Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất - Marathon

Warning: mysqli_query(): (HY000/1): Can't create/write to file '/tmp/#sql-temptable-b851-2c29aa-22bd4.MAI' (Errcode: 28 "No space left on device") in /opt/bitnami/wordpress/wp-includes/wp-db.php on line 2162

Hàm số lượng giác được xem như là một trong những kiến thức nền tảng của môn Toán ở cấp bậc trung học phổ thông. Chỉ khi làm chủ được kiến thức ở phần này, các em mới có thể “phá đảo” được các dạng bài tập lượng giác từ cơ bản đến nâng cao. Để tìm hiểu một cách chi tiết hơn về hàm số lượng giác, các em hãy đọc ngay bài viết bên dưới đây từ Marathon Education nhé!

Các công thức lượng giác toán 10

Ở cuối chương trình toán lớp 10, các em sẽ được làm quen với hàm số lượng giác. Đây được xem là phần kiến thức “khó nhai”, gây không ít rắc rối cho nhiều thế hệ học sinh.

Điều đầu tiên các em cần làm là ghi nhớ các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao. Có như vậy, khi gặp những dạng bài tập về hàm số lượng giác, các em mới vận dụng một cách nhuần nhuyễn được. Dưới đây là bảng tổng hợp một số một số công thức lượng giác cơ bản cần nhớ.

Công thức lượng giác toán 10 cơ bản

1. Bảng giá trị lượng giác của một số cung và góc đặc biệt

2. Hệ thức cơ bản 

Một vài hệ thức cơ bản mà các em cần phải “thuộc nằm lòng” như:

\begin{aligned} & sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \\ & tan\alpha.cot\alpha = 1\left( \alpha {=}\mathllap{/\,} k \frac{\pi}{2} \right), k \in\Z \\ & 1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \left(\alpha {=}\mathllap{/\,} \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \Z \right) \\ & 1 + cot^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} ( \alpha {=}\mathllap{/\,} k\pi, k \in \Z) \\ & tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \ ; \ cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha} \end{aligned}

3. Cung liên kết

Đối với những góc có mối liên kết đặc biệt, điển hình như bù nhau, đối nhau, phụ nhau, hơn kém pi hoặc hơn kém pi/2, các em có thể áp dụng câu sau đây để ghi nhớ dễ dàng hơn: “cos đối, sin bù, tan hơn kém pi, phụ chéo”.

• Hai góc đối nhau:
  • cos(–x) = cosx
  • sin(–x) = –sinx
  • tan(–x) = –tanx
  • cot(–x) = –cotx
• Hai góc bù nhau:
  • sin (π – x) = sinx
  • cos (π – x) = –cosx
  • tan (π – x) = –tanx
  • cot (π – x) = –cotx

• Hai góc hơn kém π: 
  • sin (π + x) = –sinx
  • cos (π + x) = –cosx
  • tan (π + x) = tanx
  • cot (π + x) = cotx
• Hai góc phụ nhau:

\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx\\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx\\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx\\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}-x)=tanx \end{aligned}

• Hai góc hơn kém π/2:

\begin{aligned} &\footnotesize\circ sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx\\ &\footnotesize\circ cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx\\ &\footnotesize\circ tan(\frac{\pi}{2}+x)=-cotx\\ &\footnotesize\circ cot(\frac{\pi}{2}+x)=-tanx \end{aligned}

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung

4. Công thức cộng

Công thức cộng cũng là một trong những công thức cơ bản của hàm số lượng giác. Để dễ ghi nhớ những công thức này, các em có thể học thuộc mẫu câu sau đây: “sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ, tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số một trừ tan tan”.

\begin{aligned} & sin(a \pm b) = sina.cosb\plusmn sinb.sina \\ & cos(a\pm b) = cosa.cosb \pm sina.sinb \\ & tan(a\pm b) = \frac{tana\pm tanb}{1\pm tana.tanb} \end{aligned}

5. Công thức nhân đôi

\begin{aligned} &sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha \\ &\begin{aligned} cos2\alpha &=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ &=2cos^2\alpha-1\\ &=1-2sin^2\alpha &\end{aligned}\\ &tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-2tan^2\alpha}\\ &cot2\alpha=\frac{cot^2\alpha-1}{2cot\alpha} \end{aligned}

6. Công thức nhân ba

\begin{aligned} &sin3\alpha=3sin\alpha-4sin^3\alpha\\ &cos3\alpha=4cos^3\alpha-3cos\alpha\\ &tan3\alpha=\frac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha} \end{aligned}

