ diện ABCD đồng thời tiếp xúc với các cạnh AC, AD, BC, BD là AC = AD và BC = BD. Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử mặt cầu tâm S với S nằm trên AB tiếp xúc với các cạnh AD, AC, BC, BD lần lợt tại các điểm M, N, Q, P (hình 19). Vì BP = BQ, SP = SQ nên SBP SBQ = . Suy ra SBC SBD.= Tơng tự SAD SAC.= Vậy ABD = ABC hay AD = AC, BC = BD. +) Điều kiện đủ Giả sử AC = AD, BC = BD, khi đó ABD = ABC. Suy ra DAB CAB= (1). Đờng phân giác trong của góc ADB cắt AB tại S thì SA AD ACSB BD BC= = suy ra CS là phân giác trong của góc ACB. Dựng SM, SN, SP, SQ lần lợt vuông góc với các cạnh AD, AC, BD, BC thì từ (1) ta có: ASM = ASN. Từ đó SM = SN = SP = SQ nên S là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AD, AC, BD, BC. D M A N C P S Q B Hình 19 24 1.2.4. Mặt cầu giả bàng tiếp tứ diện 1.2.4.1. Định nghĩa 8 Cho tứ diện ABCD, mặt cầu giả bàng tiếp trong góc tam diện đỉnh A là mặt cầu tiếp xúc với các cạnh BC, CD, BD và tiếp xúc với tia đối của các tia BA, CA, DA. 1.2.4.2. Định lý 19 Điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD có mặt cầu giả bàng tiếp trong góc tam diện đỉnh A là BC - AD = CD - BA = DB - AC. Chứng minh +) Điều kiện cần Giả sử (O) là mặt cầu tiếp xúc với các cạnh BC, CD, DB lần lợt tại N, P, S đồng thời tiếp xúc với các tia đối của các tia BA, CA, DA lần lợt tại M, T, Q (hình 20). Khi đó ta có BS = BN = BM = x; CN = CT = CP = y; DQ = DP = DS = z; AQ = AM = AT = t. Từ đó BC - AD = (x + y) - (t - z) = x + y + z - t, và DB - AC = (x + z) - (t - y) = x + y + z - t. Suy ra BC - A D = DB - AC. Tơng tự ta có: BC - AD = CD - AB. Vậy BC - AD = CD - AB = DB - AC. +) Điều kiện đủ Giả sử BC - AD = DB - AC = DC - AB. Đờng tròn nội tiếp BCD (tâm O1) tiếp xúc với BC tại N, đờng tròn bàng tiếp ABC (tâm O2) ứng với đỉnh A tiếp xúc với BC tại N1. Q D P O A S N C T B M Hình 20 25 Ta đi chứng minh: N N1. Thật vậy, do DB - AC = CD - AB suy ra BC + BD - CD = AC + BC - AB Do đó 2.BN = BC + BD - CD = (AB + AC + BC) - 2.AB = 2(AM - AB) Suy ra BN = BM = BN1 hay N N1 (hình 21). Xét đờng tròn ngoại tiếp O1NO2 với đờng kính là NO, lúc đó NO1 OO1 và NO2 OO2 (1) Mặt khác BC NO1, BC OO2 (2) Từ (1) và (2) suy ra OO1 mp(BCD) và OO2mp(ABC). Vậy O cách đều các đờng thẳng BC, CD, DB, AC, AB. Tơng tự nếu gọi O3 là tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác ACD (ứng với đỉnh A) thì cũng có OO3 mp (ADC). Từ đó O cách đều các đờng thẳng AD, AC, CD. Vậy O là tâm mặt cầu giả bàng tiếp trong góc tam diện đỉnh A. Hệ quả 2 Mọi tứ diện gần đều (xem 2.3.1) luôn tồn tại mặt cầu giả bàng tiếp. Kết luận chơng 1 Chơng này gồm 8 định nghĩa, 19 định lý, 2 hệ quả và 1 bổ đề về tứ diện. Từ định lý 1 đến định lý 12 thể hiện các tính chất chung của tứ diện, đó là các tính chất về trọng tâm, mối liên hệ giữa các cạnh, thể tích của tứ diện và các mặt phẳng đặc biệt. Các tính chất về mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, giả nội tiếp và giả bàng tiếp tứ diện đợc trình bày khá đầy đủ từ định lý 13 đến định lý 19. Mỗi loại mặt cầu đều có định nghĩa, điều kiện tồn tại và cách xác định tâm. Mặt cầu giả nội tiếp và giả bàng tiếp là vấn đề mới, mở rộng hơn so với chơng trình Toán phổ thông, tạo điều kiện thuận lợi cho bạn đọc muốn tìm hiểu thêm về các loại mặt cầu. Q D P O A S O1 C T N O2 B M Hình 21

Tài liệu liên quan

• Nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiệt độ ép đến một số tính chất của ván LVL sản xuất từ gỗ Keo Lai, với phương pháp ép nhiệt nhiều bước
  • 54
  • 698
  • 0
• Chế tạo và khảo sát một số tính chất của chất tạo màng trên cơ sở nhựa polyuretan thu được từ quá trình tái chế polycarbonate phế thải
  • 43
  • 678
  • 1
• Chế tạo và khảo sát một số tính chất của chất tạo màng, trên cơ sở nhựa epoxy thu được từ quá trình tái chế polycarbonate phế thải
  • 21
  • 697
  • 0
• Chế tạo, nghiên cứu một số tính chất của perovskite có hằng số điện môi lớn và khả năng ứng dụng
  • 20
  • 833
  • 0
• Nhân dòng, biểu hiện và nghiên cứu một số tính chất của protease từ HIV 1 tại việt nam
  • 29
  • 667
  • 1
• đồ án nghiên cứu một số tính chất của xi măng nhiều cấu tử có khối lượng riêng lớn để chế tạo bê tông siêu nặng
  • 91
  • 784
  • 2
• Tài liệu SO SÁNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CHẾ PHẨM ENZYME LIPASE TỪ CANDIDA RUGOSA VÀ PORCINE PANCREAS pot
  • 11
  • 583
  • 0
• Tài liệu Báo cáo " Phổ hồng ngoại của PVC/DOP/CLAY compozit, tương tác phân tử và ảnh hưởng của chúng tới một số tính chất của vật liệu " doc
  • 6
  • 755
  • 0
• Tài liệu Báo cáo "Tương tác phân tử trong vật liệu EVA/khoáng sét nano hữu cơ cômpzit và ảnh hưởng của chúng tới một số tính chất của vật liệu " pot
  • 7
  • 516
  • 1
• Tài liệu Báo cáo " Một số tính chất của Bacteriocin được tổng hợp bởi vi khuẩn Lactic phân lập từ sữa bò tươi" pot
  • 9
  • 503
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(620.51 KB - 66 trang) - Một số tính chất của hình tứ diện Tải bản đầy đủ ngay ×