Lý Thuyết Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn Và Các Dạng Bài Thường Gặp

Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.

Cùng xem nhé!

I. Lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = cTrong đó a,b,c  là những số cho trước \(a \ne 0\)  hoặc \(b \ne 0\) .

- Nếu các số thực \({x_0},\,{y_0}\) thỏa mãn ax + by = c thì cặp số \(({x_0},\,{y_0})\) được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi nghiệm \(({x_0},\,{y_0})\) của phương trình ax + by = c được biểu diễn bới điểm có tọa độ \(({x_0},\,{y_0})\).

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c.

+) Nếu \(a \ne 0\) và b = 0 thì phương trình có nghiệm  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.\)

và đường thẳng d  song song hoặc trùng với trục tung.

+) Nếu a = 0 và b \(\ne\) 0  thì phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.\)

và đường thẳng d  song song hoặc trùng với trục hoành.

+) Nếu a \ne 0 và b \ne 0 thì phương trình có nghiệm \( \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.\)

và đường thẳng d  là đồ thị hàm số \(y =  - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\)

II. Các dạng toán thường gặp về phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp:

Nếu cặp số thực \( ({x_0},\,{y_0})\) thỏa mãn ax + by = c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.

Phương pháp:

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c.

1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y ( hoặc y theo x) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.

2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:

1. Nếu a \( \ne\) 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng \(d:x = \dfrac{c}{a}\).  Khi đó d song song hoặc trùng với Oy .

2. Nếu a = 0 và b \( \ne\) 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng \(d:y = \dfrac{c}{b}\).  Khi đó d song song hoặc trùng với Ox .

3. Đường thẳng d:ax + by = c đi qua điểm \(M({x_0},\,{y_0})\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} = c.\)

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, ta làm như sau:

Cách 1:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn

Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x ) theo ẩn kia.

Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x

Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên t, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t

-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.

Cách 2:

Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên\( ({x_0},\,{y_0})\) của phương trình.

Bước 2. Đưa phương trình về dạng \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\) từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

III. Bài tập về phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng \displaystyle y = ax + b?

a) \(\displaystyle 5x – y = 7\)

b) \( \displaystyle 3x + 5y = 10 \)

c) \(\displaystyle 0x + 3y  = -1\)

d) \(\displaystyle 6x – 0y = 18\)

Lời giải:

a) \(\displaystyle 5x - y = 7 \Leftrightarrow y = 5x - 7\).

Phương trình trên xác định một hàm số dạng \(\displaystyle y = ax + b\) với \(\displaystyle a = 5 ; \displaystyle b = -7\)

b) \(\displaystyle \displaystyle 3x + 5y = 10 \Leftrightarrow y =  - {3 \over 5}x + 2.\)

Phương trình trên xác định một hàm số  dạng y = ax + b với \(\displaystyle a =  - {3 \over 5};b = 2\)

c) \(\displaystyle 0x + 3y =  - 1 \Leftrightarrow y =  - {1 \over 3}.\)

Phương trình trên xác định một hàm số dạng y = ax + b với \(\displaystyle a = 0;b =  - {1 \over 3}\)

d) \( \displaystyle 6x - 0y = 18 \Leftrightarrow x = 3.\)

Phương trình trên không xác định hàm số dạng y = ax + b

=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề toán 9 chương 3 bài 1 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài

*******************

Trên đây là tổng hợp lý thuyết phương trình bậc nhất hai ẩn và các dạng bài thường gặp bao gồm các kiến thức cần nắm và cách làm các dạng bài tập liên quan mà Đọc tài liệu đã tổng hợp. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập hữu ích cho các em học sinh cũng như các phụ huynh trong quá trình dạy học cho con em mình tại nhà. Ngoài ra đừng quên xem thêm những kiến thức khác và cách giải Toán 9 được cập nhật liên tục tại doctailieu.com. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!