Lý Thuyết Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit | SGK Toán Lớp 12
Có thể bạn quan tâm
1. Định nghĩa
Hàm số mũ là hàm số có dạng \(y = {a^x}\), hàm số lôgarit là hàm số có dạng \(y = {\log _a}x\) ( với cơ số a dương khác 1).
2. Tính chất của hàm số mũ \(y = {a^x}\) \(( a > 0, a\ne 1)\).
- Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
- Đạo hàm: \(∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a\).
- Chiều biến thiên
+) Nếu \(a> 1\) thì hàm số luôn đồng biến
+) Nếu \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: trục \(Ox\) là tiệm cận ngang.
- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành \((y = {a^x} >0 \, \forall x)\), và luôn cắt trục tung tại điểm \(( 0;1)\) và đi qua điểm \((1;a)\).
3. Tính chất của hàm số lôgarit \(y = {\log _a}x\) \((a> 0, a\ne1)\).
- Tập xác định: \((0; +∞)\).
- Đạo hàm \(∀x ∈ (0; +∞),y'= \dfrac{1}{x\ln a}\).
- Chiều biến thiên:
+) Nếu \(a> 1\) thì hàm số luôn đồng biến
+) Nếu \(0< a < 1\) thì hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng.
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((a;1)\).
4. Chú ý
- Nếu \(a > 1\) thì \(\ln a > 0\), suy ra \((a^x)'>0 \, \, \forall x\) và \({({\log_a}^x)}\; > 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\)
do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.
Tương tự, nếu \(0 < a< 1\) thì \(\ln a < 0\), \(({a^x})' < 0\) và \({({\log_a}^x)}\; < 0,\;\;\forall x{\rm{ }} > 0;\) ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.
- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành
\( (\ln |x|)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\) và \((\log _a|x|)' = \frac{1}{{x\ln a}},{\rm{ }}\forall x \ne 0.\)
5. Bài tập về hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài 1. Chọn mệnh đề đúng:
A. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(a > 1\).
B. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nghịch biến nếu \(0 < a < 1\).
C. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến nếu \(0 < a < 1\).
D. Hàm số \(y = {a^{ - x}}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) luôn nghịch biến trên \(R\).
Lời giải: Ta có:
Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.
\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).
Chọn đáp án C.
Bài 2. Chọn mệnh đề đúng:
A. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) trùng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\)
B. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) trùng với đồ thị hàm số \(y = {2^{ - x}}\).
C. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) qua trục hoành
D. Đồ thị hàm số \(y = {2^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) qua trục tung.
Lời giải: Ta có: \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}\) nên hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.
Chọn đáp án A.
Bài 3. Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = {2^{ - x}}\)
B. \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\)
C. \(y = - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}\)
D. \(y = - {2^x}\)
Lời giải: Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.
Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.
Chọn đáp án C.
Bài 4. Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là
A. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}\)
B. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2\)
C. \(\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
D. \(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
Lời giải: Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
Chọn đáp án B.
Bài 5. Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số \(y = \log x\). Tìm khẳng định đúng?
A. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng
B. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận ngang.
C. Đồ thị $(C)$ cắt trục tung.
D. Đồ thị $(C)$ không cắt trục hoành.
Lời giải:
- Đồ thị hàm số \(y = \log x\) nhận trục tung là tiệm cận đứng.
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ nên các đáp án B,C,D đều sai
Chọn đáp án A.
Bài 6. Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn \(0 < a < 1 < b\), khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({\log _b}a + {\log _a}b < 0\)
B. \({\log _b}a > 1\)
C. \({\log _a}b > 0\)
D. \({\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\)
Lời giải: Ta có: \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến, do đó \(b > 1\) nên \({\log _a}b < {\log _a}1 = 0\).
Vì \(b > 1\) nên hàm số \(y = {\log _b}x\) đồng biến, do đó \(a < 1\) nên \({\log _b}a < {\log _b}1 = 0\).
Vậy \({\log _a}b < 0;{\log _b}a < 0 \Rightarrow {\log _a}b + {\log _b}a < 0\).
Chọn đáp án A.
Bài 7. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}}} \right)\).
A. \(D = ( - \infty ;1)\)
B. \(D = {\rm{[}}1; + \infty )\)
C. \(D = ( - \infty ;1]\)
D. \(D = (1; + \infty )\)
Lời giải: Điều kiện : \(\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 1.\)
Chọn đáp án D.
Bài 8. Đạo hàm hàm số \(y = {\log _{2018}}\left( {2018x + 1} \right)\) là:
A. \(\dfrac{1}{{x\ln 2018}}\)
B. \(\dfrac{{2018}}{{2018\left( {x + 1} \right)\ln 2018}}\)
C. \(\dfrac{1}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)
D. \(\dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)
Lời giải: Ta có:
\(\left[ {{{\log }_{2018}}\left( {2018x + 1} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {2018x + 1} \right)'}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}} = \dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}\)
Chọn đáp án D.
Từ khóa » Tính Chất Hàm Logarit
-
Bảng Tóm Tắt Các Công Thức Lôgarít - Toán Học Việt Nam - Mathvn
-
Lý Thuyết Logarit - định Nghĩa Và Tính Chất Toán 12
-
Công Thức Log - Gia Sư Tâm Tài Đức
-
Các Tính Chất Của Logarit - Michael
-
[ĐÚNG NHẤT] Các Tính Chất Hàm Logarit? - Toploigiai
-
Logarit Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Logarit đẩy đủ Nhất
-
Logarit Là Gì? Định Nghĩa, Tính Chất Và Các Công Thức Của Logarit
-
[ Công Thức Logarit ] Cơ Bản, Nâng Cao, Định Nghĩa
-
Công Thức Logarit, Tính Chất Và Các Dạng Toán Logarit - Wiki Cách Làm
-
8+ Các Công Thức Logarit, Logarit Tự Nhiên (logarit Cơ Số E) Cần Nhớ ...
-
Đồ Thị Hàm Số Mũ Và Logarit - đầy đủ Lý Thuyết Và Bài Tập Siêu Chi Tiết
-
Logarit – Wikipedia Tiếng Việt
-
9+ Các Công Thức Logarit đầy đủ - .vn