7. Công thức hạ bậc

\begin{aligned} \begin{matrix} sin^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2} & cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2} \\ sin^3\alpha=\frac{3sin\alpha-sin3\alpha}{4} & cos^3\alpha=\frac{3cos\alpha+cos3\alpha}{4} \end{matrix} \end{aligned}

8. Công thức tính tổng và hiệu của sin x và cos x

\begin{aligned} &sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\\ &sinx-cosx=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\ &cosx-sinx=\sqrt{2}sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}

9. Công thức chia đôi

\begin{aligned} &Đặt\ t=tan\frac{x}{2} \ (với \ t ≠\pi+k2\pi, \ k\in\Z)\\ &sinx=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2} \ \ \ \ \ \ \ tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{aligned}

10. Công thức biến đổi tổng thành tích

\begin{aligned} &cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\\ &cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}\\ &sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}\\ &sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2} \end{aligned}

11. Công thức biến đổi tích thành tổng

\begin{aligned} &cosa.cosb=\frac{1}{2}\lbrack cos(a-b)+cos(a+b) \rbrack\\ &sina.sinb=\frac{1}{2}\lbrack cos(a-b)-cos(a+b)\rbrack\\ &sina.cosb=\frac{1}{2}\lbrack sin(a-b)+sin(a+b)\rbrack\\ \end{aligned}

Công thức lượng giác toán 10 nâng cao

Bên cạnh đó, Marathon Education cũng sẽ giới thiệu cho các em một số công thức hàm số lượng giác nâng cao. Những công thức này không xuất hiện trong sách giáo khoa. Nhưng để giải quyết được các dạng toán lượng giác nâng cao liên quan đến chứng minh biểu thức, rút gọn biểu thức hay giải phương trình lượng giác, các em học sinh nên tham khảo các công thức này.

Số Phức Đối Là Gì? Cách Tìm Điểm Biểu Diễn Của Số Phức Đối

1. Công thức kết hợp với hằng đẳng thức đại số

\begin{aligned} &sin^3\alpha+cos^3\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)(1-sin\alpha cos\alpha)\\ &sin^3\alpha-cos^3\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)(1+sin\alpha cos\alpha)\\ &sin^4\alpha+cos^4\alpha=1-2sin^2\alpha cos^2\alpha\\ &sin^4\alpha-cos^4\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha=-cos2\alpha\\ &sin^6\alpha+cos^6\alpha=1-3sin^2\alpha cos^2\alpha\\ &sin^6\alpha-cos^6\alpha =-cos2\alpha(1-sin^2\alpha cos^2\alpha) \end{aligned}

2. Công thức hạ bậc

\begin{aligned} \begin{matrix} sin^2a=\frac{1-cos2a}{2} & cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\ sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}& cos^3a=\frac{3cosa+cos3a}{4} \end{matrix} \end{aligned}

3. Công thức liên quan đến tổng và hiệu của các giá trị lượng giác

\begin{aligned} &tana-tanb=\frac{-sin(a-b)}{cosacosb}\\ &cota+cotb=\frac{sin(a+b)}{sinasinb}\\ &cota-cotb=\frac{-sin(a-b)}{sinasinb}\\ &tana+cotb=\frac{sin(a-b)}{cosasinb}\\ &tana+cota=\frac{2}{2sin2a}\\ &cota-tanb=\frac{cos(a+b)}{sinacosb}\\ &cota-tana=2cot2a \end{aligned}

4. Công thức thường được sử dụng trong tam giác

\begin{aligned} &1.sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\\ &2.sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC\\ &3.cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\\ &4.cos2A+cos2B+cos2C+-1-4cosAcosBcosC\\ &5.cosacos(\frac{\pi}{3}-a)cos(\frac{\pi}{3}+a)=\frac{1}{4}cos3a\\ &6.sinasin(\frac{\pi}{3}-a)sin(\frac{\pi}{3}+a)=\frac{1}{4}sin3a\\ &7.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\\ &8.tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\\ &9.cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\\ &10.cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cot\frac{A}{2}cot\frac{B}{2}cot\frac{C}{2}\\ &11.sinA+sinB+sinC\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ &12.sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\le\frac{3}{2}\\ &13.cosA+cosB+cosC\le\frac{3}{2} \end{aligned}

ĐĂNG KÝ NGAY

Lý thuyết hàm số lượng giác lớp 11

Ở chương trình lớp 11, hàm số lượng giác 11 sẽ bao hàm nhiều kiến thức mới mẻ hơn, liên quan đến các hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang và côtang. Cụ thể như sau:

Hàm số lượng giác y = sinx

Nguyên tắc để thành lập hàm số này là: Tương ứng mỗi số thực x, ta có số thực sinx.

sin: R → R

x → y = sin x

được gọi là hàm số sin

• Hàm số sin ký hiệu là y = sinx.
• Tập xác định của hàm số là R.
• Hàm số sin là hàm số lẻ.

