Lý Thuyết Khoảng Cách (mới 2022 + Bài Tập) - Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

A. Lý thuyết.

I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O; a), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Kí hiệu: d(O; a).

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB'.

Lời giải:

Từ giả thuyết ta suy ra: BD=  BC2+​ CD2=a2

Gọi H là hình chiếu của B lên DB' ta có: BH = d (B, DB').

Xét tam giác BB'D vuông tại B ta có:

1BH2=1B'B2+1BD2=1a2+1a22=32a2⇒BH=a63

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) và được kí hiệu là d(O; (α)).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có SA⊥  (ABC), ∆ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Gọi D là trung điểm BC. Do tam giác ABC đều nên AD  ⊥BC (1).

Trong tam giác SAD, kẻ AH  ⊥SD (2).

Do SA⊥ABC⇒SA⊥BCAD⊥BCSA∩AD=A⇒BC⊥SAD⇒SBC⊥SAD (3).

Từ (2) và (3), ta suy ra AH vuông góc với (SBC) nên d(A ; (SBC))= AH.

Theo giả thiết, ta có SA = AB = a, AD=a32 (đường cao trong tam giác đều cạnh a).

Tam giác SAD vuông nên

1AH2=1SA2+1AD2⇔1AH2 =1a2+43a2⇔1AH2=73a2⇒AH=a37

II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và măt phẳng song song.

- Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến mặt phẳng (α).

Kí hiệu là d(a; (α)) .

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Kí hiệu: d((α); (β)).

Như vậy: d((α); (β)) = d(M; (β)) = d(M’; (α)).

III. Đường vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.

1. Định nghĩa.

a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M; N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a; a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (β).

Vì a// (β) nên a// a’. Do đó; a’ cắt b tại 1 điểm là N

Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a’; ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó, (α) vuông góc (β).

Như vậy.∆ nằm trong (α) nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N.Đồng thời, ∆ vuông góc với cả a và b.

Do đó, ∆ là đường vuông góc chung của a và b.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Lời giải :

Do SAB⊥ABCD và BC  ⊥  AB⇒BC⊥SAB.

Vì tam giác SAB đều nên gọi M là trung điểm của SA thì BM⊥SA nên BM là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Vậy dSA;BC=BM=a32.

3. Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA= a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

Lời giải :

Vì SA⊥ABCD  ⇒SA ⊥AD.

Ta có: SA⊥ADAB⊥AD⇒AD⊥SAB⇒dD, SAB=DA.

Vì CD⊄SABCD  // ABAB⊂SAB

Suy ra: CD // (SAB) nên :

d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a,

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với BC

SΔABC=12AH.BC⇒AH=2.SΔABCBC=4a2a=4a

Ta có: SA⊥ABC  ⇒SA ⊥BC

Lại có: AH ⊥BC nên BC ⊥ ( SAH)

Suy ra: SH ⊥BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH .

+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có SH=SA2+AH2=(3a)2+(4a)2=5a

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, AB=a3. Khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') là:

Lời giải:

Ta có AA’//(BCC’B’) nên khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') cũng chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Hạ AH⊥BC⇒AH⊥BCC'B'.

Ta có

1AH2=1AB2+1AC2=13a2+1BC2−AB2=13a2+1a2=43a2⇒AH=a32

Vậy khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') bằng a32.

Bài 3. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ B đến (SCD).

Lời giải:

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Suy ra HM =1, SH=32 và SM=72

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) nên SH⊥ABCD.

Vì AB//CD nên AB// (SCD).

Do đó d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với HK⊥SM trong (SHM).

Ta có:

1HK2=1SH2+1HM2⇒HK=217

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B, AB = SA= a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Khoảng cách giữa AH và BC bằng:

Lời giải:

Ta có AH⊥SB⇒AH⊥HB.

BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥SAB⇒BC⊥AH (nên BC⊥BH).

Do đó, d(BC, AH) = HB.

