Lý Thuyết Hệ Số Góc Của đường Thẳng Y = Ax + B (a ≠ 0)

1. Góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b (a ≠ 0)\) và trục \(Ox.\)

Gọi \(A\) là giao điểm của đường thẳng \(d:y = ax + b\) với trục \(Ox\) và \(T\) là một điểm thuộc đường thẳng, nằm phía trên trục \(Ox.\) Khi đó góc \(\alpha=\widehat {TAx}\) được gọi là góc tạo bởi đường thẳng \(d: y = ax + b\) và trục \(Ox.\) 

 

2. Hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b (a ≠ 0)\) 

+) Khi \(a > 0,\) góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \(Ox\) là góc nhọn và nếu \(a\) càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn \(90^0.\)

+) Khi \(a < 0,\) góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \(Ox\) là góc tù và nếu \(|a|\) càng bé thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn \(180^0.\)

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng \(d: y = ax + b\) và trục \(Ox\) phụ thuộc vào \(a.\)

Người ta gọi \(a\) là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b.\)

Lưu ý:

+) Khi \(a > 0,\) ta có \(\tan \alpha= a.\)

+) Khi \(a < 0,\) ta có \(\tan (180^0-\alpha) = -a.\)

Từ đó tìm được số đo của góc \(180^0-\alpha\) rồi suy ra số đo của góc \(\alpha.\)

+) Các đường thẳng có cùng hệ số \(a\) (\(a\) là hệ số của \(x\)) thì tạo với trục \(Ox\) các góc bằng nhau.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp:

Đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc.

Ví dụ: Hệ số góc của đường thẳng \(y=-2x+1\) là \(a=-2\)

Dạng 2: Tính góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \((d).\)

Phương pháp:

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có: \(a = \tan \alpha \)

Ví dụ: Góc tạo bởi tia \(Ox\) và đường thẳng \((d):y=\sqrt 3 x+1\) là \(\alpha \)

Khi đó: \(\tan \alpha=\sqrt 3\) nên \(\alpha =60^0\)

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc

Phương pháp:

Gọi phương trình  đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Dựa vào lý thuyết về hệ số góc để tìm $a$. Từ đó, sử dụng dữ kiện còn lại của đề bài để tìm $b$.

4. Bài tập về hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Bài 1. Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là 

A. $ - a$

B. $a$

C. $\dfrac{1}{a}$

D. $b$

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\)có $a$ là hệ số góc.

Chọn đáp án B.

Bài 2. Cho đường thẳng $d$:$y = ax + b\,\,\left( {a > 0} \right)$.  Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. $a =  - \tan \alpha $

B. $a = \tan \left( {180 - \alpha } \right)$

C. $a = \tan \alpha $

D. $a =  - \tan \left( {180^\circ  - \alpha } \right)$

Lời giải: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có: $a = \tan \alpha $

Chọn đáp án C.

Bài 3. Cho đường thẳng $d$:$y = 2x + 1$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A. $ - 2$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $1$

D. $2$

Lời giải: Đường thẳng $d$:$y = 2x + 1$ có hệ số góc là $a = 2$.

Chọn đáp án D.

Bài 4. Cho đường thẳng $d:$ $y = \left( {m + 2} \right)x - 5$ đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$. Hệ số góc của đường thẳng $d$ là

A. $1$

B. $11$

C. $ -7$

D. $7$

Lời giải: Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\left( {m + 2} \right).\left( { - 1} \right) - 5 = 2 \Leftrightarrow -m-2=7\Leftrightarrow m = -9$

Suy ra $d:y = -7x - 5$

Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = -7$.

Chọn đáp án C.

Bài 5. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $M\left( {1;3} \right)$

A. $ - 2$

B. $3$

C. $1$

D. $2$

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng $d$cần tìm là $y = ax + b\,$ \( \left( {a \ne 0} \right)\)

Vì $d$ đi qua gốc tọa độ nên $b = 0$$ \Rightarrow y = ax$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình $y = ax$ ta được $3 = 1.a \Rightarrow a = 3$ (TM)

Nên phương trình đường thẳng $d:y = 3x$

Hệ số góc của $d$ là $k = 3.$

Chọn đáp án B.

Bài 6. Cho đường thẳng $d$: $y = \left( {m + 2} \right)x - 5$ có hệ số góc là $k =  - 4$. Tìm $m$

A. $m =  - 4$

B. $m =  - 6$

C. $m =  - 5$

D. $m =  - 3$

Lời giải: Hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = m + 2$  $(m \ne -2)$

Từ giả thiết suy ra $m + 2 =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 6(TM)$.

Chọn đáp án B.

Bài 7. Tính góc tạo bởi tia $Ox$ và đường thẳng $y = \sqrt 3 x - 6$

A. $45^\circ $

B. $30^\circ $

C. $60^\circ $

D. $90^\circ $

Lời giải: Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia \(Ox\) và \(d.\) Ta có $\tan \alpha  = \sqrt 3  \Rightarrow \alpha  = 60^\circ $

Chọn đáp án C.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ di qua $B( - 1;1)$ và tạo với trục $Ox$  một góc bằng \(45^\circ \).

A. $y = x - 2$

B. $y = x + 2$

C. $y =  - x - 2$

D. $y = x + 1$

Lời giải: Gọi phương trình đường thẳng $d:y = ax + b$ $(a\ne 0)$

Vì góc tạo bởi đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $45^\circ $ nên $a = \tan 45^\circ  = 1$

$ \Rightarrow y = x + b$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $ - 1 + b = 1 \Rightarrow b = 2$

Nên $d:y = x + 2$.

Chọn đáp án B.