Ta có, sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] như sau:

\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Hàm số y = sin x đồng biến trên }[0;\frac{\pi}{2}] \text{ và nghịch biến trên }[\frac{\pi}{2};\pi].\\ &\footnotesize\bull\text{Như đã đề cập, y = sinx là hàm số lẻ nên khi lấy đối xứng đồ thị hàm số }\\ &\footnotesize\text{này trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta sẽ thu được đồ thị hàm số trên}\\ &\footnotesize\text{đoạn [–π; 0].} \end{aligned}

\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Trên tập xác định R, khi tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π]}\\ &\footnotesize\text{theo các vectơ } \vec{v}=(2\pi;0) \text{ và } -\vec{v}=(-2\pi;0) \text{, ta sẽ có dạng đồ thị hàm số }\\ &\footnotesize\text{y = sinx như bên dưới (với tập giá trị xác định của hàm số y = sin x là [–1; 1]).} \end{aligned}

Hàm số lượng giác y = cosx

Hàm số côsin có ký hiệu là y = cosx. Ứng với một số thực x xác định, ta thu được một giá trị cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là R.

Ngược lại với hàm số sin, đây là hàm số chẵn.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx:

\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Để có được đồ thị hàm số y = cosx, ta tiến hành tịnh tiến đồ thị hàm số }\\ &\footnotesize\text{y = sinx theo vectơ } \vec{u}=(-\frac{-\pi}{2};0) \end{aligned}

\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Theo hình vẽ, hàm số y = cosx đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên}\\ &\footnotesize\text{[0; π], với tập giá trị xác định là [–1; 1].} \end{aligned}

Hàm số lượng giác y = tanx

\begin{aligned} &\footnotesize \text{Công thức để xác định hàm số tang là }y=\frac{sinx}{cosx} \ (cosx \not =0)\footnotesize\text{. Ký hiệu của }\\ &\footnotesize\text{hàm số tang: y = tanx.}\\ &\footnotesize\text{Không giống với hàm số sin và côsin, tập xác định của hàm số tang được ký}\\ &\footnotesize\text{hiệu là D với D = R}\setminus\left \lbrace\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in\Z\right \rbrace.\\ \end{aligned}

Hàm số tang là hàm số lẻ.

Định nghĩa, tính chất và các công thức của logarit

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx

\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Đồ thị hàm số tang có tâm đối xứng chính là gốc tọa độ O. Dạng đồ thị này }\\ &\footnotesize\text{sẽ đồng biến trên }[0; \frac{\pi}{2}] \text{. Vì thế, khi lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số}\\ &\footnotesize\text{y = tanx trên }[0; \frac{\pi}{2}], \text{ta sẽ thu được đồ thị hàm số y = tanx trên }[\frac{-\pi}{2}; 0].\\ &\footnotesize\bull\text{Ngoài ra, để xác định đồ thị hàm số y = tanx trên D, ta tiến hành tịnh tiến đồ }\\ &\footnotesize\text{thị hàm số trên khoảng }(\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \ \text{song song với trục hoành sao cho từng đoạn }\\ &\footnotesize\text{có độ dài = π, ta được kết quả như sau:}\\ \end{aligned}

Hàm số lượng giác y = cotx

\begin{aligned} &\footnotesize\text{Hàm số côtang có ký hiệu là y = cotx và được xác định bằng công thức }\\ &\footnotesize y=\frac{cosx}{sinx} \ (sin x \not= 0).\\ &\footnotesize\text{Đây là hàm số lẻ và có tập xác định là D, với } D = R\setminus \lbrace kπ, k ∈ Z\rbrace. \end{aligned}

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx:

• Ta có, hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π). Vì thế, khi tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π), song song với trục hoành từng đoạn có độ dài bằng nhau và bằng π, ta được đồ thị hàm số y = cotx trên D.