Tam giác SAB vuông cân tại A, AH là đường cao

⇒BH=SB2=a2+a22=a2

Vậy dBC, AH=a2.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với ABC và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2,BC=a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

A. 2a

B. 4a

C. 3a

D. 5a

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Kẻ AH vuông góc với BC

SΔABC=12AH.BC

→AH=2.SΔABCBC

=4a2a=4a

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH

Dựa vào tam giác vuông ΔSAH ta có

SH=SA2+AH2

=(3a)2+(4a)2=5a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD trong đó SA,AB,BC đôi một vuông góc và SA=AB=BC=1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

A. 2.

B. 3.

C. 2.

D. 32.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do SA⊥ABSA⊥BC nên SA⊥(ABC)

⇒SA⊥AC

Như vậy SC=SA2+AC2

=SA2+(AB2+BC2)=3

Câu 3: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC⊥BCD và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC=a2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng

A. a75.

B. a47.

C. a611.

D. a23.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Do ΔABC đều cạnh a nên đường cao MC=a32

dC,AM=CH

=AC.MCAC2+MC2=a6611

Câu 4: Trong mặt phẳng P cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng P lấy điểm S sao cho SA= a . Khoảng cách từ A đến SBC bằng

A. a5.

B. 2a.

C. a217.

D. a3.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi M là trung điểm của BC; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Ta có BC⊥AM và BC⊥SA nên

BC⊥SAM⇒BC⊥AH.

Mà AH⊥SM, do đó AH⊥SBC.

Vậy AH=dA,SBC.

AM=a32; 

AH=AS.AMAS2+AM2=a217.

Câu 5: Cho tứ diện SABC trong đo SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA=3a, SB=a,SC=2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

A. 3a22

B. 7a55

C. 8a33

D. 5a66

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

+ Dựng AH⊥BC ⇒dA,BC=AH

+ AS⊥SBC⊃BC⇒AS⊥BCAH⊥BC

AH cắt Á cùng nằm trong SAH.

⇒BC⊥SAH⊃SH⇒BC⊥SH

Xét trong ΔSBC vuông tại S có H là đường cao ta có:

1SH2=1SB2+1SC2

=1a2+14a2=54a2

⇒SH2=4a25

⇒SH=2a55

+ Ta dễ chứng minh được AS⊥SBC⊃SH⇒AS⊥SH

⇒ΔASH vuông tại S.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔASH vuông tại S ta có:

AH2=SA2+SH2

=9a2+4a25=49a25

⇒AH=7a55

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ ABCD, mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB=a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và SAD.

A. a22

B. a33

C. a2

D. a3

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

SA⊥ABCD⇒SA⊥AI

Lại có AI⊥AD ( hình thang vuông)

suy ra IA⊥SAD

IJ∥AD theo tính chất hình thang, nên

dIJ,SAD=dI,SAD

=IA=a2

Câu 7: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD= 2a .Trên đường thẳng vuông góc với ABCD tại D lấy điểm S với SD=a2. Tính khoảng cách giữa DC và SAB.

A. 2a3

B. a2

C. a2.

D. a33

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trong tam giác DHA , dựng DH⊥SA;

Vì DC//AB

⇒dDC;SAB=dD;SAB

=DH

Xét tam giác vuông SDA có :

1DH2=1SD2+1AD2

⇒DH=a123=2a3

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng

A. a62

B. a64

C. 2a69

D. a63

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Khi đó SO⊥ABCD

Kẻ OI⊥CD, OH⊥SI

⇒OH⊥SCD

Ta tính được AO=a22, 

 SO=SA2−AO2=a22

1OH2=1SO2+1OI2

⇒OH=a66

⇒dA,SCD=a63

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D') bằng

A. a22

B. 2a33

C. a33

D. a63

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

A0;0;0; B1;0;0; D0;1;0;

 A'0;0;1;C1;1;0; B'1;0;1; 

D'0;1;1; C'1;1;1

CB'→=0;−1;1; CD'→=−1;0;1

Viết phương trình mặt phẳng CB'D'

Có VTPT n→=CB'→;CD'→=−1;−1;−1

CB'D':

1x−1+1y−1+1z−0=0

⇔x+y+z−2=0

dBD;CB'D'=dB;CB'D'

=1+0+0−212+12+12=13=33

Vậy dBD;CB'D'=a33.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB=2a3;BC=2a. Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy ABCD một góc 60∘. Khoảng cách từ D đến SBC tính theo a bằng

A. a155

B. 2a155

C. 4a155

D. 3a155

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặc điểm của hình: Góc giữa SB tạo với mặt phẳng ABCD là SBM^=60∘.

BM=34BD=3a;

SM=BM.tan600=33a

Xác định khoảng cách:

dD,SBC=43dM,SBC

=43MH

Tính khoảng cách MH:

1MH2=1MK2+1MS2=134.23a2+133a2=527a2

MH=275a .vậy

dD,SBC=43dM,SBC=43MH=4155a

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Vectơ trong không gian

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết Ôn tập chương 5