Lý Thuyết Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian Chi Tiết

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Phương trình đường thẳng:

• Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) với a12 + a22 + a32 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là

• Cho đường thẳng Δ đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và nhận vectơ a→ = (a1; a2; a3) sao cho a1a2a3 ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

II. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng:

Δ1 có vectơ chỉ phương a1→

Δ2 có vectơ chỉ phương a2→

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2. Ta có:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Δ có vectơ chỉ phương aΔ→

(α) có vectơ chỉ phương nα→

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:

III. Khoảng cách

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:

Δ đi qua điểm Mo và có vectơ chỉ phương aΔ→

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Δ1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươnga1→

Δ2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2→

B. Kĩ năng giải bài tập

Các dạng toán thường gặp

1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm phân biệt A, B.

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là AB→.

2. Đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với d.

Cách giải:

Trong trường hợp đặc biệt:

• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Ox thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = i→ = (1; 0; 0)

• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oy thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = j→ = (0; 1; 0)

• Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oz thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = k→ = (0; 1; 0)

Các trường hợp khác thì Δ có vectơ chỉ phương là aΔ→ = ad→, với ad→ là vectơ chỉ phương của d

3. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = nα→, với nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).

4. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 (hai đường thẳng không cùng phương).

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [a1→, a2], với a1→, a2→ lần lượt là vectơ chỉ phương của d1, d2.

5. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aα→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).

6. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β); ((α), (β) là hai mặt phẳng cắt nhau)

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [nα→, nβ→], với nα→, nβ→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

7. Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách giải:

• Lấy một điểm bất kì trên Δ, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

• Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [nα→, nβ→], với nα→, nβ→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

8. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2 (A ∉ d1, A ∉ d2).

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [n1→, n2→], với n1→, n2→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp(A, d1), mp(A, d2).

9. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) và cắt hai đường thẳng d1, d2.

Cách giải:

Xác định vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = AB→, với A = d1 ∩ (α), B = d2 ∩ (α)

10. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.

Cách giải:

• Xác định B = Δ ∩ d.

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

11. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với d1 và cắt d2, với A ∉ d2.

Cách giải:

• Xác định B = Δ ∩ d2.

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

12. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

Cách giải:

• Xác định B = Δ ∩ d.

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

13. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) cắt và vuông góc đường thẳng d.

Cách giải:

• Xác định A = d ∩ (α).

• Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).

14. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α), nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α)) .

Cách giải:

• Xác định A = d ∩ (α).

• Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là aΔ→ = [ad→, nα→], với ad→ là vectơ chỉ phương của d, nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).

15. Viết phương trình đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.

Cách giải:

• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B.

16. Viết phương trình đường thẳng Δ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.

Cách giải:

• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho AB→, ad→ cùng phương, với ad→ là vectơ chỉ phương của d.

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad→ = aα→.

17. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.

Cách giải:

• Xác định A = Δ ∩ d1, B = Δ ∩ d2 sao cho AB→, nα→ cùng phương, với nα→ là vectơ pháp tuyến của (α).

• Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương ad→ = nα→.

18. Viết phương trình Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α).

Cách giải :

Xác định H ∈ Δ sao cho AH→ ⊥ ad→,với ad là vectơ chỉ phương của d.

• Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α).

• Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

19. Viết phương trình Δ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α) theo phương d'.

Cách giải :

• Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương ud'→.

• Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).