Bài tập về hàm số lượng giác

Bài tập 1: Bài 1a trang 4 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

Sử dụng máy tính bỏ túi để tìm các giá trị lượng giác sinx và cosx sau:

\begin{aligned} &\small\fracπ6;\fracπ4;1,5;2;3,1;4,25;5\\ \end{aligned}

Lời giải chi tiết:

\begin{aligned} &\small\fracπ6;\fracπ4;1,5;2;3,1;4,25;5\\ &\small sin\fracπ6=\frac12\ ;\ cos\fracπ6=\frac{\sqrt3}{2}\\ &\small sin\fracπ4=cos\fracπ4=\frac{\sqrt2}{2}\\ &\small sin1,5=0,9975\ ;\ cos1,5=0,0707\\ &\small sin2=0,9093\ ;\ cos2=-0,4161\\ &\small sin3,1=0,0416\ ;\ cos3,1=-0,9991\\ &\small sin4,25=-0,8950\ ;\ cos4,25=-0,4461\\ &\small sin5=-0,9589\ ;\ cos5=0,2837\\ \end{aligned}

Bài tập 2: Bài 2 trang 17 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

\begin{aligned} &\small a)\ y=\frac{1+cosx}{sinx}\\ &\small b)\ y=\sqrt\frac{1+cosx}{1-cosx}\\ &\small c)\ y=tan\left(x-\frac{\pi}{3} \right) \\ &\small d)\ y=cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \end{aligned}

Lời giải chi tiết:

\begin{aligned} &\small \text{a) Hàm số }y=\frac{1+cosx}{sinx}\text{ xác định khi } sinx≠0⇔ x≠kπ,k∈Z\\ &\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\{kπ,k∈Z\}\\ &\small\text{b) Hàm số }y=\sqrt\frac{1+cosx}{1-cosx}\text{ xác định khi } \frac{1+cosx}{1-cosx} \ge0\\ &\small \frac{1+cosx}{1-cosx} \ge0\text{ với mọi x thỏa mãn }1-cosx\not=0\\ &\small ⇔cosx≠1 ⇔x≠k2π,k∈Z\\ &\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\{k2π,k∈Z\}\\ &\small\text{c) Hàm số }y=tan\left(x-\frac{\pi}{3} \right)\text{ xác định khi } y=cos\left(x-\frac{\pi}{3} \right)\not=0\\ &\small ⇔x-\frac{\pi}{3}≠\frac{\pi}{2}+kπ⇔x≠\frac{5\pi}{6}+kπ,k∈Z\\ &\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\left\{\frac{5\pi}{6}+kπ,k∈Z\right\}\\ &\small\text{d) Hàm số }y=cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\text{ xác định khi } y=sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)\not=0\\ &\small ⇔x+\frac{\pi}{6}≠kπ⇔x≠-\frac{\pi}{6}+kπ,k∈Z\\ &\small \text{Vậy tập xác định của hàm số là }D=\R \backslash\left\{-\frac{\pi}{6}+kπ,k∈Z\right\}\\ \end{aligned}

Bài tập 3: Bài 3 trang 17 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

Lời giải chi tiết:

\begin{aligned} & \small \text{Ta có: } y = \begin{cases} sinx \ khi \ sinx \ ≥ \ 0 \\ - sinx \ khi \ sinx \ ≤ \ 0 \end{cases} \\ & \small \text{Từ đó, dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = |sinx| bằng cách: } \\ & \small \bull \text{Giữ nguyên phần đồ thị ở phía trên trục Ox (sin x ≥ 0)} \\ & \small \bull \text{Vẽ phần đồ thị ở phía dưới bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị ở phía trên trục Ox (sin x ≤ 0)} \\ & \small \bull \text{Đồ thị của hàm số y = |sinx| chính là phần liền nét trong hình dưới đây:} \end{aligned}

Bài tập 4: Bài 5 và Bài 7 trang 18 SGK Đại số và Giải tích lớp 11

\begin{aligned} & \small \text{a. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx = } \frac{1}{2} \\ & \small \text{b. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.} \end{aligned}

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn cách giải toán bằng cách lập phương trình

Đồ thị của hàm số y = cosx:

\begin{aligned} & \small \text{a. Dựa vào đồ thị trên, ta thấy đường thẳng } y = \frac{1}{2} \text{ cắt đồ thị hàm số y = cosx tại các điểm có hoành độ } \\ & \small \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ và } \frac{-\pi}{3} + k2\pi \ (k \in Z) \\ & \small \text{Vậy để cosx = } \frac{1}{2} \\ & \small \iff x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \ (k \in Z) \\ & \small \text{b. Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx: } \\ & y = cosx < 0 \\ & \iff x \in ... \ \cup \left( \frac{-3\pi}{2}; \frac{-\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{5pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right) \cup ... \\ & \iff x \in \left( \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{3\pi}{2} + k2\pi \right) (k \in Z) \end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online Học Online Toán 12 Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7

Hàm số lượng giác là kiến thức cơ bản cần nắm vững nếu muốn thành thạo kỹ năng “phá đảo chuyên đề lượng giác”. Hy vọng thông qua các thông tin mà Marathon chia sẻ trong bài viết, các em sẽ thu thập thêm cho mình nhiều kiến thức mới mẻ. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!